자연로그의 밑 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{소문자}}
'''[[자연로그]]의 [[밑 (수학)|밑]]'''(base of the natural logarithm)<ref>대한수학회, [http://www.kms.or.kr/mathdict/list.html?key=kname&keyword=%EC%9E%90%EC%97%B0%EB%A1%9C%EA%B7%B8%EC%9D%98+%EB%B0%91 대한수학회 공식 홈페이지]</ref>은 [[실수|무리수]]인 [[수학 상수|상수]]로 <math>2.71828\ 18284\ 59045\ 23536\ 02874\ \cdots</math>로 나타내어지며 기호 <math>e</math>로 표기한다. 이를 '''네이피어 상수'''<ref>https://www.nature.com/articles/s41567-019-0655-9</ref>, '''오일러 수'''<ref>https://www.nature.com/articles/s41567-019-0655-9</ref>, '''자연상수'''<ref>https://www.hindawi.com/journals/jm/2011/563413/</ref>라고도 부른다. 

== 정의 ==

* <math>e</math>는 다음의 [[극한]]값으로 표현되며, 가장 일반적으로 정의되고 있는 [[야코프 베르누이]]의 방법이다.<ref>이은승, MATHPEDIA 수학용어사전, 넥서스, 2008년, {{ISBN|89-6000-377-8}}, 132쪽</ref>

: <div style="text-align:center; width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;"> <math>e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math> </div>
:
* <math>e</math>는 좌표평면상의 네 개의 그래프 <math>y=\dfrac{1}{x},~</math><math>x</math> 축<math>,~ x=1,~ x=t(>1)</math>로 둘러싸인 부분의 [[넓이]]가 <math>1</math>일 때, <math>t</math>의 값이다. 이 정의는 [[로그함수]], [[극한]], 정적분의 선행 없이 쓸 수 있는 정의이다. 이를 [[정적분]]으로 표현하면 다음과 같다.

:<div style="text-align:center; width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;"> <math>\int_{1}^e \frac{1}{x} dx = 1</math> </div>

:이때 정적분 값이 항상 양수이므로 넓이로 부를 수 있다.
*<math>e</math>는 무한급수로 표현할 수도 있다.

:<div style="text-align:center; width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;"> <math>e = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}</math>  </div>

:이는 지수함수를 나타내는 [[테일러 급수]]  <math>e^x = \sum_{n=0}^\infty {{x^n}\over{n!}}</math> 에 대하여 <math>x=1</math>일 때의 값이다.

== 명칭 ==
정식 수학 용어는 '''자연로그의 밑'''이지만, 수학교육학 분야에 한정하면 [[로그]]가 선행되지 않은 상태에서 서술되는 경우가 많고 이 때에는 상수 '''<math>e</math>'''로 지칭한다.

그외의 용어는 모두 비공식 용어이다. [[스위스]]의 [[수학자]] [[레온하르트 오일러]]의 이름을 따서 부르자는 의논이 있었으나 오일러가 발견한 수가 많아서 통용되지 않고 있다. 그 외 [[로그 (수학)|로그]] 계산법을 도입한 [[스코틀랜드]]의 수학자 [[존 네이피어]]를 기려 부르자는 이야기가 있었으나, 정작 그것을 발전시켜 밝혀낸 사람은 그가 아닌 [[야코프 베르누이]]여서 무산되었다.<ref>정경훈, [http://www.gmaedu.co.kr/bbs_01/read.asp?kind=1&mode=&top=&field=&word=&page=7&webid=589 자연로그-로그이야기] {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20140714213850/http://www.gmaedu.co.kr/bbs_01/read.asp?kind=1&mode=&top=&field=&word=&page=7&webid=589}}, 국제수학교육원</ref>

== 역사 ==
<math>e</math>의 값이 계산된 최초의 기록은 1618년 [[존 네이피어]]에 의해 발간된 로그표이다. 그러나 네이피어는 [[로그]] 계산의 과정에서 나온 결과 값만을 간단히 다루었을 뿐 <math>e</math>를 [[수학 상수|상수]]로 취급하지는 않았다. 네이피어의 로그는 <math>N = 10^7 (1 - 10^{-7})^L</math> 과 동치이다. 이를 오일러가 정의하여 오늘날까지 사용하고 있는 로그함수 정의로 옮기면 네이피어의 로그는
:<math>N = \log_n L \cdots \cdots n = ( 1- 10^{-7} )^{10^7} </math>
인 로그함수이다. 위의 로그에서 사용된 밑은 <math>e</math>의 역수인 {{frac|1|e}}와 매우 가까운 근삿값이다.<ref>{{서적 인용|성=Maor|이름=Eli|번역자=허민|제목=오일러가 사랑한 수 e|출판사=경문사|연도=2000|isbn=89-7282-467-4|쪽=12-14}}</ref><ref group="주해">바로 밑에 표시된 베르누이의 복리 이자 계산과 식의 형식이 같다는 점에 주목할 것</ref> 후일 [[윌리엄 오트레드]]가 네이피어의 로그표를 사용하여 로그 계산자를 만들었지만 그 역시 <math>e</math>를 특별한 상수로 취급하지는 않았다.<ref>{{서적 인용|성=Maor|이름=Eli|번역자=허민|제목=오일러가 사랑한 수 e|출판사=경문사|연도=2000|isbn=89-7282-467-4|쪽=21}}</ref> 

<math>e</math>가 특정한 상수임을 발견한 사람은 [[야코프 베르누이]]이다. 그는 복리 이자의 계산이 다음과 같은 [[함수의 극한|극한]]을 취할 수 있다는 것을 발견하였다.<ref name="김원기">김원기, 꿈꾸는 과학, 풀로엮은집, 2008년, {{ISBN|89-90431-96-4}}, 206쪽</ref>
: <math>\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math>
베르누이는 위의 식이 [[수렴]]한다는 것과 그것이 특정한 값이 된다는 것을 발견하였다. 물론 그 값은 <math>e</math>이다.

베르누이가 정리한 위의 [[급수 (수학)|급수]]를 처음으로 상수로서 표현한 사람은 [[고트프리트 빌헬름 라이프니츠]]이다. 라이프니츠는 1690년에서 1691년 사이에 [[크리스티안 하위헌스]]에게 쓴 편지에서 이 급수를 “b”로 표현하였다. 한편, 오일러는 1727년에서 1728년 사이에 이 상수를 <math>e</math>로 표현하여 사용하기 시작하였다.<ref>Euler, [http://www.math.dartmouth.edu/~euler/pages/E853.html Meditatio in experimenta explosione tormentorum nuper instituta].</ref> <math>e</math> 라는 표기가 정식 출판물에 처음 등장한 것은 1736년 출판된 오일러의 《[[메카니카]]》이다. 그 이전에는 수학자 마다 여러 알파벳을 사용하여 이 상수를 표기하였으나 《메카니카》의 출판이후 <math>e</math>로 표기하는 것이 관례가 되었다.<ref>[http://www.bookrags.com/research/e-the-number-wsd/ E, the Number] 2011-03-06 읽어봄</ref>

== 자연로그 ==
{{참고|로그}}
<math>e</math>를 밑으로 하는 [[로그]]인 자연로그는 여러 분야에 두루 쓰인다. 로그함수는 정의에 의해 여러 밑을 가질 수 있지만, 일반적으로 밑을 따로 표기하지 않은 <math>\log x</math>는 자연로그를 뜻했다. 하지만 [[상용로그]]와 헷갈리는 문제 때문에 현재는 <math>\ln x</math>로 표기한다. 

로그함수 <math>f(x)=\ln x</math>의 도함수는 <math>f(x)=\frac{1}{x}</math>이다. 즉,
:<math>\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x} </math>
이고,
:<math>\int \frac{1}{x} dx = \ln x + C</math>
이다. 이는 <math>e</math>를 밑으로 한 자연로그의 가장 큰 특징으로 지수가 등차적으로 증가할 때 로그곡선의 기울기는 등비적으로 감소한다는 의미가 된다.<ref>존 더비셔, 박병철 역, 《리만 가설》, 승산, {{ISBN|978-89-88907-88-7}},155-160쪽</ref>

<math>e</math>를 밑으로 하는 자연로그는 여러 가지 증정도와 밀접한 관련을 보인다. 대표적인 것으로는 [[자연수]]에서 주어진 수가 충분히 클때 1에서부터 주어진 수까지의 [[소수 (수론)|소수]]의 개수는 로그함수에 [[점근 표기법|점근]]한다는 [[소수 정리]]가 있다. [[리만 가설]]에서 출발한 이 정리는 1896년 프랑스의 [[자크 아다마르]]와 벨기에의 [[샤를장 드 라 발레푸생|발레푸생]]이 서로 독자적인 연구를 통하여 증명하였다.<ref>존 더비셔, 박병철 역, 《리만 가설》, 승산, {{ISBN|978-89-88907-88-7}}, 214쪽</ref>

이외에도 자연로그는 [[물리]]와 [[화학]] 등 여러 자연 과학의 변화량에서 사용된다.<ref group="주해">복리 이자에 의한 원리합계에서와 같이 자연계의 변화량은 원래의 양을 1로 보았을 때 0에서 1사이의 값을 갖는 비율로 생각될 수 있고, 이는 <math>e</math>의 대수적 비례관계로 파악될 수 있기 때문이다.</ref> 다음은 자연로그가 자연 과학에 사용된 예이다.
* [[루트비히 볼츠만]]은 엔트로피 ''S''와 다중도 ''g''의 자연로그 값이 비례함을 보였다.<ref>JOHN R.TAYLOR 외, 강희재, 현대물리학, 교보문고, 2005년, {{ISBN|89-7085-543-2}}, 666쪽</ref>
:<math>S = k \cdot \ln g </math>
* 두 화학 물질의 1차 반응 속도에 따른 [[농도]]의 변화량은 다음의 식으로 표현된다.<ref>정문호 외, 최신 환경화학, 동화기술, 2006년, {{ISBN|89-425-1064-7}}, 30쪽</ref>
:<math>\ln [A] = -k t + \ln [A]</math><sub>0</sub>
:<small>''A''<sub>0</sub> - 초기 농도, ''k'' - 반응 계수, ''t'' - 시간, ''A'' - 해당 시간에 따른 잔여 물질의 농도</small>

== 특성 ==
<math>e</math>는 [[무리수]]에 속하며 [[초월수]]로 알려져 있다.<ref>이은승, MATHPEDIA 수학용어사전, 넥서스, 2008년, {{ISBN|89-6000-377-8}}, 132쪽</ref>

=== 초월수 ===
<math>e</math>는 대수적 방정식의 해가 될 수 없는 [[초월수]]다.<ref name="김태성">김태성, [http://www.papersearch.net/view/detail.asp?detail_key=10300189 e 및 π의 초월성과 고등학교에서 초월수 지도] {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20121107054942/http://www.papersearch.net/view/detail.asp?detail_key=10300189}}, 한국수학교육학회 A 통권 14권 2호, 1976년, 17-22</ref> 1873년 [[프랑스]]의 [[수학자]] [[샤를 에르미트]]에 의해 <math>e</math>가 초월수임이 증명되었다.<ref>O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Hermite.html "Charles Hermite"], MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.</ref> <math>e</math>가 초월수임을 증명하는 방식은 [[귀류법]]에 의한 것으로 만일 <math>e</math>가 대수적인 수라고 가정하면 다항식을 구성하는 계수가 무한히 약분되는 모순이 생긴다는 것을 보이는 것이다.

===무리수===
또한 <math>e</math>는 [[무리수]]이기도 하다. 이에 대한 증명은 다음과 같다.<ref>이슈 & 논술2.0 자연계 346호, 이슈투데이, 2010년, ISBN AAR0303460, 33쪽</ref>

먼저 <math>e</math>의 테일러 전개는
:<math>\lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} = e</math>
::이때 n까지의 부분합을 X<sub>n</sub>라 하면, <math>X_n= \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}</math> 이다

::<math>e - X_n =  \sum_{k=n+1}^\infty \frac{1}{k!} < \frac{1}{(n+1)!} \cdot \left( 1 + \frac{1}{n+1} + \frac{1}{(n+1)^2} + \frac{1}{(n+1)^3} + \cdots \right) = \frac{1}{n(n)!}</math>
이 성립한다.

이제 <math>e</math>를 유리수라 가정하면 양의 정수 <math>p</math>, <math>q</math>에 대해
:<math>e=\frac{p}{q}</math>
가 되어야 한다. 따라서,
:<math>0 < e - X_q < \frac{1}{q(q)!}</math>
이어야 하고 이 부등식의 각 변에 <math>q!</math>를 곱하면
:<math>0 < q!(e - X_q) < \frac{1}{q} \cdots \cdots (1)</math>
이 된다. 한편, <math>e</math> = {{frac|p|q}} 라 가정하였으므로
:<math>q! e = q! \frac{p}{q} = p(q-1)!</math>
이 된다. 이에 따라 <math>q!e</math>와 <math>q!X</math> <sub><math>q</math></sub>는 양의 정수가 되어야 하므로 <math>q!(e - X_q)</math> 역시 양의 정수가 되어야 한다. 그런데 위의 식 (1)에서 <math>q!(e - X_q)</math>는 0보다 크고 1보다 작다고 하였으므로 이는 자연수가 될 수 없다. 따라서 <math>e</math>는 두 양의 정수의 비, 즉 유리수로 나타낼 수 없는 무리수이다.

<math>e</math>의 근삿값은 다음과 같은 [[연분수]]의 전개를 통하여 계산할 수 있다.

:<math>e = 2 + \frac{1}{1+ \frac{1}{2+ \frac{2}{3+ \frac{3}{4+ \frac{4}{5+ \cdots}}}}}</math>

=== 계산 ===
[[테일러 전개]]를 이용한 <math>e</math>의 근삿값 계산 결과는 다음과 같다.<ref name="엘리_52">{{서적 인용|제목=오일러가 사랑한 수 e|성=Maor|이름=Eli|연도=2000|출판사=경문사|쪽=52|isbn=89-7282-467-4|번역자=허민}}</ref>
:<math>e =e^1= {1 \over 0!}+ {1\over 1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots</math>
를 사용하여 8차항까지 더하면
:<math>1 +1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{5!} + \frac{1}{6!} + \frac{1}{7!}</math>
::<math> = 2 + \frac{1}{2 \times 1} + \frac{1}{3 \times 2 \times 1} + \cdots + \frac{1}{7 \times 6 \times \cdots 3 \times 2 \times 1}</math>
:::<math> = 2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{120} + \frac{1}{720} + \frac{1}{5040}</math>
::::<math> = 2.718253968 \cdots</math>
위 계산은 소수점 아래 4자리까지 유효하다. 계승이 증가함에 따라 역수는 빠르게 <math>0</math> 에 접근하므로 몇 차례의 계산으로도 <math>e</math>에 매우 근접한 근삿값을 구할 수 있다.<ref name="엘리_52" />

한편 <math>e^n=f(n)</math>인 [[지수함수]]의 테일러 급수는
:<math>e^n = {n^0 \over 0! } +{n^1\over 1!} + {n^2 \over 2!} + {n^3 \over 3!} + {n^4 \over 4!} + \cdots</math>
:<math>\;\; = {1 \over 1 } +{n^1\over 1!} + {n^2 \over 2!} + {n^3 \over 3!} + {n^4 \over 4!} + \cdots</math>
이다.

=== 함수론 ===
[[파일:Exp.svg|섬네일|<math>y=e^x</math>]]
<math>e</math>는 [[함수]]의 [[미분]]과 [[적분]]에서 특별하게 취급된다. <math>e</math>에 대한 임의 차원의 지수함수인 <math>f(x) = e^x</math>는 이를 미분한 [[도함수]]가 다시 자기 자신이 되는 함수이다. 또한, 곡선 <math>f(x) = e^x</math>에 대한 <math> x= - \infty</math>에서 <math>x=1</math>까지 아래 넓이는 <math>e</math>이다.<ref>{{서적 인용|제목=오일러가 사랑한 수 e|성=Maor|이름=Eli|연도=2000|출판사=경문사|쪽=55|isbn=89-7282-467-4|번역자=허민}}</ref>

먼저 <math>f(x) = e^x</math>의 미분을 보면,
:<math>\frac{d}{dx} e^x = e^x</math>
이다. 이에 대한 증명은 다음과 같은 계산을 통해 확인할 수 있다.<ref>이슈 & 논술2.0 자연계 346호, 이슈투데이, 2010년, ISBN AAR0303460, 32쪽</ref>
:<math> \frac{d}{dx} e^x = \lim_{n \to 0} \frac{e^{x + n} - e^x}{n} = e^x \cdot \lim_{n \to 0} \frac{e^n - 1}{n} </math>
::이때, <math>\lim_{n \to 0} \frac{e^n - 1}{n} = 1</math>
:::따라서, <math> \frac{d}{dx} e^x = e^x</math>

한편 오른쪽 그림과 같은 <math>y=e^x</math>의 [[함수의 그래프|그래프]]에서 <math> x= - \infty</math>에서 <math>x=1</math>까지 아래 넓이는 아래와 같다.
:<math>\int_{-\infty}^1 e^x\,dx = e</math>

== 적용 ==
=== 복리문제 ===
복리 적금의 원리합계는 다음의 식과 같이 계산할 수 있다.<ref>앙드레 주에트, 김보현 역, 수의 비밀, 이지북, 2001년, {{ISBN|89-89422-43-4}}, 156-157쪽</ref>
: 원리 합계 = 원금 X (1 + 이율)<sup>기간</sup>
예를 들어 1,000원을 예금하였을 때의 복리 합계는 이율에 따라 다음과 같이 계산 된다.
{| class="wikitable mw-collapsible"
|기간 || 3% ||4% || 5% || 6%
|-
|1년 || 1,030 || 1,040 || 1,050 || 1,060
|-
|2년 || 1,061 || 1,081 || 1,102 || 1,123
|-
|3년 || 1,093 || 1,124 || 1,157 || 1,191
|-
|4년 || 1,126 || 1,169 || 1,215 || '''1,262'''
|-
|5년 || 1,159 || 1,216 || '''1,276''' || 1,338
|-
|6년 || 1,194 || '''1,265''' || 1,340 || 1,418
|}
위의 식을 이용하면 원리합계가 목표하는 금액이 되기 위해서 얼마의 기간이 필요한 지 계산할 수 있다. 예를 들어 1천원을 복리 5%로 예금할 때 원리합계가 1억원을 넘기 위해서는 236년이 걸린다.<ref group="주해"><math>1000 \cdot (1 + 5\%) ^{236} = 100,155,449</math> 소수점 이하 반올림</ref> 또한, 위의 표를 보면 이율과 기간 사이에 일정한 관계가 있다는 것을 확인할 수 있다. 즉, 일정 기간이 지났을 때의 원리합계는 특정한 비율을 나타내게 된다. 베르누이는 기간이 n 일 때 이율을 {{frac|1|n}}이라 하면, 이 원리 합계의 극한이 다음과 같이 네이피어의 로그표에 사용된 밑에 [[점근 표기법|점근]]한다는 것을 발견하였다.<ref name="김원기" />
: <math>\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n =  2.71828 \cdots = e</math>

=== 오일러의 공식 ===

{{참고|오일러의 공식|오일러의 등식}}
[[파일:Euler's formula.svg|섬네일|오일러 공식은 [[복소평면]]에서 [[삼각함수]]와 [[지수함수]]의 관계를 나타낸다.]]

1714년 영국의 수학자 로저 코츠는 [[로그|자연 로그 함수]]를 [[복소수]]로 확장할 경우 다음과 같은 삼각함수의 관계식으로 표현될 수 있다는 것을 발견하였다.
:<math> \ln(\cos x + i\sin x)=ix \ </math>
1740년 레온하르트 오일러는 이 식을 지수함수로 변형하여 다음과 같이 나타내었다.
: <math>e^{ix} \,=\, \cos x + i\sin x</math>
이를 [[오일러의 공식]]이라 한다.<ref>John Stillwell (2002). Mathematics and Its History. Springer.</ref><ref name="김원기" />

오일러의 공식은 [[복소평면]]에서 삼각함수와 지수함수의 관계를 설명하고 있다. 이러한 사실은 [[복소수]]를 복소평면 위의 한 [[점 (기하학)|점]]으로 표현할 수 있다는 것을 시사한다. 하지만 코츠나 오일러 모두 이러한 발상을 했음에도 불구하고 복소평면을 일반화하지는 않았다. 복소수를 복소평면의 한 점으로 표현하기 시작한 것은 오일러 공식이 발표된 뒤 50여년이 지난 때부터였다.<ref>이를 복소평면 위의 한 점으로 표현한 최초의 수학자는 프랑스의 장-로베르 아르강({{llang|fr|Jean-Robert Argand}}, 1768년 - 1822년)이었다. - [http://mathworld.wolfram.com/ArgandDiagram.html Argand Diagram]</ref>

오일러 공식은 [[테일러 급수]]를 통해 유도될 수 있다.<ref>Sooji Shin, [https://soojishin.com/wp-content/uploads/2010/08/100824_Euler_Identity.pdf 고등학생을 위한 오일러 등식 e<sup>i π</sup> + 1 = 0의  유도](한국어), 오일러 공식의 유도와 관련하여 특별한 주석이 없는 경우 이 글에서 인용한 것이다.</ref> 아래는 오일러 공식의 유도 과정을 소개한 것이다.

[[절댓값]]이 1 보다 작은 어떤 수 x에 대해 다음과 같은 무한 차수 다항식이 성립한다.
:<math>1 + x + x^2 + x^3 + \cdots = \frac{1}{1-x}</math> (단, |x| < 1)

[[삼각함수]] 역시 위와 같은 조건을 만족하므로 다음과 같은 무한 차수 다항식으로 표기할 수 있다. 삼각함수의 무한 차수 다항식이 실제 무한히 전개된다는 것은 영국의 브룩 테일러가 증명하였기 때문에 이 전개를 흔히 [[테일러 급수]]라고 한다. 사인 함수와 코사인 함수의 테일러 급수는 다음과 같다.
:<math>\sin{x} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \frac{x^9}{9!} - \cdots</math>
:<math>\cos{x} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \frac{x^8}{8!} - \cdots</math>
:

한편 <math>f(z)=e^z</math>인 [[지수함수]]의 테일러 급수는
:<math>e^z = 1 + \frac{z}{1} + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \cdots</math>
이다. 이때, <math>z = i x</math>라 하면 이 테일러 급수의 전개는 다음과 같이 변환될 수 있다.
:<math>e^{ix} = 1 + \frac{ix}{1} - \frac{x^2}{2!} - \frac{ix^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{ix^5}{5!} - \cdots</math> (i<sup>2</sup>= -1)
위 식에서 짝수 차수 항과 홀수 차수 항을 따로 모아 정리하면
:<math>e^{ix} = \left( 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots \right) + i \left( x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots \right)</math>
가 된다. 

위 식을 살펴 보면 실수항은 코사인 함수의 테일러 급수이고 허수항은 사인 함수의 테일러 급수임을 알 수 있다. 따라서, 다음과 같은 [[오일러 공식]]이 성립한다.
: <math>e^{ix} \,=\, \cos x + i\sin x</math>

여기에서 ''x''에 π를 대입하면
:<math>e^{i \pi} + 1 = 0 \!</math>
이 되고, 이를 [[오일러의 공식|오일러의 등식]]<math>\;e^{i \pi} + 1 = 0 \;</math>이라고 한다.<ref>존 더비셔, 박병철 역, 《리만 가설》, 승산, {{ISBN|978-89-88907-88-7}}, 107쪽 - "상수 <math>e</math>는 수학에서 가장 중요하게 취급되는 상수 중 하나이다"</ref>
:

== 미해결 문제 ==
<math>e</math>와 연관된 여러 문제가 아직 해결되지 않았다. 대표적인 문제로는 [[오일러-마스케로니 상수]] γ 가 무리수나 초월수인지를 밝히는 것인데, 아직까지 증명되지 않고 있다. γ 는 조화 급수와 자연로그의 차에 대한 극한으로 다음과 같은 식으로 나타낼 수 있다.<ref>줄리언 헤빌, 고중숙 역, 오일러 상수 감마, 승산, 2008년, {{ISBN|89-6139-018-X}},  379쪽</ref>
:<math>\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}  - \ln(n) \right) = 0.57721 \cdots</math>

== e의 소수점 아래 첫 500자리 ==
<math>e</math>의 소수점 아래 첫 500자리는 아래와 같다. (줄당 100자리)
{| style="font-family: monospace; margin: 0 auto; width: 90%; font-size: 100%"
|- style="vertical-align: top;"
| 2.
<!--|71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274 72305 57892 45199 49102 52204
|-
|
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|-
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|}

== 같이 보기 ==
* [[삼각함수]]
* [[수학 상수]]
* [[자연로그]]
* [[레온하르트 오일러]]
* [[야코프 베르누이]]
* [[존 네이피어]]

== 주해 ==
<references group="주해" />

== 참고 문헌 ==
{{각주|2}}

{{수학 상수}}

{{전거 통제}}

[[분류:수학 상수]]
[[분류:초월수]]
[[분류:무리수]]
[[분류:레온하르트 오일러]]