자이페르트 올공간 문서 원본 보기

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[[위상수학]]에서 '''자이페르트 올공간'''({{llang|en|Seifert fiber space}})은 "좋은" 원 [[올다발]]으로의 표현을 갖춘 3차원 [[다양체]]이다.

== 정의 ==
<math>r\in\mathbb Q</math>가 유리수라고 하자. 그렇다면 원기둥 <math>B_2\times I=\{z\in\mathbb C\colon|z|\le1\}\times[0,1]</math>의 양끝을 다음과 같은 사상으로 이어붙일 수 있다.
:<math>(z,0)\sim(\exp(2\pi ir)z,1)</math> (<math>z\le1</math>)
이렇게 취한 [[몫공간]]은 3차원 [[원환체]] <math>B_2\times S^1</math>와 [[위상동형]]이며, 이를 '''표준올 원환체'''({{llang|en|standard fibered torus}})라고 한다. 만약 <math>r\in\mathbb Z</math>라면 이를 '''일반적 표준올 원환체'''({{llang|en|ordinary standard fibered torus}})라고 하며, 아니라면 '''예외적 표준올 원환체'''({{llang|en|exceptional standard fibered torus}})라고 한다.

'''자이페르트 올공간'''은 다음과 같은 성질을 만족시키는 [[올다발]] <math>\pi\colon M\twoheadrightarrow B</math>이다.
* <math>M</math>은 3차원 [[다양체]]이며, <math>B</math>는 2차원 [[오비폴드]]다. <math>\pi</math>의 올은 원 <math>S^1</math>이다.
* 모든 올 <math>\pi^{-1}(b)</math> (<math>b\in B</math>)은 표준올 원환체와 올다발로서 동형인 [[근방]]을 가진다.

이 경우, <math>B</math>의 오비폴드 특이점들은 예외적 올들에 대응하고, 나머지 점들은 일반적 올에 대응한다. 콤팩트 자이페르트 올공간은 유한 개의 예외적 올들을 가진다.

'''자이페르트 다양체'''({{llang|en|Seifert manifold}})는 올다발 구조를 잊은 자이페르트 올공간이다. [[렌즈 공간]]과 같은 일부 다양체들은 서로 다른 여러 자이페르트 올구조를 가질 수 있다.

== 분류 ==
[[콤팩트 공간|콤팩트]] 자이페르트 올공간은 모두 분류되었고, 그 분류는 다음과 같다. 자이페르트 올공간은 다음과 같은 기호를 가진다.
:<math>\{(\varepsilon,g);r_1,r_2,\dots\}</math>
여기서
* <math>\varepsilon\in\{\mathsf o_1,\mathsf o_2,\mathsf n_1,\mathsf n_2,\mathsf n_3,\mathsf n_4\}</math>은 다음과 같은 뜻을 가진다.
{| class="wikitable"
|-
! 기호 || 다른 기호 || ''B'' || ''M'' || <math>\pi_1(B)</math>의 올들의 [[방향 (다양체)|방향]]에 대한 작용 || ''B''의 다양체 피복의 종수
|-
| o<sub>1</sub> || Oo || 가향 || 가향 || || 
|-
| o<sub>2</sub> || No || 가향 || 비가향 || ||
|-
| n<sub>1</sub> || NnⅠ || 비가향 || 비가향 || 모두 보존 ||
|-
| n<sub>2</sub> || On || 비가향 || 가향 || 모두 역전 ||
|-
| n<sub>3</sub> || NnⅡ || 비가향 || 비가향 || 정확히 하나의 생성원만이 보존 || ≥2
|-
| n<sub>4</sub> || NnⅢ || 비가향 || 비가향 || 정확히 두 개의 생성원만이 보존 || ≥3
|}
* <math>r_i\in\mathbb Q</math>는 <math>r_i</math>-표준올 원환체의 존재를 나타낸다.

자이페르트 올공간의 기호는 다음과 같이 바꾸어도 같은 자이페르트 올공간에 대응한다.
* 만약 <math>\sum_in_i=0</math>이고 <math>n_i\in\mathbb Z</math>라면 모든 <math>r_i</math>에 대하여 <math>r_i\mapsto r_i+n_i</math>로 바꾸어도 상관없다.
* <math>r=0</math>인 올은 마음대로 추가하거나 생략할 수 있다.
* <math>M</math>이 비가향이라면, <math>r_i</math>의 부호는 상관없다.

== 역사 ==
[[헤르베르트 자이페르트]]가 1933년 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Herbert|성=Seifert|저자링크=헤르베르트 자이페르트|제목=Topologie dreidimensionalen gefaserter Räume|저널=Acta Mathematica|권=60|날짜=1933|쪽=147-238|jfm=59.1241.02|언어=de}}</ref> 자이페르트 다양체는 최초로 완전히 분류된 3차원 다양체였으며, 이후 3차원 다양체의 분류는 [[기하화 추측]]의 증명으로 완성되었다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|이름=Peter|성=Orlik|제목=Seifert manifolds|총서=Lecture notes in mathematics|권=291|출판사=Springer|날짜=1972|언어=en}}
* Frank Raymond, ''Classification of the actions of the circle on 3-manifolds'', Trans. Amer.Math. Soc 31, (1968) 51-87.
* William H. Jaco, ''Lectures on 3-manifold topology'' {{ISBN|0-8218-1693-4}}
* William H. Jaco, Peter B. Shalen ''Seifert Fibered Spaces in Three Manifolds:'' Memoirs Series No. 220 (Memoirs of the American Mathematical Society; v. 21, no. 220) {{ISBN|0-8218-2220-9}}
* {{저널 인용|이름=Matthew G.|성=Brin|arxiv=0711.1346|제목=Seifert fibered spaces: notes for a course given in the spring of 1993|날짜=1993|언어=en}}
* {{서적 인용|이름=John|성=Hempel|제목=3-manifolds|연도=2004|url=https://archive.org/details/3manifolds0000hemp_z6l7|출판사=American Mathematical Society|isbn=0-8218-3695-1|언어=en}}
* {{저널 인용|이름=G. Peter|성=Scott|url=http://www.math.lsa.umich.edu/~pscott/8geoms.pdf|제목=The geometries of 3-manifolds|저널=Bulletin of the London Mathematical Society|권=15|날짜=1983|호=5|쪽=401–487|zbl=0561.57001|doi=10.1112/blms/15.5.401|issn=0024-6093|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{springer|title=Seifert fibration|author=A.V. Chernavskii}}

[[분류:기하학적 위상수학]]
[[분류:다양체]]
[[분류:올다발]]
[[분류:3-다양체]]