자이베르그-위튼 불변량 문서 원본 보기

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[[위상수학]]에서 '''자이베르그-위튼 불변량'''(זייברג-Witten不變量, {{llang|en|Seiberg–Witten invariant}})은 4차원 [[매끄러운 다양체]]의 불변량의 하나로, [[게이지 이론]]의 [[자기 홀극]] [[모듈라이 공간]]의 성질을 나타낸다. 이는 [[도널드슨 불변량]]과 동치인 것으로 추측된다.

== 정의 ==
4차원 콤팩트 [[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위에 [[스핀C 구조]] <math>s</math>가 주어졌다고 하자.

=== 수학적 정의 ===
<math>M</math> 위의, 스핀C 구조 <math>s</math>에 대한 [[스피너]] [[벡터다발]]
:<math>W=W^+\oplus W^-</math>
을 정의하자. <math>W^\pm</math>은 각각 <math>M</math> 위의 복소수 2차원 벡터다발이다. <math>\psi_\alpha</math>가 <math>W^+</math>의 단면이라고 하고, <math>A_\mu</math>가 <math>M</math>의 [[표준 선다발]] 위의 접속이라고 하자. 그렇다면, '''자이베르그-위튼 방정식''' <math>\phi</math> 및 <math>A</math>에 대한 비선형 연립 [[편미분 방정식]]이며, 다음과 같다.
:<math>D_\mu\sigma^\mu_{\alpha\dot\beta}\psi_\alpha=0</math>
:<math>F^+_{\mu\nu}=
(\bar\psi\sigma_\mu\sigma_\nu\psi)^+</math>
여기서 <math>D_\mu=\partial+iA_\mu</math>는 <math>A</math>에 의한 공면 미분이며, <math>F^+_{\mu\nu}</math>는 <math>A_\mu</math>의 장세기
:<math>F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu</math>
의 자기 쌍대 성분이며, <math>\sigma_\mu</math>는 [[파울리 행렬]]이다.

자이베르그-위튼 방정식의 해는 '''[[자기 홀극]]'''이라고 하며, 자이베르그-위튼 방정식의 해의 [[모듈라이 공간]]의, 게이지 군의 작용에 대한 몫공간을 '''자기 홀극 모듈러스 공간'''({{llang|en|monopole moduli space}})이라고 한다.

다양체 <math>M</math>이 '''단순형 다양체'''({{llang|en|manifold of simple type}})일 경우, 자기 홀극 모듈러스 공간은 0차원이며, 이 경우 '''자이베르그-위튼 불변량'''은 모듈러스 공간의 점의 수를 부호를 붙여 센 것이다.

=== 물리학적 정의 ===
<math>\mathcal N=2</math> SU(2) 초대칭 게이지 이론에서, 낮은 에너지 극한을 취하면 <math>\mathcal N=2</math> U(1) 초대칭 [[양자 전기역학]], 즉 U(1) 초대칭 게이지 이론 및 대전된 하이퍼 [[초다중항]]을 얻는다. 이 경우, 하이퍼 초다중항으로부터 새로 유도되는 장들은 다음과 같다.
{| class=wikitable
! 기호 !! U(1) 전하 !! 설명 !! 뒤틀기 전 군 표현 SU(2)<sub>left</sub>×SU(2)<sub>right</sub>×SU(2)<sub>R</sub>×U(1)<sub>R</sub> !! 뒤튼 뒤 군 표현 SU(2)<sub>left</sub>×SU(2)<sub>right</sub>×U(1)<sub>R</sub> !! 뒤튼 뒤 설명
|-
| <math>M^*</math> || −1 || 반스페르미온  || (0, 0, ½)<sup>0</sup> || (0,½)<sup>0</sup> || <math>\bar M_{\dot\alpha}</math>
|-
| <math>N_\alpha</math> || +1 || 페르미온  || (½, 0, 0)<sup>−1</sup> || (½,0)<sup>−1</sup> || <math>N_\alpha</math>
|-
| <math>\bar N_{\dot\alpha}</math> || −1 || 반페르미온  || (0, ½, 0)<sup>+1</sup> || (0,½)<sup>+1</sup> || <math>\bar N_{\dot\alpha}</math>
|}
이 경우 <math>(\bar M_{\dot\alpha},\bar N_{\dot\alpha})</math>는 <math>Q</math>의 다중항을 이룬다. <math>N</math>은 방정식 <math>DM=0</math>에 대응한다.

== 성질 ==
<math>\mathcal N=2</math> [[초대칭 게이지 이론]]은 [[재규격화군]] 이론을 통해 적외선 (=낮은 에너지) 극한을 가지며, 이 극한은 [[자이베르그-위튼 이론]]을 사용하여 완전히 계산할 수 있다. 위상 뒤틀기는 재규격화군 흐름과 가환하므로, [[도널드슨 불변량]]을 자이베르그-위튼 이론을 통해 계산할 수 있어야 한다. 따라서, 물리학적으로는 자이베르그-위튼 불변량이 [[도널드슨 불변량]]과 동치라는 것은 분명하지만, 이는 수학적으로 엄밀히 증명되지 않았다.

== 역사 ==
1994년에 [[에드워드 위튼]]은 [[자이베르그-위튼 이론]]을 기반으로 자이베르그-위튼 불변량을 도입하였으며, 이들의 크론하이머-므로카 기본류와의 관계를 제시하였다.<ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/9411102|제목= Monopoles and Four-Manifolds|이름=Edward |성=Witten|저자링크=에드워드 위튼|저널=Mathematical Research Letters|권=1|호=6|쪽=769-796|날짜=1994|doi=10.4310/MRL.1994.v1.n6.a13|issn=1073-2780|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/9709193|제목=Integration over the <math>u</math>-plane in Donaldson theory|이름=Gregory|성= Moore|이름2= Edward |성2=Witten|저자링크2=에드워드 위튼|저널=Advances in Theoretical and Mathematical Physics|issn=1095-0761|권=1|호=2|쪽=298-387|날짜=1998|bibcode=1997hep.th....9193M|zbl=0899.57021|언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Seiberg-Witten equations}}
* {{nlab|id=Seiberg-Witten theory}}
* {{저널 인용|url=http://www.kias.re.kr/etc_img/bbs_file/KN_2007_35/KN_2007_35_09.pdf|제목=저차원 다양체 연구, 게이지 이론으로 풀다!|저자=김진홍|저널=과학의 지평|권=35|쪽=9–16|날짜=2007|언어=ko|access-date=2017-09-14|archive-date=2015-07-13|archive-url=https://web.archive.org/web/20150713085343/http://www.kias.re.kr/etc_img/bbs_file/KN_2007_35/KN_2007_35_09.pdf|url-status=}}

{{전거 통제}}

[[분류:기하학적 위상수학]]
[[분류:미분위상수학]]
[[분류:편미분 방정식]]
[[분류:4-다양체]]