자유 아벨 군 문서 원본 보기

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[[군론]]에서 '''자유 아벨 군'''(自由Abel群, {{llang|en|free Abelian group}})은 원소들이 가환성 밖의 아무런 추가 [[항등식]]을 만족시키지 않는 [[아벨 군]]이다.

== 정의 ==
[[아벨 군]] <math>A</math>의 부분 집합 <math>B\subset A</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 집합을 <math>A</math>의 '''기저'''(基底, {{llang|en|basis}})라고 한다.
* 임의의 <math>a\in A</math>에 대하여, <math>a=\sum_{b\in S}n_bb</math>인 유한 집합 <math>S\subset B</math> 및 정수 <math>n_b\in\mathbb Z</math>가 유일하게 존재한다.
* 임의의 아벨 군 <math>C</math> 및 함수 <math>f\colon B\to C</math>에 대하여, <math>\phi|_B=f</math>인 유일한 [[군 준동형]] <math>\phi\colon A\to C</math>가 존재한다.

[[아벨 군]] <math>A</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 아벨 군을 '''자유 아벨 군'''이라고 한다.
* <math>A</math>는 하나 이상의 기저를 갖는다.
* <math>A\cong\mathbb Z^{\oplus\kappa}</math>인 [[기수 (수학)|기수]] <math>\kappa</math>가 존재한다. 여기서 <math>\mathbb Z^{\oplus\kappa}</math>는 <math>\kappa</math>개의 <math>\mathbb Z</math>들의 [[직합]]이다.
* <math>A</math>는 [[정수환]]의 [[자유 가군]]이다.
* <math>A</math>는 <math>\langle b_i\;(i\in I)|b_ib_j=b_jb_i\forall i,j\in I\rangle</math>의 꼴의 [[군의 표시|표시]]를 갖는다. 여기서 <math>I</math>는 임의의 집합이다.

자유 아벨 군의 모든 기저들의 [[집합의 크기]]는 같으며, 이 [[기수 (수학)|기수]]를 자유 아벨 군의 '''계수'''(階數, {{llang|en|rank}})라고 한다. 이는 [[벡터 공간]]의 차원에 대응하는 개념이다.

어떤 집합 <math>B</math>에 대하여, <math>B</math>를 기저로 하는 자유 아벨 군을 정의할 수 있다. 이를 '''<math>B</math>로부터 생성되는 자유 아벨 군'''(-生成-自由Abel群, {{llang|en|free Abelian group generated by <math>B</math>}})이라고 한다.

== 성질 ==
자유 아벨 군의 모든 부분군은 자유 아벨 군이다. (이는 [[리하르트 데데킨트]]가 증명하였다.) 임의의 개수의 자유 아벨 군들의 [[직합]]은 자유 아벨 군이다. 유한 개의 자유 아벨 군들의 [[직접곱]]은 (직합과 같으므로) 자유 아벨 군이다. 그러나 무한 개의 자유 아벨 군의 경우 이는 성립하지 않는다. 유한 개의 자유 아벨 군들의 [[텐서곱]]은 자유 아벨 군이다.

임의의 두 자유 아벨 군에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 서로 [[동형]]이다.
* 계수가 ([[기수 (수학)|기수]]로서) 같다.

계수가 2 이상인 자유 아벨 군은 [[자유군]]이 아니다.

== 예==
[[자명군]]은 자명하게 계수가 0인 자유 아벨 군을 이룬다. [[정수]]의 덧셈군 <math>(\mathbb Z,+)</math>은 계수가 1인 자유 아벨 군이다.

'''베어-슈페커 군'''(Baer–Specker群, {{llang|en|Baer–Specker group}}) <math>\mathbb Z^{\times\aleph_0}</math> (즉, 가산 무한 개의 [[무한 순환군]]들의 [[직접곱]])은 자유 아벨 군이 아니다. 그러나 이 군의 모든 [[가산 집합|가산]] 부분군은 자유 아벨 군이다.

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Free Abelian group}}
* {{매스월드|id=FreeAbelianGroup|title=Free Abelian group}}

[[분류:아벨 군론]]