자연방정식 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
'''자연방정식'''(natural equation) 혹은 '''본질방정식'''(intrinsic equation)이란, [[미분기하학]]에서 사용되는 용어로서 어떤 [[곡선]]을 그 곡선에 특징적인 성질들을 가지고 재정의할 때 이용된다.

통상적인 곡선은 어떤 원점에 대한 3차원 [[유클리드 공간]]에서 세 개의 정규 직교 기저에 의한 [[위치벡터]] 표현으로 표현될 수 있는데, 이는 하나의 [[매개변수]] <math>t</math>에 대하여 3개의 종속변수가 요구되는 방법이다. 그러나 일반적으로 곡선은 특정한 원점에 대한 의존성을 제거하면, 두 개의 종속변수만으로 표현될 수 있다. 이것이 바로 좌표 표현에 부가적으로 자연방정식을 이용하는 이유이다. 자연방정식은 여러 목적에 대하여 몇 가지 동등한 표현식들이 존재할 수 있다.

==평면곡선에 대한 자연방정식==

곡선이 '''평면곡선'''이라는 조건이 들어가면, 오직 하나의 종속변수만으로 곡선을 정의할 수 있다.
* [[휘웰 방정식]]({{llang|en|Whewell equation}})은 [[호]]의 [[길이]] <math>s</math>를 매개변수로 하여 접선의 각만으로 곡선을 정의하는 방정식이다.
* [[체사로 방정식]]({{llang|en|Cesàro equation}})은 호의 길이를 매개변수로 하여 [[곡률]]만으로 평면곡선을 정의하는 방정식이다.

==공간곡선에 대한 자연방정식==

곡선이 일반적인 3차원 공간에 대하여 정의되면, 그 자연방정식은 두 개의 종속변수가 필요하다. 이 때의 일반적인 자연방정식에는 호의 길이를 매개변수로 하여 곡률과 [[곡선 비틀림]]의 두 개의 값이 이용된다.

그런데 평면곡선에 대한 경우의 자연방정식은 그 곡선 결정의 유일성 증명이 쉽고 직관적이지만, 공간곡선에 대해서부터는 자명하지 않다. 이를 증명하기 위해서는 [[프레네-세레 공식]]이 필요하다. 이 증명은 많은 경우의 유일성 증명과 유사하게 곡률과 비틀림이 같은 두 개의 곡선을 가정하고, 적당히 평행이동시켜 각각의 호의 길이가 같은 경우의 적어도 한 점에서 일치하도록 만들고 나서 프레네-세레 공식을 적용하여 약간의 대수적 조작을 가하는 방식으로 진행하면 어렵지 않게 할 수 있다.

==자유 차원 좌표계에 대한 자연방정식==
{{빈 문단}}

== 같이 보기 ==
* [[곡선]]
* [[곡률]]
* [[곡선 비틀림]]
* [[프레네-세레 공식]]
* [[휘웰 방정식]]
* [[체사로 방정식]]

== 참고 문헌 ==

*박진석, 표용수, 김향숙, 『mathematica를 활용한 미분기하학 개론(7/e)』, 경문사, 2009

{{토막글|기하학}}

[[분류:미분기하학]]
[[분류:곡선]]