자리스키 위상 문서 원본 보기

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[[대수기하학]]에서 '''자리스키 위상'''({{llang|en|Zariski topology}})은 [[대수다양체]]나 [[스킴 (수학)|스킴]]에 일반적으로 주어지는 [[위상 공간 (수학)|위상]]이다. 자리스키 위상에서는 [[다항식]]의 해집합을 닫힌 집합으로 정의한다.

== 정의 ==
=== 아핀 대수다양체 ===
[[대수적으로 닫힌 체]] 위의 유한 차원 [[아핀 공간]] <math>\mathbb A^n</math>의 자리스키 위상은 다항식의 해집합을 닫힌 집합으로 정의한다. 즉, 자리스키 위상이 주어진 공간 <math>\mathbb{A}^n</math>의 닫힌 집합은 다항식의 집합 <math>S</math>에 대해
:<math>V(S) = \{x \in \mathbb{A}^n \mid f(x) = 0, \forall f \in S\}</math>
로 주어지고, 이러한 닫힌 집합들의 모임이 위상을 잘 정의한다는 것을 다음 성질을 확인함으로써 증명할 수 있다.
* (''S'')가 ''S''의 원소들로 생성된 [[아이디얼]]인 경우 ''V''(''S'') = ''V''((''S''))가 성립한다.
* 임의의 n변수 다항식 아이디얼''I'', ''J''에 대해
*# <math>V(I) \cup V(J)\,=\,V(IJ);</math>
*# <math>V(I) \cap V(J)\,=\,V(I + J).</math>

<math>\mathbb A^n</math>안의 아핀 대수다양체의 자리스키 위상은 <math>\mathbb A^n</math>에 주어진 자리스키 위상의 [[부분공간 위상]]으로 정의된다.

=== 스킴 ===
(<math>1</math>이 있는) [[가환환]] <math>R</math>에 대해, <math>\operatorname{Spec}R</math>를 <math>R</math>의 [[환의 스펙트럼|스펙트럼]](모든 [[소 아이디얼]]들의 집합)이라고 하고, <math>\operatorname{max\,Spec}R</math>를 그 [[극대 아이디얼]]의 집합이라고 하자. [[극대 아이디얼]]은 [[소 아이디얼]]이므로 <math>\operatorname{max\,Spec}R\subseteq\operatorname{Spec}R</math>이다.

자리스키 위상은 <math>R</math>의 [[아이디얼]] <math>\mathfrak a\subseteq R</math>에 대해 다음 집합을 닫힌 집합으로 정의한다.
:<math>V(\mathfrak a) = \{\mathfrak p\in \operatorname{Spec}R\mid \mathfrak a \subseteq\mathfrak p\}</math>
이것은 아핀 대수다양체에서 자리스키 위상 공간 <math>\mathbb A^n</math>의 [[닫힌집합]] <math>V(S) = \{x \in \mathbb{A}^n \mid f(x) = 0, \forall f \in S\}</math>을 조금 수정하여 확장한 것이다.

왜냐면 <math>x \in \mathbb A^n</math>, <math>f(x) = 0, \forall f \in S</math>은  <math> f\in\mathfrak m_x, \forall f\in S</math>과 동치이다. (여기서 <math>\mathfrak m_x</math>는 점<math>x \in \mathbb{A}^n</math>에 대응되는 [[극대 아이디얼]]이며, 따라서 <math> S \subseteq\mathfrak m_x</math>이다.)
그래서 <math>V(S) = \{\mathfrak m_x \in \operatorname{max\,Spec} R \mid S \subseteq \mathfrak m_x\}</math>으로 바꿔 표현할 수 있다.

이제 여기서 <math>S</math>를 포함하는 [[극대 아이디얼]] 뿐만이 아닌 <math>S</math>를 포함하는 [[소 아이디얼]]들까지 품는 좀더 큰 집합으로 생각하면, <math>S</math>를 대신 아이디얼 <math>\mathfrak a=(S)</math>로 대체하였을 때
:<math>V(\mathfrak a) = \{\mathfrak p\in \operatorname{Spec}R \mid \mathfrak a \subseteq\mathfrak p\}</math>
를 얻는다. 이는 [[아핀 스킴]]의 자리스키 위상을 정의한다.

[[스킴 (수학)|스킴]]은 아핀 스킴을 이어붙여 얻는 [[환 달린 공간]]이므로, 스킴의 자리스키 위상은 아핀 스킴으로 구성된 [[열린 덮개]]로부터 유도된다.

=== 그로텐디크 위상 ===
위상 공간 <math>X</math>의 [[열린 덮개]] <math>\{X_i\}_{i\in I}</math>는 <math>\textstyle\bigcup_{i\in I}X_i=X</math>인 [[열린집합]]들의 모임이다.

스킴의 경우, 자리스키 [[열린집합]]은 [[열린 부분 스킴]]에 대응된다. [[범주론]]적으로, 이는 [[열린 몰입]]으로 생각할 수 있다. 따라서, 스킴 <math>X</math>의 '''자리스키 덮개'''({{llang|en|Zariski cover}})는 같은 [[공역]]을 가진 [[열린 몰입]]의 족 <math>\{\iota_i\colon X_i\to X\}_{i\in I}</math>가운데, 그 [[치역]]들의 합집합이 <math>X</math> 전체인 것이다.
:<math>\bigcup_{i\in I}\iota_i(X_i)=X</math>

자리스키 덮개는 스킴의 범주 <math>\operatorname{Sch}</math> 위의 [[그로텐디크 준위상]]을 이루며, <math>\operatorname{Sch}</math> 위에 이 위상을 부여한 [[위치 (수학)|위치]]를 '''자리스키 위치'''({{llang|en|Zariski site}}) <math>\operatorname{Zar}</math>라고 한다.

스킴 <math>X</math> 위의 '''큰 자리스키 위치'''({{llang|en|big/gros Zariski site}})는 [[조각 범주]] <math>\operatorname{Zar}/X</math>이다.
스킴 <math>X</math> 위의 '''작은 자리스키 위치'''({{llang|en|small/petit Zariski site}}) <math>\operatorname{zar}/X</math>는 다음과 같다.
* <math>\operatorname{zar}/X</math>의 대상은 <math>X</math>를 공역으로 하는 [[열린 몰입]]이다.
* <math>\operatorname{zar}/X</math>의 사상은 위의 [[열린 몰입]]들과 가환하는 [[스킴 사상]]이다.
* <math>\operatorname{zar}/X</math> 위의 덮개는 자리스키 덮개이다.

== 성질 ==
자리스키 위상은 [[유클리드 공간]]의 표준적인 위상과 크게 다른 성질들을 갖는다. 대체로, 자리스키 위상은 매우 엉성하다. 즉, [[열린집합]]과 [[닫힌집합]]이 충분히 존재하지 못한다.

예를 들어, [[대수적으로 닫힌 체]]에 대한 유한 차원 [[아핀 공간]] <math>\mathbb A^n</math>을 생각하자. 이 경우:
* <math>\mathbb A^n</math>의 모든 [[닫힌집합|닫힌]] 진부분 집합은 (적어도 하나의 다항식을 만족시켜야 하므로) <math>n-1</math> 이하의 차원을 갖는다. 즉, [[닫힌집합]]들은 매우 "작다".
* 반대로, [[닫힌집합]]들의 여집합인 [[열린집합]]들은 매우 "크다". 공집합이 아닌 임의의 두 [[열린집합]]은 항상 [[교집합]]을 가지며, 공집합이 아닌 모든 [[열린 집합]]은 [[조밀 집합]]이다.

(고전적 및 스킴) 자리스키 위상은 [[T1 공간|T<sub>1</sub> 위상]]이다. 하지만 유한체가 아닌 체에 대한 대수다양체는 항상 [[하우스도르프 공간]]이 아니다.

[[뇌터 스킴]]의 자리스키 위상은 [[뇌터 위상 공간]]이다. 즉, 뇌터 스킴은 [[콤팩트 공간]]이며, 또한 뇌터 스킴의 모든 부분공간은 [[콤팩트 공간]]이다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용 | 이름=Robin|성=Hartshorne| 날짜 = 1977|제목=Algebraic geometry|저자링크=로빈 하츠혼|출판사=Springer| isbn =  978-0-387-90244-9|mr=0463157 | zbl = 0367.14001 | 언어=en|doi=10.1007/978-1-4757-3849-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=52|issn=0072-5285}}
* {{서적 인용|이름=David S.|성=Dummit|이름2=Richard M.|성2=Foote|날짜=2004|제목=Abstract Algebra|판=3판|출판사=Wiley|isbn=978-0-471-43334-7|zbl=1037.00003|언어=en|oclc=248917264}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Zariski topology}}
* {{매스월드|id=ZariskiTopology|title=Zariski topology}}
* {{nlab|id=Zariski site}}
* {{웹 인용|url=https://mathoverflow.net/questions/21502/what-is-the-zariski-topology-good-bad-for|제목=What is the Zariski topology good/bad for?|출판사=Math Overflow|언어=en}}

[[분류:대수기하학]]
[[분류:스킴 이론]]