장미곡선 문서 원본 보기

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'''장미곡선'''이란 [[수학]]에서 [[극좌표계|극좌표]]에 그려진 [[사인곡선]]을 말한다. 극좌표 등식으로는 다음과 같은 형태로 표현될 수 있다.
:<math>r=\cos\, k\theta</math>
<math>k</math>가 정수일 때는 다음과 같은 상황으로 나뉜다.
* 짝수일 때는 <math>2k</math>개의 꽃잎이 생긴다.
* 홀수일 때는 <math>k</math>개의 꽃잎이 생긴다.
<math>k</math>가 짝수일 때는 <math>\theta</math>의 값이 0에서 <math>2\pi</math>까지 변하면 전체 곡선이 그려진다. 하지만 <math>k</math>이 홀수일 때는 <math>\theta</math>의 값이 0에서 <math>\pi</math>까지 변할 때 전체 곡선이 그려진다.

<math>k</math>가 [[유리수]]일 때는 곡선은 유한의 길이에 의해 [[닫힘 (수학)|닫힌다.]] <math>k</math>가 [[무리수]]일 때는 닫히지 않으며 길이가 무한이다.

다음 등식에 의해(모든 <math>\theta</math>)
:<math>\sin k \theta = \cos k \theta - \frac{\pi}{2} = \cos k \left( \theta-\frac{\pi}{2k} \right) </math>
곡선은 극좌표 등식이 정의한다.

:<math>r=\sin\, k\theta</math> 와 <math>r = \cos\, k\theta</math>
는 <math>\frac {\pi} {2k} \mathrm{rad}</math> 바퀴를 제외하고는 동등하다.

<gallery widths="200px" heights="200px">
파일:rose07.png|7개의 꽃잎을 지닌 장미<br/>(<math>k=7</math>)
파일:rose08.png|8개의 꽃잎을 지닌 장미<br/>(<math>k=4</math>)
파일:Rhodonea_curve.png|<math>k=\frac n d</math>인 <math>k</math>에 관해<br/><math>r=\sin\, k \theta</math>로 정의되는 장미곡선
</gallery>

{{토막글|수학}}

[[분류:곡선]]
[[분류:평면 곡선]]