자이베르그-위튼 이론 문서 원본 보기

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[[이론물리학]]에서 '''자이베르그-위튼 이론'''(זייברג-Witten理論, {{llang|en|Seiberg–Witten theory}})은 4차원 <math>\mathcal N=2</math> [[초대칭 게이지 이론]]의 낮은 에너지 [[유효 이론]]을 다루는 이론이다.<ref>{{저널 인용|언어=en|arxiv=hep-th/9611118|제목=Brief résumé of Seiberg–Witten theory|url=https://archive.org/details/arxiv-hep-th9611118|이름=R.|성=Flume|공저자=L. O’Raifeartaigh, I. Sachs|bibcode=1996hep.th...11118F|날짜=1996}}</ref><ref name="Lerche">{{저널 인용|언어=en|arxiv=hep-th/9611190|제목=Introduction to Seiberg-Witten theory and its stringy origin|doi=10.1002/prop.2190450304|bibcode=1997ForPh..45..293L|저널=Fortschritte der Physik|권=45|호=3–4|쪽=293–340|날짜=1997|이름=Wolfgang|성=Lerche|issn=0015-8208}}</ref><ref>{{저널 인용|언어=en|arxiv=hep-th/9611209|제목=Solitons, monopoles and duality: from sine-Gordon to Seiberg–Witten|doi=10.1002/prop.2190450303|bibcode=1997ForPh..45..237K|이름=Sergei V.|성=Ketov|저널=Fortschritte der Physik|권=45|호=3–4|쪽=237–292|날짜=1997|issn=0015-8208}}</ref><ref>{{저널 인용|언어=en|arxiv=hep-th/9701069|제목=Introduction to ''S''-duality in ''N''=2 supersymmetric gauge theories (a pedagogical review of the work of Seiberg and Witten)|doi=10.1002/prop.2190450302|bibcode=1997ForPh..45..159A|이름=Luis|성=Álvarez-Gaumé|공저자=S. F. Hassan|저널=Fortschritte der Physik|권=45|호=3–4|쪽=159–236|날짜=1997|issn=0015-8208}}</ref><ref>{{저널 인용|언어=en|arxiv=hep-th/9601007|제목=Duality in ''N''=2 SUSY ''SU''(2) Yang-Mills theory: A pedagogical introduction to the work of Seiberg and Witten|이름=Adel|성=Bilal|bibcode=1996hep.th....1007B|날짜=1996}}</ref><ref>{{저널 인용|언어=en|arxiv=hep-th/9705131|제목=On the geometry behind ''N''=2 supersymmetric effective actions in four dimensions|이름=Albrecht|성=Klemm|bibcode=1997hepcbconf..120K|날짜=1997}}</ref><ref>{{저널 인용|언어=en|arxiv=hep-ph/9911525|제목=Supersymmetry and duality in field theory and string theory|이름= Elias|성=Kiritsis|bibcode=1999hep.ph...11525K|날짜=1999}}</ref><ref>{{서적 인용|언어=en|arxiv=hep-th/9709180|장=Duality in quantum field theory (and string theory)|이름=Luis|성=Álvarez-Gaumé|공저자=Frederic Zamora|doi=10.1063/1.55087|bibcode=1998AIPC..419....1A|issn=0094-243X|isbn=1-56396-743-X|제목=Trends in theoretical physics: CERN-Santiago de Compostela-La Plata meeting|url=https://archive.org/details/isbn_156396743|기타=American Institute of Physics Conference Proceedings 419|쪽=[https://archive.org/details/isbn_156396743/page/1 1]–53|날짜=1998|출판사=American Institute of Physics}}</ref> 이 이론은 [[수학]]에서 4차원 [[매끄러운 다양체]]의 [[위상수학]]을 다루는 데 사용된다.<ref>{{저널 인용|성=Witten|이름=Edward|저자링크=에드워드 위튼|제목=Monopoles and four-manifolds|arxiv=hep-th/9411102|bibcode=1994hep.th...11102W|zbl=0867.57029|저널=Mathematical Research Letters|권=1|호=6|쪽=769–796|날짜=1994|doi=10.4310/MRL.1994.v1.n6.a13|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|언어=en|장=The geometry and physics of the Seiberg–Witten equations|이름=Siye|성=Wu|doi=10.1007/978-1-4612-0067-3_7|제목=Geometric Analysis and Applications to Quantum Field Theory|url=https://archive.org/details/geometricanalysi00adam|기타=Progress in Mathematics 205|쪽=[https://archive.org/details/geometricanalysi00adam/page/n162 157]–203|isbn=978-1-4612-6597-9|출판사=Birkhäuser|위치=Boston|날짜=2002}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=|The Seiberg-Witten equations and 4-manifold topology|이름=S. K.|성=Donaldson|저자링크=사이먼 도널드슨|제목=The Seiberg-Witten equations and 4-manifold topology|저널=Bulletin of the American Mathematical Society|권=33|날짜=1996|쪽=45–70|doi=10.1090/S0273-0979-96-00625-8|mr=1339810|zbl=0872.57023|issn=0273-0979|언어=en}}</ref> [[끈 이론]]과도 밀접한 관련이 있다.<ref name="Lerche"/><ref name="Witten97">{{저널 인용|arxiv=hep-th/9703166|제목=Solutions of four-dimensional field theories via M-theory|이름=Edward|성=Witten|저자링크=에드워드 위튼|저널=Nuclear Physics B|권=500|호=1–3|쪽=1997-09-01|쪽=3–42|doi=10.1016/S0550-3213(97)00416-1|bibcode=1997NuPhB.500....3W|언어=en}}</ref>

== 전개 ==
=== 4차원 𝒩=2 초대칭 이론 ===
4차원 <math>\mathcal N=2</math> [[초대칭 게이지 이론]]은 8개의 초전하({{lang|en|supercharge}})를 가지는 이론이다. <math>\mathcal N=2</math> [[초다중항]]은 두 가지가 있다.
* '''벡터 초다중항'''({{llang|en|vector hypermultiplet}})은 벡터 [[게이지 보손]]과 복소 스칼라, 두 개의 바일 페르미온을 포함한다. 이는 <math>\mathcal N=1</math> 벡터 초다중항과 <math>\mathcal N=1</math> 손지기 초다중항({{llang|en|chiral supermultiplet}})을 합친 것과 같다. 이는 게이지 군의 [[딸림표현]]을 따른다.
* '''하이퍼 초다중항'''({{llang|en|hypermultiplet}})은 두 개의 복소 스칼라와 두 개의 바일 페르미온을 포함한다.이는 두 개의 <math>\mathcal N=1</math> 손지기 초다중항을 합친 것과 같다.
이 이론의 낮은 에너지 [[유효 이론]]은 다음과 같은 데이터로 나타내어진다.
* 벡터 초다중항의 운동항과 상호작용은 '''프리퍼텐셜'''({{llang|en|prepotential}})이라는 하나의 함수 <math>F</math>로 나타내어진다. 프리퍼텐셜은 벡터 초다중항에 대한 정칙 함수다.
* 하이퍼 초다중항의 운동항은 [[초켈러 다양체]] 계량으로 나타내어진다. 이 밖에도, 하이퍼 초다중항은 정칙 초퍼텐셜({{llang|en|superpotential}})을 가질 수 있다.

<math>\mathcal N=2</math> 초대칭 게이지 이론의 벡터 초다중항의 퍼텐셜은 다음과 같다.
:<math>V(\phi)=\frac1{g^2}\operatorname{tr}[\phi,\bar{\phi}]^2</math>
따라서, 게이지 군의 카르탕 부분군({{llang|en|Cartan subgroup}}, 최대 가환 부분군)을 따라서는 퍼텐셜이 평탄하며, 이 방향으로 진공 기댓값이 존재할 수 있다. 이 경우를 '''쿨롱 가지'''({{llang|en|Coulomb branch}})라고 한다. 또한, 하이퍼 초다중항의 초퍼텐셜이 특별한 꼴을 가질 경우 (예를 들어, 두 질량이 서로 같은 경우), 하이퍼 초다중항의 스칼라장도 진공 기댓값을 가질 수 있다. 이를 '''힉스 가지'''({{llang|en|Higgs branch}})라고 한다. <math>\mathcal N=2</math> 초대칭 게이지 이론의 진공 모듈러스 공간은 국소적으로 쿨롱 가지와 힉스 가지의 곱이다.

진공 모듈러스 공간의 임의의 위치에서, (대전된) 하이퍼 초다중항들은 모두 질량을 얻게 되고, 게이지 군은 아벨 부분군으로 깨진다. (힉스 가지에 있지 않은 경우, 이 군은 게이지 군의 카르탕 부분군이다.) 남아 있는 무질량 벡터 초다중항의 스칼라장은 아벨 게이지 군의 딸림표현으로, 대전되어 있지 않다. 따라서, <math>\mathcal N=2</math> 게이지 이론의 낮은 에너지 (윌슨) [[유효 이론]]은 이 장들의 [[시그마 모형]]으로 나타내어진다.

=== 모듈러스 공간과 모노드로미 ===
자이베르그-위튼 이론은 다음과 같이 전개된다. 편의상 SU(2) 게이지 군을 생각하자.
# <math>\mathcal N=2</math> 초대칭의 중심 전하(central charge)는 <math>a</math> (<math>\langle\phi\rangle=a\sigma_3</math>)와 <math>a_D=\partial F/\partial a</math> 두 개이다.
# 양자 초대칭 게이지 이론의 모듈러스 공간은 게이지 불변 [[카시미르 불변량]] <math>u=2a^2=\operatorname{tr}(\phi^2)</math>으로 좌표를 잡을 수 있는 [[리만 구]]이다.
# <math>u</math> 공간 위에서 프리퍼텐셜은 다음 세 곳에서 특이점을 가진다.
## <math>u=\infty</math>는 반고전적 근사가 유효한 구역이며, 이 곳에서 복소 [[결합 상수]] <math>\tau(a)=\partial^2F(a)/\partial a^2=\partial a_D/\partial a</math>는 발산한다. 이 곳에서는 <math>a\to\infty</math>이다.
## 프리퍼텐셜 <math>F</math>는 반고전적 근사가 유효하지 않은 <math>u=\Lambda^2</math>에서도 발산한다. 이 점들에서는 [[자기 홀극]]이 가벼워지게 돼, [[유효 이론]]은 이 자기 홀극으로 씌여지게 된다. 여기서는 <math>a_D\to0</math>이며, 따라서 <math>1/a</math> 대신 <math>a_D</math>로 [[섭동 이론]]을 전개한다.
## 프리퍼텐셜은 또한 반고전적 근사가 유효하지 않은 <math>u=-\Lambda^2</math>에서도 발산한다. 이 경우는 <math>u=\Lambda^2</math>와 유사하게 특정 자기 홀극들이 가벼워지지만, 대신 <math>a-2a_D\to0</math>이다. 따라서 이 근처에서 자연스러운 변수는 <math>a-2a_D</math>이다.
# 프리퍼텐셜이 발산하는 점 <math>u=\infty,\pm\Lambda^2</math> 근처에서의 [[모노드로미]]는 초대칭의 성질을 통해 알 수 있다.
# 따라서, 프리퍼텐셜 <math>\mathcal F</math>는 그 특이점과 [[모노드로미]]가 모두 알려진 [[정칙함수]]다. 이러한 함수를 찾는 문제를 '''[[리만-힐베르트 문제]]'''({{llang|en|Riemann–Hilbert problem}})이라고 하며, 이는 고전적 [[복소해석학]]을 통해 이미 그 해가 알려져 있다. 따라서 이를 사용하여 낮은 에너지에서의 <math>\mathcal N=2</math> [[초대칭 게이지 이론]]을 비섭동적으로 풀 수 있다.

보다 일반적으로, 게이지 군 <math>G</math>가 주어졌을 때, 모듈러스 공간은 <math>G</math>의 [[카르탕 부분군]] <math>T(G)\subset G</math>의 [[바일 군]](<math>G</math>의 [[근계]]의 [[자기동형사상군]]) <math>W(G)</math>에 대한 [[몫공간]]  <math>T(G)/W(G)</math>이다. 이 모듈러스 공간은 [[바일 군]] 불변, 게이지 불변 [[카시미르 불변량]]들로 좌표를 잡을 수 있다. 예를 들어, <math>G=SU(N)</math>인 경우, 카르탕 부분군은 <math>N-1</math>차원이며, 바일 군은 [[대칭군 (군론)|대칭군]] <math>S_N</math>이다. 따라서 그 모듈러스 공간은 <math>\mathbb C^{N-1}/S_N</math>이며, 바일 불변 카시미르 불변량 <math>u_2,u_3,\dots,u_N</math>은 다음과 같다.
:<math>\det_{N\times N}(1_{N\times N}x-\phi)=x^N-u_2x^{N-2}-u_3x^{N-3}\cdots-u_{N-1}x-u_N</math>

=== 스펙트럼 곡선 ===
<math>u</math> 공간에서의 [[모노드로미]]는 어떤 [[타원 곡선]]의 [[모듈러 군]]으로 해석할 수 있다. 이 타원 곡선을 '''자이베르그-위튼 곡선'''({{llang|en|Seiberg–Witten curve}}) 또는 '''스펙트럼 곡선'''({{llang|en|spectral curve}})이라고 한다. 타원 곡선은 위상수학적으로 [[원환면]]이므로, 1차 호몰로지 <math>H^1(\mathbb T^2)\cong\mathbb Z^2</math>의 기저 <math>\{\alpha,\beta\}</math>를 잡자. 타원 곡선 위에 [[유리형 함수|유리형]] 1차 [[미분 형식]] <math>\lambda</math>가 존재하여, <math>a=\int_\alpha\lambda</math>, <math>a_D=\int_\beta\lambda</math>로 쓸 수 있다.

이에 따라, 주어진 <math>u</math>에서 가능한 복소 [[결합 상수]] <math>\tau</math>들의 모듈러스 공간은 [[모듈러 곡선]] <math>X_0(4)=\mathbb H/\Gamma_0(4)</math>가 된다. 여기서 <math>\mathbb H</math>는 복소 [[상반평면]]이고, <math>\Gamma_0(4)</math>는 [[모듈러 군]]의 [[합동 부분군]]의 한 종류다. 모듈러 곡선은 특정 구조를 가진 [[타원곡선]]의 모듈러스 공간이다.<ref>{{서적 인용
 | first=Dale | last=Husemöller
 | 날짜 = 2004
 | 제목 = Elliptic Curves
 | edition = 2판
 | 기타 = Graduate Texts in Mathematics 111
 | publisher = Springer | 위치=New York
 | isbn= 978-0-387-95490-5
 | 언어=en
 | doi=10.1007/b97292
 | zbl =1040.11043
}}</ref>{{rp|211–215}} 여기서 특정 구조는 타원곡선의 주어진 4차 [[순환군|순환부분군]]이다. 따라서, 이 모듈러 곡선을 자이베르그-위튼 곡선의 모듈러스 공간으로 해석한다.

== 끈 이론과 M이론으로의 해석 ==
자이베르그-위튼 이론은 [[끈 이론]]으로 자연스럽게 해석할 수 있다.<ref name="Lerche"/><ref name="Witten97"/><ref>{{저널 인용|제목=Self-dual strings and N=2 supersymmetric field theory|이름=A.|성=Klemm|공저자=W. Lerche, P. Mayr, [[캄란 바파|C. Vafa]], N. Warner|arxiv=hep-th/9604034|bibcode=1996NuPhB.477..746K|doi=10.1016/0550-3213(96)00353-7|저널=Nuclear Physics B|권=477|호=3|쪽=746&ndash;764|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Classical M-fivebrane dynamics and quantum ''N''=2 Yang-Mills|날짜=1998-01-29|이름=P.S.|성=Howe|공저자=N. D. Lambert, P. C. West|arxiv=hep-th/9710034|doi=10.1016/S0370-2693(97)01424-X|bibcode=1998PhLB..418...85H|저널=Physics Letters B|권=418|호=1&ndash;2|쪽=85&ndash;90|issn=0370-2693|언어=en}}</ref> 이 경우, <math>\mathcal N=2</math> [[초대칭 게이지 이론]]은 [[D4-막]]과 [[NS5-막]]의 교차점에 존재한다. [[M이론]]에서는 D4-막과 NS5-막 둘 다 [[M5-막]]이 되므로, 이는 어떤 [[리만 곡면]]에 감긴 M5-막이 된다. 이 리만 곡면이 자이베르그-위튼 곡선이다.

IIA형 [[초끈 이론]]에서 <math>\mathcal N=2</math> [[초대칭 게이지 이론]]을 정의한다고 하자. D4-막들과 NS5-막들의 위치는 다음과 같다.
:{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! 막 !! 0 || 1 !! 2 !! 3 !! 4 !! 5 !! 6 !! 7 !! 8 !! 9
|-
| NS5 || — || — || — || — || • || • || • || — || — || •
|-
| D4 || — || — || — || — || • || • || • || • || • || <nowiki>|—|</nowiki>
|}
즉, 012378 방향으로 위치한 NS5-막들 사이에 01239 방향으로 D4-막들이 놓여 있다. 예를 들어, 다음과 같은 꼴이다.
:[[파일:GhostLeg4.svg|100px]]
여기서 세로는 (''x''<sup>7</sup>,''x''<sup>8</sup>)-방향으로 뻗은 NS5-막, 가로는 ''x''<sup>9</sup>-방향으로 뻗은 D4-막을 나타낸다. 그렇다면 이 두 막들이 교차하는 0123 방향에서는 ¼-BPS, 즉 <math>\mathcal N=2</math> [[초대칭 게이지 이론]]이 존재한다. 이 경우 D4-막의 겹침에 의하여 게이지군은 <math>\mathrm{SU}(N_1)\times\mathrm{SU}(N_2)\times\cdots\times\mathrm{SU}(N_k)</math> 꼴이 된다. (<math>\mathrm{U}(N)</math>이 아니라 <math>\mathrm{SU}(N)</math>인 이유는 NS5-막에 의하여 D4-막들이 무한히 무거워져, D4-막들 전체의 [[질량 중심]]을 나타내는 <math>\mathrm{U}(1)</math> 인자가 사라지기 때문이다.<ref name="Witten97"/>) 예를 들어, 위 그림의 경우 게이지 군은 <math>\mathrm{SU}(2)</math>이다 (<math>\mathrm{SU}(1)</math>은 [[자명군]]이다).

이러한 IIA형 막 배위는 [[M이론]]으로 해석할 수 있다. M이론에서는 10번째 추가 차원이 존재하고, D4-막은 이 추가 차원을 감는 [[M5-막]]으로, NS5-막은 추가 차원을 감지 않는 [[M5-막]]으로 해석한다. M5-막은 ([[D-막]]과 달리) 다른 M5-막에 붙어 있을 수 없으므로, 이는 복잡한 모양을 가진 하나의 M5-막으로 나타내어진다. 789(10) 방향을 2차원 복소 공간 <math>\mathbb C^2</math>로 해석한다면, M5-막은 <math>\mathbb C^2</math> 속에 놓인 리만 곡면 <math>\Sigma\subset\mathbb C^2</math>를 감게 된다. ([[초대칭]]을 보존하려면 이 곡면이 정칙 부분다양체, 즉, [[리만 곡면]]이어야 한다.)
:{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! 막 !! 0 || 1 !! 2 !! 3 !! 4 !! 5 !! 6 !! 7 !! 8 !! 9 !! 10
|-
| M5 || — || — || — || — || • || • || •
| colspan=4 | ([[리만 곡면]])
|}

== 역사 ==
[[나탄 자이베르그]]와 [[에드워드 위튼]]이 1994년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/9407087|제목=Electric–magnetic duality, monopole condensation, and confinement In ''N''=2 supersymmetric Yang–Mills theory|doi=10.1016/0550-3213(94)90124-4|bibcode=1994NuPhB.426...19S|저널=Nuclear Physics B|권=426|호=1|날짜=1994-09-05|쪽=19–52|언어=en|이름=Nathan|성=Seiberg|저자링크=나탄 자이베르그|공저자=[[에드워드 위튼|Edward Witten]]|issn=0550-3213}}</ref><ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/9408099|제목=Monopoles, duality and chiral symmetry breaking in ''N''=2 supersymmetric QCD|doi=10.1016/0550-3213(94)90214-3|bibcode=1994NuPhB.431..484S|저널=Nuclear Physics B|권=431|호=3|쪽=484–550|날짜=1994-12-12|언어=en|이름=Nathan|성=Seiberg|저자링크=나탄 자이베르그|공저자=[[에드워드 위튼|Edward Witten]]|issn=0550-3213}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[긴즈부르크-란다우 이론]]
* [[도널드슨 불변량]]
== 참고 문헌 ==
{{각주|20em}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=Seiberg-Witten theory}}

[[분류:초대칭]]
[[분류:게이지 이론]]