자유 가군 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{대수 구조}}
[[환론]]에서 '''자유 가군'''(自由加群, {{llang|en|free module}})은 '''기저'''를 가지는 [[가군]]이며, 가군의 [[대수 구조 다양체]]에서의 [[자유 대수]]이다. 어떤 자유 가군의 '''기저'''(基底, {{llang|en|basis}})는 그 가군을 [[선형생성]]하는, [[선형 독립]]인 [[부분 집합]]이다. 달리 말해, 자유 가군의 임의의 원소에 [[선형 결합]]으로서 유일한 표현을 부여하는 가군의 부분 집합이다.

== 정의 ==
모든 [[환 (수학)|환]]은 곱셈 항등원을 가지며, 모든 가군에 항등원이 [[항등 함수]]로 작용한다고 하자.

=== 기저 ===
[[환 (수학)|환]] <math>R</math> 위의 [[왼쪽 가군]] <math>M</math>의 '''기저'''({{llang|en|basis}}) 또는 '''하멜 기저'''({{llang|en|Hamel basis}})는 다음 두 조건을 만족시키는 [[부분 집합]] <math>B\subseteq M</math>이다.
* (선형 생성) 임의의 가군 원소 <math>m\in M</math>에 대하여, <math>m=r_1b_1+r_2b_2+\cdots+r_nb_n</math>인 유한 개의 기저 원소 <math>b_1,b_2,\dots,b_n\in B</math> 및 <math>r_1,r_2,\dots,r_n\in R</math>가 존재한다.
* (선형 독립) 임의의 유한 개의 기저 원소 <math>b_1,b_2,\dots,b_n\in B</math> 및 <math>r_1,r_2,\dots,r_n\in R</math>에 대하여, 만약 <math>0=r_1b_1+r_2b_2+\cdots+r_nb_n</math>이라면, <math>0=r_1=r_2=\cdots=r_n</math>이다.
[[오른쪽 가군]]의 경우도 마찬가지로 정의된다. "하멜 기저"는 특히 [[바나흐 공간]]의 [[샤우데르 기저]]나 [[힐베르트 공간]]의 [[정규 직교 기저]]와 구분하기 위하여 사용된다.

이에 따라, 만약 왼쪽 가군 <math>_RM</math>의 기저 <math>B</math>가 존재한다면, 가군의 모든 원소 <math>m</math>을 다음과 같은 꼴로 (항의 순서를 무시하면) 유일하게 나타낼 수 있다.
:<math>m=r_1b_1+r_2b_2+\cdots+r_nb_n\qquad(n\in\mathbb N,\;r_1,\dots,r_n\in R\setminus\{0\},\;b_1,\dots,b_n\in B)</math>
(여기서 <math>\mathbb N</math>은 음이 아닌 정수의 집합이며, 0개의 항의 합은 <math>0\in M</math>으로 정의한다.)

'''순서 기저'''(順序基底, {{llang|en|ordered basis}})는 임의의 [[전순서]]를 부여한 기저이다. 유한 순서 기저 <math>\{b_1,b_2,\dots,b_n\}</math>를 가진 자유 가군 <math>M</math>의 임의의 원소 <math>m\in M</math>는 다음과 같이 표준적으로 유일하게 표시할 수 있다.
:<math>m=r_1b_1+r_2b_2+\cdots+r_nb_n\qquad(r_1,\dots,r_n\in R)</math>
이 경우, <math>r_i</math>를 <math>m</math>의 '''<math>i</math>번째 좌표'''({{llang|en|<math>i</math>th coordinate}})라고 한다. [[행렬]] 표기법을 사용할 경우, 흔히 이는
:<math>m=\begin{pmatrix}
r_1\\r_2\\\vdots\\r_n
\end{pmatrix}
</math>
로 표기한다.

=== 자유 가군 ===
(곱셈 항등원을 갖춘) [[환 (수학)|환]] <math>R</math> 위의 '''자유 왼쪽 가군'''({{llang|en|free left module}})은 적어도 하나의 기저를 가질 수 있는 <math>R</math> 위의 [[왼쪽 가군]]이다. [[오른쪽 가군]]에 대해서도 기저 및 '''자유 오른쪽 가군'''({{llang|en|free right module}})을 마찬가지로 정의할 수 있다.

== 성질 ==
모든 자유 가군은 [[사영 가군]]이다. 반대로, (가환) [[국소환]] 또는 [[주 아이디얼 정역]]에 대한 사영 가군은 자유 가군이다. 이들은 다음과 같은 함의 관계의 일부이다.
:[[파일:Module properties in commutative algebra.svg]]

[[나눗셈환]] 위의 모든 [[왼쪽 가군]]은 자유 왼쪽 가군이며, [[나눗셈환]] 위의 모든 [[오른쪽 가군]]은 자유 오른쪽 가군이다. (이 사실을 증명하기 위해서는 일반적으로 [[선택 공리]]가 필요하다.) 특히, [[체 (수학)|체]] 위의 [[가군]]은 [[벡터 공간]]이라고 하며, [[벡터 공간]]은 항상 자유 가군이다. (체는 [[가환환]]이므로 왼쪽·오른쪽 가군을 구별할 필요가 없다.)

=== 불변 기저 수 성질 ===
[[환 (수학)|환]] <math>R</math>가 주어졌을 때, 임의의 두 양의 정수 <math>m,n\in\mathbb Z^+</math>에 대하여 <math>_R(R^m)\cong {}_R(R^n)</math>이라면 (즉, <math>R</math>-[[왼쪽 가군]]으로서 서로 [[동형]]일 경우) <math>m=n</math>이 성립할 경우, <math>R</math>가 왼쪽 '''불변 기저 수 성질'''(不變基底數性質, {{llang|en|invariant basis number property}}, 약자 IBN)을 만족시킨다고 한다. 불변 기저 수 성질을 만족시키는 환 위의 자유 가군의 경우, 그 계수를 유일하게 정의할 수 있다.

다음과 같은 환들은 [[왼쪽 가군]]에 대한 불변 기저 수 성질을 만족시킨다.
* [[자명환]]이 아닌 [[가환환]]
* [[자명환]]이 아닌 [[왼쪽 뇌터 환]]
* [[자명환]]이 아닌 [[반국소환]]({{llang|en|semilocal ring}}, [[제이컵슨 근기]]에 대한 [[몫환]]이 [[반단순환]]인 [[환 (수학)|환]])
특히, 모든 [[나눗셈환]]은 왼쪽·오른쪽 불변 기저 수 성질을 만족시킨다.

불변 기수 성질은 유한 집합에서만 의미가 있는데, 이는 무한 기저의 경우 그 크기가 항상 불변이기 때문이다. 구체적으로, 환 <math>R</math> 위의 [[왼쪽 가군]] <math>V</math>의 두 기저 <math>B,B'\subseteq V</math>가 주어졌다고 하자. 또한, <math>B</math>가 [[무한 집합]]이라고 하자. 그렇다면 항상  <math>|B|=|B'|</math>이다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
편의상
:<math>B=\{b_i\}_{i\in I}</math>
:<math>B'=\{b'_{i'}\}_{i'\in I'}</math>
로 표기하자. 기저의 정의에 따라서
:<math>b'_{i'}=\sum_{i\in I}r_{i,i'}b_i</math>
인 <math>r_{i,i'}\in R</math>를 (유일하게) 찾을 수 있다. 또한,
:<math>I_{i'}=\{i\in I\colon r_{i,i'}\ne0\}\qquad\forall i'\in I'</math>
는 항상 [[유한 집합]]이다.

[[귀류법]]을 사용하여, <math>|I|>|I'|</math>이라고 가정하자. <math>I'</math>은 [[유한 집합]]이거나 [[무한 집합]]이며, 두 경우 모두
:<math>\sum_{i'\in I'}|I_{i'}|<|I|</math>
가 성립한다.
* '''만약 <math>I'</math>이 [[유한 집합]]이라면:''' <math>\textstyle\sum_{i'\in I'}|I_{i'}|</math> 역시 유한하며, 따라서
*:<math>\sum_{i'\in I'}|I_{i'}|<\aleph_0\le|I|</math>
* '''만약 <math>I'</math>이 [[무한 집합]]이라면:'''
*:<math>\sum_{i'\in I'}|I_{i'}|\le\sum_{i'\in I'}\aleph_0=\aleph_0|I'|=\max\{|I',\aleph_0|\}=|I'|<|I|</math>
따라서,
:<math>i_0\in I\setminus\bigcup_{i'\in I}I_{i'}</math>
를 고를 수 있다. 그렇다면
:<math>b_{i_0}=\sum_{i'\in I}s_{i'}b'_{i'}\qquad(s_{i'}\in R)</math>
라고 하면,
:<math>b_{i_0}=\sum_{i\in I}\sum_{i'\in I}s_{i'}r_{i,i'}b_i</math>
가 되어, <math>b_{i_0}</math>를 <math>B\setminus\{b_{i_0}\}</math>의 유한 선형 결합으로 나타낼 수 있다. 따라서 <math>B</math>는 기저가 될 수 없으며, 이는 모순이다.
</div></div>

따라서, 불변 기저 수 성질을 만족시키는 환 위의 자유 가군의 경우, 그 기저의 [[집합의 크기|크기]]는 불변량을 이룬다. 이를 자유 가군의 '''계수'''({{llang|en|rank}}) 또는 (특히 [[나눗셈환]] 위의 가군의 경우) '''차원'''({{llang|en|dimension}}) 또는 '''하멜 차원'''({{llang|en|Hamel dimension}})이라고 한다.

=== 불변 기저 수 성질의 강화 ===
환 <math>R</math> 위의 다음과 같은 세 성질을 생각하자.<ref name="Cohn">{{저널 인용|제목=Some remarks on the invariant basis number property|이름=P. M.|성=Cohn|doi=10.1016/0040-9383(66)90006-1|저널=Topology|권=5|호=3|날짜=1996-09|쪽=215-228|issn=0040-9383|언어=en}}</ref>
# <math>R</math>는 왼쪽 자유 기저 수 성질을 만족시킨다.
# 임의의 자연수 <math>n</math>에 대하여, 자유 왼쪽 가군 <math>R^n</math>은 <math>n</math>개 미만의 원소로 생성될 수 없다.
# 임의의 자연수 <math>n</math> 및 자유 왼쪽 가군 <math>R^n</math>의 크기 <math>n</math>의 부분 집합 <math>\{v_1,v_2,\dots,v_n\}\subseteq R^n</math>에 대하여, 만약 <math>Rv_1+Rv_2+\cdots+Rv_n=R^n</math>이라면 <math>\{v_1,\dots,v_n\}</math>은 기저를 이룬다.
조건 2는 조건 1을 함의하며, 조건 3은 조건 2를 함의한다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다. 즉, 조건 1을 만족시키지만 조건 2를 만족시키지 않는 환이 존재하며, 조건 2를 만족시키지만 조건 3을 만족시키지 않는 환이 존재한다.

이들에 대한 충분 조건은 다음과 같다.
* [[자명환]]이 아닌 [[왼쪽 뇌터 환]]은 조건 1~3을 만족시킨다.<ref name="Cohn"/>{{rp|216, Proposition 2.1}}
* [[자명환]]이 아닌 [[오른쪽 뇌터 환]]은 조건 1~3을 만족시킨다.<ref name="Cohn"/>{{rp|217, Proposition 2.2}}
* [[자명환]]이 아닌 [[가환환]]은 조건 1~3을 만족시킨다.<ref name="Cohn"/>{{rp|218, Proposition 2.6}}

== 예 ==
임의의 [[기수 (수학)|기수]] <math>\kappa</math>에 대하여, <math>R</math>를 스스로에 대한 [[왼쪽 가군]]으로 보았을 때, <math>\kappa</math>개의 가군의 [[직합]] <math>R^{\oplus\kappa}</math>은 자유 가군을 이룬다. 반대로, 모든 자유 가군은 이러한 꼴로 나타낼 수 있다.

[[자유 아벨 군]]은 [[정수환]] <math>\mathbb Z</math>의 [[가군]]으로서 자유 가군인 아벨 군이다.

=== 유클리드 공간 ===
[[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^3</math>의 세 벡터
:<math>e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math>
:<math>e_2 =\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math>
:<math>e_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math>
는 <math>\mathbb R^3</math>의 기저를 이룬다. 보다 일반적으로, 이를테면 <math>n</math>차 단위 행렬 <math>I_{n}</math>을 구성하는 열벡터의 집합 <math>\{e_{1},\cdots,e_{n}\}</math>은 유클리드 공간 <math>\mathbb R^n</math>의 정규 직교 기저이다. 이를 유클리드 공간 <math>\mathbb R^{n}</math>의 '''표준 기저'''(標準基底, standard basis)라고 한다.

임의의 <math>n</math>차 [[가역 행렬]] <math>A</math>를 구성하는 열벡터의 집합 <math>v=v_1,\cdots,v_n</math>은 [[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n</math>의 기저이다. 따라서 <math>\mathbb R</math>은 표준 기저 외에도 무수히 많은 기저들을 보유한다. 임의의 <math>n</math>차 [[비가역행렬]] <math>B</math>의 [[추축열]]인 열벡터들의 집합 <math>v_{c}=v_{c,1},\cdots,v_{c,n}</math>은 <math>B</math>의 열공간을 생성하는 기저이다. 또한 <math>B</math>의 [[추축행]]인 행벡터들의 집합 <math>v_{r}=v_{r,1},\cdots,v_{r,n}</math>은 <math>B</math>의 행공간을 생성하는 기저이다.

=== 영가군 ===
임의의 [[환 (수학)|환]] 위의 임의의 [[왼쪽 가군]]에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 자유 왼쪽 가군이며, [[공집합]]을 기저로 갖는다.
* [[영가군]]이다.

=== 불변 기저 수 성질의 실패 ===
[[자명환]] <math>0</math>은 (자명하게) 불변 기저 수 성질을 만족시키지 않는다. 사실, 임의의 (유한 또는 무한) [[기수 (수학)|기수]] <math>\kappa</math>에 대하여 <math>0^{\kappa}</math>는 ([[한원소 집합]]이므로) [[자명환]] 위의 영가군이다.

임의의 [[환 (수학)|환]] <math>R</math>에 대하여, '''열 유한 행렬환'''({{llang|en|ring of column-finite matrices}}) <math>\operatorname{CFM}(\mathbb N;R)</math>가 다음과 같은 꼴의 "행렬"로 구성된 [[환 (수학)|환]]이라고 하자.
* <math>\operatorname{CFM}(\mathbb N;R)</math>의 원소 <math>(r_{i,j})_{i,j=0,1,2,\dots}</math> (<math>r_{i,j}\in R</math>)는 <math>R</math> 계수의 <math>\mathbb N\times\mathbb N</math> "[[행렬]]"이다.
* <math>\operatorname{CFM}(\mathbb N;R)</math>의 원소의 각 열에서, 0이 아닌 성분의 수는 유한하다.
둘째 조건 때문에 두 행렬의 곱은 무한한 합을 필요로 하지 않아 잘 정의된다. 이 경우, 다음과 같은 [[왼쪽 가군]] 동형 사상이 존재하므로, 불변 기저 수 성질이 성립하지 않는다.
:<math>\operatorname{CFM}(\mathbb N;R)\to\operatorname{CFM}(\mathbb N;R)^2</math>
:<math>(r_{i,j})_{i,j\in\mathbb N}\mapsto\left((r_{i,2j})_{i,j\in\mathbb N},(r_{i,2j+1})_{i,j\in\mathbb N}\right)</math>
즉, 이 가군 동형 사상은 짝수 번째 열과 홀수 번째 열을 분리하는 것이다.

== 역사 ==
기저의 개념은 [[게오르크 프로베니우스]]의 1844년 저서에 등장하지만,<ref name="Dorier">{{저널 인용|제목=A general outline of the genesis of vector space theory|이름=Jean-Luc|성=Dorier|doi=10.1006/hmat.1995.1024|저널=Historia Mathematica|권=22|호=3|날짜=1995|쪽=227–261|언어=en}}</ref>{{rp|245}} 프로베니우스는 이에 대한 용어를 도입하지 않았다. 이후 [[리하르트 데데킨트]]는 1894년에 [[대수적 수론]]을 다루는 과정에서 기저({{llang|de|Basis|바지스}})라는 용어를 (오늘날과 같은 뜻으로) 도입하여 사용하였다.<ref name="Dorier"/>{{rp|248}}<ref>{{서적 인용|이름=Peter Gustav Lejeune|성=Dirichlet|저자링크=페터 구스타프 르죈 디리클레|이름2=Richard|성2=Dedekind|저자링크2=리하르트 데데킨트|제목=Vorlesungen über Zahlentheorie|url=https://archive.org/details/vorlesungenberz02dirigoog|판=4|출판사=Druck und Verlag von Friedrich Vieweg und Sohn|날짜=1894|위치=[[브라운슈바이크]]|언어=de}}</ref>{{rp|468, Supplement XI, §164}}

"하멜 기저"라는 용어는 게오르크 카를 빌헬름 하멜({{llang|de|Georg Karl Wilhelm Hamel}}, 1877~1954)의 이름을 딴 것이다. 1905년에 하멜은 [[선택 공리]]를 사용하여, [[실수]] 집합 <math>\mathbb R</math>가 [[유리수]] [[벡터 공간]]으로서 (하멜) 기저를 가짐을 증명하였다.<ref>{{저널 인용|제목=Eine Basis aller Zahlen und die unstetigen Lösungen der Funktionalgleichung: ''f''(''x''+''y'')=''f''(''x'')+''f''(''y'') |이름=Georg | 성=Hamel|저널=Mathematische Annalen|날짜=1905|권=60|호=3|쪽=459–462|doi=10.1007/BF01457624|issn=0025-5831|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002260395|언어=de}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[자유 대상]]

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용 | last=Lam | first=Tsit-Yuen | 저자링크=람짓윈 | title=Lectures on modules and rings | publisher=Springer-Verlag | series=Graduate Texts in Mathematics | 권= 189 | isbn=978-0-387-98428-5 |mr=1653294 | year=1999 | doi=10.1007/978-1-4612-0525-8|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Free module}}
* {{eom|title=Free resolution}}
* {{eom|title=Basis}}
* {{매스월드|id=FreeModule|title=Free module}}
* {{매스월드|id=Basis|title=Basis}}
* {{매스월드|id=VectorSpaceBasis|title=Vector space basis}}
* {{매스월드|id=VectorBasis|title=Vector basis}}
* {{매스월드|id=StandardBasis|title=Standard basis}}
* {{매스월드|id=HamelBasis|title=Hamel basis}}
* {{nlab|id=free module|title=Free module}}
* {{nlab|id=free resolution|title=Free resolution}}
* {{nlab|id=basis of a vector space|title=Basis of a vector space}}
* {{nlab|id=basis of a free module|title=Basis of a free module}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Free_Module|제목=Definition: free module|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Basis_%28Linear_Algebra%29|제목=Definition: basis (linear algebra)|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Expression_of_Vector_as_Linear_Combination_from_Basis_is_Unique|제목=Expression of vector as linear combination from basis is unique|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Vector_Space_has_Basis|제목=Vector space has basis|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://commalg.subwiki.org/wiki/Free_module|제목=Free module|웹사이트=Commalg|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://unapologetic.wordpress.com/2007/05/05/free-modules/|제목=Free modules|이름=John|성=Armstrong|웹사이트=The Unapologetic Mathematician|날짜=2007-05-05|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://drexel28.wordpress.com/2011/11/17/rank-and-the-ibn-property/|제목=Rank and the IBN property|날짜=2011-11-17|웹사이트=Abstract Nonsense|이름=Alex|성=Youcis|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/46063/explicit-hamel-basis-of-real-numbers|제목=Explicit Hamel basis of real numbers|출판사=Math Overflow|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:가군론]]
[[분류:선형대수학]]