자연로그 문서 원본 보기

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'''자연로그'''(自然log, {{llang|en|natural logarithm}})는 [[자연로그의 밑|e]]를 밑으로 하는 [[로그]]를 뜻한다. 즉, <math> e^{x}=y </math>일 때, <math> \ln y=x </math>을 자연로그라 한다.

== 표기 ==
<math>x</math>의 자연로그는 <math>\ln x</math>, <math>\log_e x</math>, <math>\log x</math>로 표기할 수 있다. 앞의 두 표기는 모호함이 없다. 하지만 밑을 명시하지 않은 <math>\log x</math>는 수학에서는 자연로그로 사용되는 것이 흔하지만, 다른 분야에서는 [[상용 로그]](common logarithm)로 사용되기도 하므로 혼동될 수 있다.

== 역사 ==
자연로그의 개념은 1649년보다 이전에 [[:en:Gregoire de Saint-Vincent|Gregoire de Saint-Vincent]]와 [[:en:Alphonse Antonio de Sarasa|Alphonse Antonio de Sarasa]]에 의해 수행되었다.<ref>R. P. Burn (2001) "Alphonse Antonio de Sarasa and Logarithms", [[Historia Mathematica]] 28:1 – 17</ref>

자연로그에 대한 초기 언급은 1668년 출판된 Logarithmotechnia라는 책에서 [[:en:Nicholas Mercator|Nicholas Mercator]]가 기술하였지만,<ref>{{웹 인용 |author=J J O'Connor and E F Robertson |url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/e.html |title=The number e |publisher=The MacTutor History of Mathematics archive |date=September 2001 |accessdate=2009-02-02}}</ref> 수학 교사 [[:en:John Speidell|John Speidell]]이 1619년 자연로그 표를 이미 구성해놓았다.<ref>{{서적 인용 |last=Cajori |first=Florian |authorlink=Florian Cajori |title=A History of Mathematics, 5th ed |pages=152 |publisher=AMS Bookstore |year=1991 |isbn=0-8218-2102-4 |url=https://books.google.com/?id=mGJRjIC9fZgC}}</ref>

== 복소수의 자연로그 ==
로그 함수는 다음과 같이 복소수로 확장할 수 있다. 먼저 [[오일러의 공식]]을 보면,
: <math> re  ^{ix} =r(\cos x+i\sin x)</math>
양변에 자연로그를 씌우면
: <math> re  ^{ix} =r(\cos x+i\sin x) </math>
: <math> \therefore \ln r(\cos x+i\sin x)=ix+\ln r</math>

== 미분 ==
<math>y(x) = \ln x</math>이면 <math>y</math>의 <math>x</math>에 대한 미분 <math>{dy \over dx} = \frac{1}{x}</math>이며, 증명은 다음과 같다.
: <math>\begin{align}
{dy \over dx}
& = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\ln (x+\Delta x) - \ln x}{\Delta x} \\
& = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \ln \frac{x+\Delta x}{x} \\
& = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \ln (1+\frac{\Delta x}{x}) \\
& = \lim_{\Delta x \to 0} \ln {(1+\frac{\Delta x}{x})^{\frac{1}{\Delta x}}} \\
\end{align}</math>
<math>u = \frac{\Delta x}{x}</math>로 두면, <math>\Delta x \to 0</math>일 때 <math>u \to 0</math>이다. 따라서
: <math>\begin{align}
{dy \over dx}
& = \lim_{u \to 0} \ln {(1+u)^{\frac{1}{u x}}} \\
& = \lim_{u \to 0} \frac{1}{x} \ln {(1+u)^{\frac{1}{u}}} \\
& = \frac{1}{x} \lim_{u \to 0} \ln {(1+u)^{\frac{1}{u}}} \\
& = \frac{1}{x} \ln e = \frac{1}{x} \\
\end{align}</math>

== 특성 ==
* <math>\ln x = \int_1^x \frac{1}{t}\,dt </math>
* <math>\ln e = 1</math>
* <math> {e^{\ln x}} = x</math>
* <math>\ln xy = \ln x + \ln y, \quad \text{for}\quad x > 0, y > 0</math>
* <math>\ln x < \ln y \quad{\rm for}\quad 0 < x < y</math>
* <math>\lim_{x \to 0} \frac{\ln (1+x)}{x} = 1</math>
* <math>\lim_{n \to 0} \frac{x^n-1}{n} = \ln{x}</math>
* <math>\ln x^y = y \, \ln x \quad \rm{for} \quad \mathit x > 0</math>
* <math>\frac{x-1}{x} \leq \ln x \leq x-1 \quad \rm{for} \quad \mathit x > 0</math>
* <math>\ln (1+x^\alpha) \leq \alpha x \quad \rm {for} \quad \mathit x \ge 0, \alpha \ge 1</math>

== 같이 보기 ==
* [[다중로그]]

== 각주 ==
{{각주}}

{{토막글|수학}}

[[분류:로그]]
[[분류:초등 특수 함수]]
[[분류:단항 연산]]