자이페르트 곡면 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Borromean Seifert surface.png|섬네일|오른쪽|[[보로메오 연환]]의 자이페르트 곡면]]
[[매듭 이론]]에서 '''자이페르트 곡면'''(Seifert曲面, {{llang|en|Seifert surface}})은 3차원 [[초구]] 속의 [[연결 공간|연결]] 2차원 [[유향 다양체|유향]] [[경계다양체]]이다. 그 경계는 [[연환]]을 정의하며, 모든 연환은 이러한 꼴로 표현될 수 있다. 어떤 주어진 연환의 자이페르트 곡면이란 이 연환을 경계로 삼은 자이페르트 곡면을 뜻한다.

== 정의 ==
차분한({{llang|en|tame}}) [[유향 다양체|유향]] [[연환]] <math>L \subsetneq \mathbb S^3</math>의 '''자이페르트 곡면'''은 <math>\partial\Sigma = L</math>인 <math>\mathbb S^3</math> 속의 2차원 [[유향 다양체|유향]] [[연결 공간|연결]] [[경계다양체]] <math>\Sigma \subsetneq \mathbb S^3</math>이다.

== 성질 ==
=== 존재와 유일성 ===
모든 [[연환]]은 자이페르트 곡면을 갖는다. 그러나 이는 유일하지 않다.

연환의 자이페르트 곡면은 구체적으로 다음과 같은 알고리즘으로 구성된다. 우선, 연환 <math>L</math>이 <math>m</math>개의 [[연결 성분]]을 갖는다고 하자. <math>L</math>의 임의의 그림(평면으로의 투영)이 주어졌다고 하자.
이 그림이 <math>d</math>개의 교차점을 갖는다고 하자. 그렇다면,
:[[파일:Knot-crossing-plus.png]] ⇒ [[파일:Knot-crossing-zero.png]]
와 같이, 그림에서 교차점들을 해소할 수 있다. 교차점을 모두 해소하면 연환의 그림은 서로 교차하지 않는 원들로 구성되는데, <math>f</math>개의 원들이 있다고 하자.

그렇다면, 다음과 같은 자이페르트 곡면을 구성할 수 있다.
# 연환면의 그림의 해소의 각 원 안에 원판을 붙인다. 즉, <Math>f</math>개의 원판이 존재한다.
# 연환면에서, 해소된 각 교차점에 대응하는 띠를 이어붙인다. 이 경우, 아래 그림과 같이 띠를 뒤틀어 이어붙이며, 띠를 뒤트는 방향은 해소되기 이전의 교차점의 방향을 따른다.
#: [[파일:Hyperbparab2-g-s.svg]]

이 경우, 교차점의 해소에서 방향을 보존해야 한다. (방향을 보존하지 않으면, [[비가향 다양체]]를 얻을 수 있다.) 즉, 다음과 같은 꼴의 해소는 불가능하다.
:[[파일:Knot-crossing-plus.png]] ⇒ <span style="font-size: xx-large">⩆</span>

=== 종수 ===
위 알고리즘으로 구성된 자이페르트 곡면은 <math>m</math>개의 구멍을 가지며, 종수가
:<math>g = \frac{2 + d - f - m}{2}</math>
인 2차원 [[경계다양체]]이다. 물론, 어떤 [[연환]] <math>L</math>의 자이페르트 곡면 <math>\Sigma</math>가 주어졌을 때, 임의의 [[원환면]]과의 [[연결합]] <math>\Sigma \# \mathbb T^2</math> 역시 <math>L</math>의 자이페르트 곡면이며, 그 종수는 원래 자이페르트 곡면의 종수 + 1이다. 주어진 연환의 자이페르트 곡면들의 최소 종수를 연환의 '''종수'''(種數, {{llang|en|genus of a link/knot}})라고 한다.

임의의 두 유향 매듭 <math>K</math>, <math>K'</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>g(K) + g(K') = g(K \# K')</math>
즉, 매듭의 [[연결합]]은 종수를 보존한다.

=== 자이페르트 행렬 ===
[[연환]] <math>L</math>의 자이페르트 곡면 <math>\Sigma</math>가 주어졌다고 하고, 그 종수가 <math>g</math>라고 하자. 그렇다면, 그 1차 호몰로지 군은 다음과 같은 [[자유 아벨 군]]이다.
:<math>\operatorname H_1(\Sigma) \cong \mathbb Z^{2g}</math>
이 경우, 그 [[교차 형식]]이
:<math>Q = \begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}
\oplus \dotsb \oplus \begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}</math>
가 되게 하는 [[기저 (선형대수학)|기저]]
:<math>a_1,a_2,\dotsc,a_{2g}\in \operatorname H_1(\Sigma)</math>
가 존재한다.

이 기저에 대한 '''자이페르트 행렬'''(Seifert行列, {{llang|en|Seifert matrix}}) <math>V \in \operatorname{Mat}(2g,2g;\mathbb Z)</math>은 정수 성분의 <Math>2g\times 2g</math> [[정사각 행렬]]이며, 그 <Math>(i,j)</math>번째 성분은 <math>a_i</math>와 <math>a_j</math>의 [[연환수]]이다. 이 경우
:<math>V - V^\top = Q</math>
가 성립한다. (<math>(-)^\top</math>은 [[수반 행렬]]이다.) 반대로, <math>V - V^\top = Q</math>의 꼴인 임의의 정수 성분의 짝수 크기 [[정사각 행렬]]은 어떤 매듭의 자이페르트 곡면의 자이페르트 행렬로 표현될 수 있다.

자이페르트 행렬의 다음과 같은 [[행렬식]]
:<math>A_L(t) = \det (V - tV^\top) \in \mathbb Z[t]</math>
은 [[연환]]의 '''[[알렉산더 다항식]]'''이라고 한다. 이는 자이페르트 곡면의 선택이나 그 호몰로지의 기저의 선택에 의존하지 않는, 유향 연환의 불변량이다. 이에 따라, 연환의 종수 <math>g(L)</math>은 다음과 같은 부등식을 따른다.
:<math>g(L) \ge \left\lceil\frac12\deg A_L\right\rceil</math>

자이페르트 행렬의 대칭화
:<math>V + V^\top</math>
의 [[부호수]] 역시 연환의 불변량이며, 이를 연환의 '''부호수'''(符號數, {{llang|en|signature of a link/knot}})라고 한다.

== 예 ==
=== 자명한 원환 ===
[[공집합]]은 0개의 연결 성분을 갖는 [[연환]]이다. 그 자이페르트 곡면은 경계를 갖지 않는 임의의 유향 곡면이며, 이 연환의 종수는 물론 0이다.

[[자명한 매듭]]의 경우, [[원판]]이 그 원환면이므로 그 종수는 0이다. 보다 일반적으로, <math>k</math>개의 연결 성분을 갖는 [[자명한 연환]]의 자이페르트 곡면은 <math>k</math>개의 구멍을 뚫은 구이며, 따라서 그 종수는 0이다. 종수가 0인 매듭은 [[자명한 매듭]] 밖에 없다. (그러나 종수가 0이지만 자명하지 않은 연환이 존재한다.)

=== 원환면 매듭 ===
[[파일:Trefoil seifert traced.png|섬네일|오른쪽|세잎매듭을 경계로 하는 [[뫼비우스 띠]]. 이는 [[가향 다양체]]가 아니므로 자이페르트 곡면이 아니다.]]
<math>(p,q)</math>-[[원환면 매듭]]의 종수는 <math>(p-1)(q-1)/2</math>이다. 예를 들어, (2,1)-원환면 매듭인 [[세잎매듭]]의 종수는 1이다. 세잎매듭의 그림
:[[파일:TrefoilKnot 01.svg]]
에서, 자이페르트 알고리즘을 가하면, <math>(m,d,f) = (1,3,2)</math>이므로 종수 <math>(2+3-2-1)/2 = 1</math>을 얻는다. (이 경우, 해소된 그림은 밖의 큰 원과 속의 작은 원으로 구성된다. 세잎그림의 그림에서 방향을 무시하는 해소를 취하면, <math>f = 3</math>이지만, 이 경우 얻게 되는 곡면은 세 번 뒤튼 [[뫼비우스 띠]]이므로 [[유향 다양체]]가 아니다.)

=== 호프 연환 ===
[[호프 연환]]의 한 자이페르트 곡면은 다음과 같다.
:[[파일:Hopf_band_wikipedia.png|300px]]
아이소토피를 무시하면, 이는 두 개의 구멍이 뚫린 구(즉, 두 개의 원판의 [[연결합]]와 [[미분 동형]])이다. 따라서, 호프 연환의 종수는 0이다.

=== 8자 매듭 ===
8자 매듭(4<sup>1</sup>번 매듭)의 종수는 1이다.

== 역사 ==
[[헤르베르트 자이페르트]]가 1934년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용 |first=Herbert |last=Seifert |title=Über das Geschlecht von Knoten |journal=Mathematische Annalen |volume=110 |issue=1 |pages=571–592 |year=1934 |doi=10.1007/BF01448044 }}</ref>

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
{{위키공용분류}}
* {{매스월드|id=SeifertSurface|title=Seifert surface}}
* {{매스월드|id=SeifertMatrix|title=Seifert matrix}}
* {{매스월드|id=KnotGenus|title=Knot genus}}
* {{nlab|id=Seifert surface}}

[[분류:매듭 이론]]
[[분류:곡면]]