작은 범주 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[범주론]]에서 '''작은 범주'''(-範疇, {{llang|en|small category}})는 그 대상의 [[모임 (집합론)|모임]]과 사상의 모임이 충분히 “작은” [[범주 (수학)|범주]]를 말한다. 그 정확한 의미는 사용하는 수학 기초론에 따라 달라지는데, 예를 들어 [[그로텐디크 전체]]를 사용할 경우 대상과 사상의 [[집합]]이 사용되는 그로텐디크 전체의 원소이어야 한다.<ref name="Mac Lane"/>{{rp|21–26, §Ⅰ.6–7}}<ref name="KS"/><ref name="Shulman"/>

== 정의 ==
[[범주 (수학)|범주]]들의 [[모임 (집합론)|모임]]을 다루려면, 원하는 수학 기초론을 선택해야 한다. 여기서는 편의상 [[그로텐디크 전체]]를 사용하자.

[[그로텐디크 전체]] <math>\mathcal U</math>가 주어졌다고 하자. <math>\mathcal U</math>-'''작은 범주''' <math>\mathcal C</math>는 다음 조건을 만족시키는 [[범주 (수학)|범주]]이다.<ref name="Mac Lane">{{서적 인용 |last=Mac Lane |first=Saunders |저자링크=손더스 매클레인|제목=Categories for the working mathematician |publisher=Springer |날짜=1998 |판=2판 |series=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권= 5 |isbn=978-1-4419-3123-8 | zbl=0906.18001 | mr=1712872 |doi=10.1007/978-1-4757-4721-8|언어=en }}</ref>{{rp|22, §Ⅰ.6}}<ref name="KS">{{서적 인용 | last=Kashiwara | first=Masaki | 이름2=Pierre |성2=Schapira | title=Categories and sheaves | publisher=Springer-Verlag | series=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften | issn=0072-7830 | isbn=978-3-540-27949-5 | mr=2182076 | zbl=1118.18001 | 날짜=2006| doi=10.1007/3-540-27950-4 | 언어=en}}</ref>{{rp|12, Definition 1.2.1}}<ref name="Shulman">{{저널 인용|제목=Set theory for category theory|이름=Michael A.|성=Shulman|날짜=2008|arxiv=0810.1279|bibcode=2008arXiv0810.1279S|언어=en}}
</ref>{{rp|§6}}<ref name="ML69">{{서적 인용|장=One universe as a foundation for category theory|이름=Saunders|성=Mac Lane|저자링크=손더스 매클레인|제목=Reports of the Midwest Category Seminar Ⅲ|날짜=1969|isbn= 978-3-540-04625-7 |총서=Lecture Notes in Mathematics|권=106|issn=0075-8434|doi=10.1007/BFb0059147|출판사=Springer-Verlag|쪽=192–200|editor1-first=Saunders|editor1-last=Mac Lane|editor1-link=손더스 매클레인|zbl=0211.32202|언어=en}}</ref>{{rp|196}}
* <math>\mathcal C</math>의 대상들은 [[집합]] <math>\operatorname{Ob}(\mathcal C)</math>을 이루며, 이는 <math>\mathcal U</math>의 원소이다.
* <math>\mathcal C</math>의 사상들은 [[집합]] <math>\operatorname{Mor}(\mathcal C)</math>을 이루며, 이는 <math>\mathcal U</math>의 원소이다.
<math>\mathcal U</math>-작은 범주들과, 그 사이의 [[함자 (수학)|함자]]들과, 그 사이의 [[자연 변환]]들은 [[2-범주]]를 이룬다. 이를 <math>\operatorname{Cat}_{\mathcal U}</math>라고 표기하자.

=== 국소적으로 작은 범주 ===
임의의 [[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal C</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, '''<math>\mathcal U</math>-국소적으로 작은 범주'''(<math>\mathcal U</math>-局所的으로 작은範疇, {{llang|en|locally <math>\mathcal U</math>-small category}})라고 한다.<ref name="ML69"/>{{rp|197}}
* 임의의 두 대상 <math>X,Y\in\operatorname{Ob}(\mathcal C)</math>에 대하여, <math>\hom_{\mathcal C}(X,Y)\in\mathcal U</math>이다.

== 연산 ==
<math>\operatorname{Cat}_{\mathcal U}</math>는 <math>\mathcal U</math>-[[완비 범주]]이자 <math>\mathcal U</math>-[[쌍대 완비 범주]]이다. 즉, 임의의 <math>\mathcal U</math>-작은 범주 <math>\mathcal I</math> 및 [[함자 (수학)|함자]]
:<math>D\colon \mathcal I\to\operatorname{Cat}_{\mathcal U}</math>
에 대하여, <math>D</math>는 [[극한 (범주론)|극한]]과 [[쌍대극한]]을 갖는다. 특히,
* <math>\operatorname{Cat}_{\mathcal U}</math>의 [[시작 대상]]은 <math>\operatorname{Ob}(0)=\operatorname{Mor}(0)=\varnothing</math>인 유일한 범주 <math>0</math>이다.
* <math>\operatorname{Cat}_{\mathcal U}</math>의 [[끝 대상]]은 <math>\operatorname{Ob}(1)=\{\bullet\}</math> ([[한원소 집합]])이며, <math>\operatorname{Mor}(1)=\{\operatorname{id}_\bullet\}</math>인 유일한 범주 <math>1</math>이다. (이를 [[준군]]으로 간주하면, 이는 [[자명군]]에 해당한다.)

<math>\operatorname{Cat}_{\mathcal U}</math>는 <math>\mathcal U</math>-국소적으로 작은 [[데카르트 닫힌 범주]]이며, 이 경우 [[지수 대상]] <math>\hom(-,-)</math>은 (두 <math>\mathcal U</math>-작은 범주 사이의) [[함자 (수학)|함자]]와 [[자연 변환]]의 범주 <math>\hom_{\operatorname{Cat}}(-,-)</math>이다. 다시 말해, 두 <math>\mathcal U</math>-작은 범주 사이의 [[함자 (수학)|함자]] 범주는 <math>\mathcal U</math>-작은 범주이다.<ref name="ML69"/>{{rp|196}}

== 성질 ==
<math>\mathcal U</math>-국소적으로 작은 범주 <math>\mathcal C</math>가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.
* 임의의 기수 <math>\kappa\le|\mathcal U|</math>와 임의의 대상 <Math>X\in\mathcal C</math>에 대하여, [[곱 (범주론)|곱]] <math>X^{\times\kappa}</math>이 존재한다.
그렇다면 <math>\mathcal C</math>는 [[원순서 집합]]이다.
<ref name="Shulman"/>{{rp|Theorem 2.1}}즉, 임의의 두 대상 사이의 사상의 수는 1개 이하이다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
임의의 두 대상 <math>X,Y\in\mathcal C</math>이 주어졌다고 하자. 이제,
:<math>|\hom_{\mathcal C}(X,Y)|\le 1</math>
임을 보이면 족하다.

사상 집합
:<math>\hom_{\mathcal C}(X,Y^{|\mathcal U|})</math>
의 [[집합의 크기|크기]]는 (각 성분마다 <math>\hom_{\mathcal C}(X,Y)</math>의 한 원소를 고를 수 있으므로) 다음과 같다.
:<math>\left|\hom_{\mathcal C}(X,Y^{|\operatorname{Mor}(\mathcal C)|})\right| = |\hom_{\mathcal C}(X,Y)|^{|\mathcal U|}</math>
(여기서 우변은 [[기수 (수학)|기수]]의 [[거듭제곱]]이다.) 그런데 정의에 따라
:<Math>\left|\hom_{\mathcal C}(X,Y^{|\mathcal U|})\right| < |\mathcal U|</math>
이므로, [[칸토어의 정리]]에 따라서 <math>|\hom_{\mathcal C}(X,Y)| \le 1</math>이다.
</div></div>

[[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal C</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref>{{저널 인용|제목= On the size of categories |이름= Peter|성= Freyd |이름2= Ross|성2= Street |저널=Theory and Applications of Categories|권=1|날짜=1995|호=9|쪽= 174–181|url=http://tac.mta.ca/tac/volumes/1995/n9/1-09abs.html|issn=1201-561X|언어=en}}</ref>
* <math>\mathcal C</math>는 <math>\mathcal U</math>-작은 범주와 [[범주의 동치|동치]]이다.
* <math>\mathcal C</math>는 <math>\mathcal U</math>-국소적으로 작은 범주이며, [[준층]] 범주 <math>\operatorname{PSh}(\mathcal C)=\operatorname{Set}_{\mathcal U}^{\mathcal C^{\operatorname{op}}}</math> 역시 <math>\mathcal U</math>-국소적으로 작은 범주이다.

=== 함자 ===
<math>\operatorname{Set}_{\mathcal U}</math>가 <math>\mathcal U</math>-작은 집합과 함수의 범주라고 하자. 즉, 다음과 같은 [[범주 (수학)|범주]]라고 하자.
* <math>\operatorname{Ob}(\operatorname{Set}_{\mathcal U})=\mathcal U</math>
* <math>\operatorname{Set}_{\mathcal U}</math>의 사상은 <math>\mathcal U</math>에 속하는 [[함수]]이다.

그렇다면, 망각 함자
:<math>\operatorname{Ob} \colon \operatorname{Cat}_{\mathcal U}\to\operatorname{Set}_{\mathcal U}</math>
:<math>\operatorname{Ob} \colon \mathcal C\mapsto \operatorname{Ob}(\mathcal U)</math>
가 존재한다. 이는 [[오른쪽 수반 함자]]를 가지며, 이는 임의의 [[집합]] <math>S</math>를 다음과 같은 [[범주 (수학)|범주]]로 대응시킨다.
* 대상은 <math>S</math>의 원소이다.
* 모든 사상은 [[항등 사상]]이다.

== 예 ==
임의의 <math>\mathcal U</math>-작은 [[아벨 범주]] <math>\mathcal A</math>에 대하여, 그 [[유도 범주]] <math>\operatorname D(\mathcal A)</math>를 취할 수 있다. 그러나 일반적으로 <math>\operatorname D(\mathcal A)</math>는 <math>\mathcal U</math>-작은 범주가 아니며, 이를 다루려면 더 큰 [[그로텐디크 전체]]를 사용하거나, 또는 [[그로텐디크 아벨 범주]] 조건을 가정해야 한다.<ref name="KS"/>

[[칸토어 역설]]에 따라, <math>\operatorname{Cat}_{\mathcal U}</math>는 <math>\operatorname{Cat}_{\mathcal U}</math>의 대상이 아니다. 다만, <math>\mathcal U</math>를 포함하는 더 큰 [[그로텐디크 전체]] <math>\mathcal U'\ni\mathcal U</math>이 주어졌을 때, <math>\operatorname{Cat}_{\mathcal U}</math>는 <math>\operatorname{Cat}_{\mathcal U'}</math>의 대상이 되며, 이 경우 포함 함자
:<math>\operatorname{Cat}_{\mathcal U}\hookrightarrow \operatorname{Cat}_{\mathcal U'}</math>
가 주어진다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=small category|title=Small category}}
* {{nlab|id=large category|title=Large category}}
* {{nlab|id=complete small category|title=Complete small category}}
* {{nlab|id=CAT}}
* {{nlab|id=Cat}}
* {{nlab|id=free category|title=Free category}}
* {{nlab|id=universe enlargement|title=Universe enlargement}}
* {{nlab|id=universe polymorphism|title=Universe polymorphism}}
* {{웹 인용 | url=https://golem.ph.utexas.edu/category/2010/11/universe_enlargement.html | 제목=Universe enlargement | 이름=Michael A. | 성=Shulman | 날짜=2010-11-23 | 언어=en | 확인날짜=2017-08-11 | 보존url=https://web.archive.org/web/20150906064324/https://golem.ph.utexas.edu/category/2010/11/universe_enlargement.html | 보존날짜=2015-09-06 | url-status=dead }}
* {{웹 인용|url=https://mathoverflow.net/questions/130543/on-the-large-cardinals-foundations-of-categories | 제목=
On the large cardinals foundations of categories | 출판사=Math Overflow | 언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://mathoverflow.net/questions/3278/whats-a-reasonable-category-that-is-not-locally-small | 제목=
What’s a reasonable category that is not locally small? | 출판사=Math Overflow | 언어=en}}


[[분류:범주론]]