자유군 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[군론]]에서 '''자유군'''(自由群, {{llang|en|free group}})은 그 아무런 관계를 갖지 않는 [[군의 표시|표시]]를 가질 수 있는 [[군 (수학)|군]]이다. 즉, [[군 (수학)|군]]의 [[대수 구조 다양체]]의 [[자유 대수]]이다.

== 정의 ==
'''자유군'''은 [[군 (수학)|군]]의 [[구체적 범주]] <math>\operatorname{Grp}\to\operatorname{Set}</math>의 [[자유 대상]]이다. 즉, 군의 범주에서 [[집합]]의 범주로 가는 망각 함자
:<math>\operatorname{Forget}\colon\operatorname{Grp}\to\operatorname{Set}</math>
는 [[왼쪽 수반 함자]]
:<math>\langle-\rangle\colon\operatorname{Set}\to\operatorname{Grp}</math>
:<math>\langle-\rangle\dashv\operatorname{Forget}</math>
를 가지며, 집합 <math>S</math>로부터 생성되는 '''자유군''' <math>\langle S\rangle</math>은 [[함자 (수학)|함자]] <math>\langle-\rangle</math>에 대한 [[상 (수학)|상]]이다.

=== 구성 ===
집합 <math>S</math>로부터 생성되는 자유군은 구체적으로 다음과 같이 구성할 수 있다. <math>S</math>의 원소들을 형식적 기호로 생각하고, 기호들의 집합 <math>S^{-1}=\{s^{-1}\colon s\in S\}</math>를 생각하자. 그렇다면, 알파벳 <math>S\sqcup S^{-1}</math>으로 구성되는 [[문자열]] <math>\sigma\in(S\sqcup S^{-1})^*</math>을 생각할 수 있다 (<math>^*</math>는 [[클레이니 스타]]).

문자열 <math>\sigma\in(S\sqcup S^{-1})^*</math>이
:<math>ss^{-1}\qquad(s\in S)</math>
또는
:<math>s^{-1}s\qquad(s\in S)</math>
꼴의 부분 문자열을 갖지 않는다면, 이를 '''기약 문자열'''({{llang|en|reduced string}})이라고 한다. 임의의 문자열 <math>\sigma\in(S\sqcup S^{-1})^*</math>에 대하여, 위의 꼴의 부분 문자열들을 (임의의 순서로) 거듭하여 제거하면 결국 기약 문자열을 얻으며, 이렇게 얻는 기약 문자열은 부분 문자열의 제거 순서와 무관하다. 이를 문자열의 '''축소화'''({{llang|en|reduction}})라고 하자. 그렇다면, 자유군 <math>\langle S\rangle</math>은 <math>(S\sqcup S^{-1})^*</math> 속의 기약 문자열들의 집합으로 구성할 수 있다. 이 경우, 기약 문자열 <math>\sigma,\sigma'\in(S\sqcup S^{-1})^*</math>에 대하여, 군 [[이항 연산]] <math>\sigma\cdot\sigma'</math>은 두 문자열의 이음 <math>\sigma\sigma'</math>의 축소화이다.

이 구성에서 군의 항등원은 길이 0의 문자열이며, 기약 문자열 <math>\sigma</math>의 역원은 <math>\sigma</math>의 순서를 거꾸로 한 뒤, <math>s\in S</math> 꼴의 알파벳은 <math>s^{-1}</math>로, <math>s^{-1}\in S^{-1}</math> 꼴의 알파벳은 <math>s</math>로 치환하여 얻는 문자열이다. (이러한 문자열은 항상 기약 문자열이다.)

== 성질 ==
=== 크기 ===
집합 <math>S</math>로부터 생성되는 자유군 <math>\langle S\rangle</math>의 크기는 다음과 같다.
:<math>|\langle S\rangle|=\begin{cases}
1&|S|=0\\
\aleph_0&1\le|S|\le\aleph_0\\
|S|&|S|\ge\aleph_0
\end{cases}</math>
두 집합 <math>S</math>, <math>T</math>에 대하여 다음 두 조건이 [[동치]]이다.
* <math>|S|=|T|</math>
* <math>\langle S\rangle</math>와 <math>\langle T\rangle</math>는 군으로서 서로 [[동형]]이다.
자유군 <math>F</math>의 '''계수'''는 <math>F</math>를 생성하는 [[집합의 크기]]이다. 이는 위 정리에 따라 유일하다.

=== 군론적 성질 ===
계수가 0인 자유군은 [[자명군]]이다. 계수가 1인 자유군은 [[무한 순환군]]이다. 계수가 2 이상인 자유군은 비아벨 군이다. 정의에 따라, 모든 [[군 (수학)|군]]은 어떤 자유군의 [[몫군]]으로 나타낼 수 있다. 가산 계수의 자유군의 몫군으로 나타내어지는 군을 '''유한 생성 군'''({{llang|en|finitely generated group}})이라고 한다.

자유군의 [[아벨화]]는 [[자유 아벨 군]]이다.

==== 부분군 ====
'''닐센-슈라이어 정리'''({{llang|en|Nielsen–Schreier theorem}})에 따르면, 자유군의 모든 [[부분군]]은 자유군이다. 이 정리는 야코브 닐센({{llang|da|Jakob Nielsen}}, 1890~1959)이 1921년에 유한 생성 부분군에 대하여 증명하였으며,<ref>{{저널 인용 | last1=Nielsen | first1=Jakob | title=Om Regning med ikke-kommutative Faktorer og dens Anvendelse i Gruppeteorien | 언어=da | jfm=48.0123.03 | year=1921 | journal=Matematisk Tidsskrift B | volume=1921 | pages=78–94|url=http://runeberg.org/matetids/1921b/0083.html}}</ref> 오토 슈라이어({{llang|de|Otto Schreier}}, 1901~1929)가 1927년 [[하빌리타치온]] 논문에서 일반적인 경우에 대하여 증명하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Otto|성=Schreier|제목=Die Untergruppen der freien Gruppe|날짜=1927|저널= Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg|권=5|쪽=161–183|doi=10.1007/BF02952517|언어=de}}</ref> 닐센-슈라이어 정리의 증명은 [[선택 공리]]를 필요로 한다. 선택 공리가 성립하지 않으며, 닐센-슈라이어 정리 역시 거짓인 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]의 [[모형 (논리학)|모형]]이 존재한다.

계수가 2개 이상인 자유군은 모든 [[가산 집합|가산]] 계수의 자유군을 [[부분군]]으로 갖는다.

=== 논리학적 성질 ===
[[알프레트 타르스키]]는 1945년 경에 계수가 2 이상인 자유군의 [[1차 논리]] 이론은 모두 동형이며, 이는 [[결정 가능 이론]]이라고 추측하였다.<ref>{{저널 인용|제목=
Address at the Princeton University Bicentennial Conference on Problems of Mathematics (December 17-19, 1946)|이름=Alfred|성=Tarski|저자링크=알프레트 타르스키|이름2=Hourya|성2=Sinaceur|doi= 10.2307/421074 |jstor=421074|저널=The Bulletin of Symbolic Logic|권=6|호=1|날짜=2000-03|쪽=1–14|언어=en}}</ref> 이 두 추측을 증명하는 두 편의 논문이 2006년에 발표되었으나,<ref>{{저널 인용|last=Sela|first= Zlil|title=Diophantine geometry over groups. VI. The elementary theory of a free group|journal=Geometric and Functional Analysis|권= 16 |날짜=2006-06|issue= 3|pages= 707–730|mr=2238945|doi=10.1007/s00039-006-0565-8|issn=1016-443X|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|last=Kharlampovich|first=Olga|last2=Myasnikov|first2=Alexei|title=Elementary theory of free non-abelian groups|journal=Journal of Algebra|volume=302|year=2006|issue=2|pages=451–552|doi=10.1016/j.jalgebra.2006.03.033|url=http://www.math.mcgill.ca/~olga/p3new.PDF|mr=2293770|언어=en|확인날짜=2016-01-01|보존url=https://web.archive.org/web/20161021134745/http://www.math.mcgill.ca/~olga/p3new.PDF|보존날짜=2016-10-21|url-status=dead}}</ref> 이 논문들에 대해서는 아직 논란이 있다.<ref>{{저널 인용|날짜=2014|제목=A report on Tarski’s decidability problem: “Elementary theory of free nonabelian groups” by O. Kharlampovich and A. Myasnikov|이름=Zlil|성=Sela|arxiv=1401.5711|bibcode=2014arXiv1401.5711S|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|날짜=2014|제목=On Tarski’s decidability Problem: response to Sela’s report|last=Kharlampovich|first= Olga|last2= Myasnikov|first2= Alexei|arxiv=1402.0482|bibcode=2014arXiv1402.0482K|언어=en}}</ref>

== 응용 ==
계수 2의 자유군의 [[케일리 그래프]]는 [[바나흐-타르스키 역설]]의 증명에 등장한다.

[[대수적 위상수학]]에서, 임의의 [[기수 (수학)|기수]] <math>\kappa</math>에 대하여, <math>\kappa</math>개의 [[원 (기하학)|원]]들의 [[쐐기합]] <math>\textstyle\bigwedge^\kappa\mathbb S^1</math>의 [[기본군]]은 계수 <math>\kappa</math>의 자유군이다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Free group}}
* {{매스월드|id=FreeGroup|title=Free group}}
* {{nlab|id=free group|title=Free group}}
* {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Free_group|제목=Free group|웹사이트=Groupprops|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Finitely_generated_free_group|제목=Finitely generated free group|웹사이트=Groupprops|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Locally_free_group|제목=Locally free group|웹사이트=Groupprops|언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[자유곱]]
* [[자유 아벨 군]]

[[분류:군론]]
[[분류:기하군론]]