작은 각도 근사 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
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'''작은 각도 근사'''(small-angle approximation)는 [[삼각함수]]의 <math>x</math>값이 0에 가까워질 때 성립할 수 있는 [[근사 이론|근사]]이다. 삼각함수는 [[선형성]]을 가지고 있지 않으므로 삼각함수로 계산하면 그 값이 복잡해진다. 따라서 간단하게 계산하기 위해 작은 각도에 대해서 삼각함수의 값들을 [[선형 근사]]하는 것을 말한다. 작은 각도에 대해서 삼각함수는 다음과 같이 근사된다.

:<math>\tan \theta \approx \sin \theta \approx \theta</math>

:<math>\cos \theta \approx 1 - \frac{\theta^2}{2} \approx 1</math>

이때 <math>\theta</math>는 각도를 말하고, 단위는 [[라디안]]이다.

삼각함수의 근사는 [[매클로린 급수]]를 통해서 얻을 수 있다.

{{증명|제목=유도}}
매클로린 급수는 다음과 같이 나타난다.
:<math>M_f( \theta )=\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} \, \theta ^n</math><math>=f(0) + f'(0) \theta + \frac{1}{2!}f''(0) \theta ^2 + \frac{1}{3!}f'''(0) \theta ^3 + \cdots</math>

따라서

:<math>\sin \theta = \sin (0) + \cos (0) \, \theta -\frac{\sin (0)}{2} \, \theta ^2 -\frac{\cos (0)}{6} \theta ^3 + \cdots</math><math>=\theta - \frac{1}{6}\theta ^3 + \frac{1}{120}\theta ^5 + \cdots</math>

:<math>\cos \theta = \cos (0) - \sin (0) \, \theta -\frac{cos(0)}{2} \theta ^2 + \frac{\sin (0)}{6} \theta ^3 + \cdots </math><math>= 1- \frac{\theta ^2}{2} + \frac{1}{24} \theta ^4 + \cdots</math>

:<math>\tan \theta = \tan (0) + \sec ^2 (0) \, \theta + \frac{2}{2} \tan (0) \sec ^2 (0) \theta ^2 + \frac{2}{6} \sec ^2 (0)(2\tan (0) \sec^2 {0}) \theta ^3 + \cdots</math><math>=\theta +\frac{1}{3} \theta ^3 + \frac{2}{15} \theta ^5 + \cdots</math> (단, <math>|\theta | \le \frac{\pi}{2} </math>)

아주 작은 각에 대해서 고차항은 지배적이지 않으므로 다음과 같이 근사 할 수 있다.

:<math>\sin \theta \approx \theta</math>

:<math>\cos \theta \approx 1</math> 혹은 <math>\cos \theta \approx 1 - \frac{\theta^2}{2}</math>

:<math>\tan \theta \approx \theta </math>
{{증명 끝}}

작은 각도 근사는 [[역학 (물리학)|역학]], [[전자기학]], [[광학]], [[지도학]], [[천문학]], 컴퓨터 과학 등 광범한 분야에서 유용하게 사용된다.

== 정당화할 수 있는 범위 ==
상대오차(절대오차를 실제 값으로 나눈 값)를 기준으로 1% 이상의 오차가 생기는 지점은 다음과 같다.

*<math>\sin \theta \approx \theta</math>일 때 0.2441 라디안 (13.99°)
*<math>\tan \theta \approx \theta</math>일 때 0.1730 라디안 (9.91°)
*<math>\cos \theta \approx 1</math>일 때 0.1408 라디안(8.07°)
*<math>\cos \theta \approx 1- \frac{\theta ^2}{2} </math>일 때 0.6620 라디안(37.93°)

== 사용되는 예시 ==
=== 천문학 ===
[[천문학]]에서 거리가 있는 천체의 상의 [[시직경]]은 수 [[초 (각도)|초]]인 경우가 많다. 따라서 작은 각 근사를 사용하기 유리하다.<ref>{{서적 인용|저자= Robin M. Green |날짜=1985 |제목=Spherical Astronomy |출판사=Cambridge University Press |쪽=19 |isbn=0521317797 |url=https://books.google.co.kr/books?id=wOpaUFQFwTwC&pg=PA19&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false}}</ref> 직경을 ''D'', 각 크기를 ''X'', 관측자로부터의 거리를 ''d''라고 하면 다음과 같은 간단한 관계식을 얻어낼 수 있다.

<math>D=X \frac{d}{206265}</math>

여기서 ''X''의 단위는 각초이다.

숫자 206,265는 [[원둘레|원주]] <math>2\pi</math>를 원 하나의 각초(1,296,000)로 나눈 값으로 1 각초를 라디안으로 나타낸 값이다.

이 관계식의 정확한 공식은 다음과 같다.

<math>D= d \tan \left( X \frac{2 \pi }{1296000} \right)</math>

여기서 <math>\tan</math>항을 근사시켰다.
=== 진자운동 ===
[[괘종시계]] 같은 [[진자시계]]에서 진자의 운동은 작은 각도 근사를 통해 [[단순조화진동]]으로 해석할 수 있다. <math>\sin</math>의 근사를 통해 진자의 주기를 계산 할 수 있고, <math>\cos \approx 1- \frac{1}{2}\theta^2</math>를 통해 진자의 퍼텐셜 에너지를 쉽게 계산할 수 있고, 이와 함께 [[라그랑지안]]을 이용해서 간접적으로 운동 방정식을 구할 수 있다.

=== 광학 ===
근축근사는 작은 각 근사에 기초를 두고 있다. [[광선 추적 행렬]]도 근축근사의 작은 각 근사를 바탕으로 기술한다.

=== 항공항법 ===
항공항법에서 1 in 60 rule은 작은 각 근사를 바탕에 두고 있으며, 60마일을 이동했을 때 1도 정도가 오차가 있으면, 원래의 목적지에서 1마일의 정도의 오차가 있다고 하는 법칙이다.

=== 보간법 ===
삼각함수의 덧셈에서 작은 각 근사는 삼각함수 표에 나와있지 않는 값들에 대해 근사한 값을 얻을 수 있게 한다.

라디안 0.75의 삼각함수 값이 주어져 있고, <math>\sin(0.755)</math>의 값을 알고 싶으면

<math>{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(0.755)&=\sin(0.75+0.005)\\&\approx \sin(0.75)+(0.005)\cos(0.75)\\&\approx (0.6816)+(0.005)(0.7317)\\&\approx 0.6853.\end{aligned}}}</math>

와 같이 구할 수 있다.

== 각주 ==
{{각주}}

{{전거 통제}}
{{토막글|수학}}

[[분류:삼각법]]
[[분류:근사]]