자기 조밀 공간 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[일반위상수학]]에서 '''자기 조밀 공간'''(自己稠密空間, {{llang|en|dense-in-itself space}})은 [[고립점]]을 갖지 않는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다.

== 정의 ==
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 '''자기 조밀 공간''' 또는 '''완전 공간'''(完全空間, {{llang|en|perfect space}})이라고 한다.
* <math>X</math>는 [[고립점]]을 갖지 않는다. 즉, 모든 [[한원소 집합]] <math>\{x\}\subseteq X</math>은 [[열린집합]]이 아니다.
* 모든 점이 스스로의 [[극한점]]이다.<ref name="Kechris"/>{{rp|31, §6.A}} 즉, <math>X=\operatorname{acc\,pt}_2(X)</math>이다. (여기서 <math>\operatorname{acc\,pt}_2(X)</math>는 <math>X</math>의 [[극한점]]들의 집합이다.)

이와 관련된 위상 공간의 종류로 다음이 있다.
{| class="wikitable" style="text-align: center"
! 모든 [[한원소 집합]]이 … || [[닫힌집합]]이어야 한다 || [[열린집합]]이어야 한다 || [[닫힌집합]]일 수 없다 || [[열린집합]]일 수 없다 || [[열린집합]]과 [[닫힌집합]]의 교집합이어야 한다
|-
! 위상 공간의 종류
|| [[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]] || [[이산 공간]] || (특별한 이름이 없음) || 자기 조밀 공간 || [[TD 공간|T<sub>D</sub> 공간]]
|}

=== 완전 집합 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 부분 집합 <math>Y\subseteq X</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 '''완전 집합'''(完全集合, {{llang|en|perfect set}})이라고 한다.
* <math>Y=\operatorname{acc\,pt}_2(Y)</math>이다. (여기서 <math>\operatorname{acc\,pt}_2(Y)</math>는 <math>Y</math>의 [[극한점]]들의 집합이다.)
* <math>Y</math>는 <math>X</math>의 [[닫힌집합]]이며, <math>Y</math>는 (독립적인 위상 공간으로 여겼을 때) 자기 조밀 공간이다.<ref name="Kechris"/>{{rp|31, §6.A}}

=== 완전 집합 성질 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 [[부분 집합]] <math>Y\subseteq X</math>가 다음 두 조건 가운데 하나 이상을 만족시킨다면, '''완전 집합 성질'''(完全集合性質, {{llang|en|perfect-set property}})을 만족시킨다고 한다.<ref name="Kechris"/>{{rp|150}}
* [[가산 집합]]이다.
* <math>C\subseteq Y</math>인 <math>X</math>-완전 집합 <math>C\subseteq X</math>가 존재한다.

== 성질 ==
=== 칸토어-벤딕손 정리 ===
<math>\kappa</math>가 무한 [[정칙 기수]]라고 하고, 크기 <math>\kappa</math> 미만의 [[기저 (위상수학)|기저]]를 갖는 위상 공간 <math>X</math>가 주어졌다고 하자. '''칸토어-벤딕손 정리'''(Cantor-Bendixson定理, {{llang|en|Cantor–Bendixson theorem}})에 따르면, 다음이 성립한다.<ref name="Kechris">{{서적 인용|이름=Alexander Sotirios|성=Kechris|제목=Classical descriptive set theory|출판사=Springer-Verlag|날짜=1995|issn=0072-5285|doi=10.1007/978-1-4612-4190-4|isbn=978-1-4612-8692-9|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=156|zbl=0819.04002|mr=1321597|언어=en}}</ref>{{rp|32, Theorem 6.4}}
* <math>X\setminus\operatorname{acc\,pt}_{\kappa}(X)</math>는 <math>X</math>의, 크기 <math>\kappa</math> 미만의 [[열린집합]]이다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content"><math>X</math>의 크기 <math>\kappa</math> 미만의 [[기저 (위상수학)|기저]]를 <math>\mathcal B</math>라고 하자. 정의에 따라 <math>\textstyle X\setminus\operatorname{acc\,pt}_\kappa(X)=\bigcup\{U\in\mathcal B\colon |U|<\kappa\}</math>이며, [[정칙 기수]]의 정의에 따라 우변은 크기 <math>\kappa</math> 미만의 [[열린집합]]이다.</div></div>
* <math>\operatorname{acc\,pt}_\kappa(X)</math>는 <math>X</math>의 완전 집합이다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
다음 두 명제를 보이면 족하다.
* <math>\operatorname{acc\,pt}_\kappa(X)\subseteq\operatorname{acc\,pt}_\kappa(\operatorname{acc\,pt}_\kappa(X))\subseteq\operatorname{acc\,pt}_2(\operatorname{acc\,pt}_\kappa(X))</math>
** 증명: 임의의 <math>x\in\operatorname{acc\,pt}_\kappa(X)</math> 및 그 [[근방]] <math>U\ni x</math>에 대하여, <math>|U|\ge\kappa</math>이지만 <math>|X\setminus\operatorname{acc\,pt}_{\kappa}(X)|<\kappa</math>이므로 <math>|U\cap\operatorname{acc\,pt}_\kappa(X)|\ge\kappa</math>이다.
* <math>\operatorname{acc\,pt}_\kappa(X)\supseteq\operatorname{acc\,pt}_2(\operatorname{acc\,pt}_\kappa(X))</math>
** 증명: 이는 <math>\operatorname{acc\,pt}_\kappa(X)</math>가 [[닫힌집합]]이라는 것과 [[동치]]인데, <math>X\setminus\operatorname{acc\,pt}_\kappa(X)</math>가 [[열린집합]]임을 이미 증명하였다.
</div></div>

특히, <math>\kappa=\aleph_1</math>로 놓자. 그렇다면, [[제2 가산 공간]] <math>X</math>의 경우,
* <math>X</math>의 <math>\aleph_1</math>-[[집적점]]이 아닌 점들의 집합은 <math>X</math>의 가산 [[열린집합]]이다.
* <math>X</math>의 <math>\aleph_1</math>-[[집적점]]들의 집합은 <math>X</math>의 완전 집합이다.

특히, [[폴란드 공간]]의 [[닫힌집합]]은 완전 집합 성질을 갖는다. 특히, 모든 [[폴란드 공간]]은 고립점을 갖지 않는 [[닫힌집합]]과, 이와 [[서로소 집합|서로소]]인 [[가산 집합|가산]] [[열린집합]]으로 분해할 수 있다.

=== 집합의 크기 ===
[[폴란드 공간]]의 모든 완전 집합의 크기는 0이거나 <math>2^{\aleph_0}</math>이다. 따라서, [[폴란드 공간]] 속의 완전 집합 성질 집합의 크기는 <math>\aleph_0</math> 이하이거나 <math>2^{\aleph_0}</math>이다. 즉,  [[폴란드 공간]] 속의 완전 집합 성질 집합은 [[연속체 가설]]의 반례가 될 수 없다.

== 예 ==
[[연결 공간|연결]] [[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]]에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 자기 조밀 공간이다.
* [[한원소 공간]]이 아니다.
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'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
[[한원소 공간]]이 자기 조밀 공간이 아니라는 것은 자명하다. 반대로, <math>X</math>가 연결 [[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]]이라고 하고, <math>x\in X</math>가 [[고립점]]이라고 하자. ([[공집합]]은 정의에 따라 [[연결 공간]]이 아니다.) 즉, <math>\{x\}</math>가 [[열린집합]]이라고 하자. [[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]] 조건에 의하여 사실 <math>\{x\}</math>는 [[열린닫힌집합]]이다. 그런데 [[연결 공간]]에서 [[열린닫힌집합]]은 <math>X</math> 전체 또는 <math>\varnothing</math> 밖에 없다. 따라서, <math>X=\{x\}</math>이다.</div></div>

실수선은 자기 조밀 공간이다. [[칸토어 집합]]은 자기 조밀 [[완전 분리 공간]]이다.

[[무리수]]의 위상 공간  <math>\mathbb R\setminus\mathbb Q\subsetneq\mathbb R</math>는 자기 조밀 공간이지만, 이는 <math>\mathbb R</math>의 [[닫힌집합]]이 아니므로 <math>\mathbb R</math>의 완전 집합이 아니다.

[[시에르핀스키 공간]] <math>\{\circ,\bullet\}</math>에서, <math>\{\bullet\}</math>이 [[닫힌집합]]이라고 할 때, <math>\circ\in\{\circ,\bullet\}</math>는 [[고립점]]이다. 즉, [[시에르핀스키 공간]]은 자기 조밀 공간이 아니다. 이는 시에르핀스키 공간은 [[연결 공간]]이며 [[한원소 공간]]이 아니지만, [[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]]도 아니기 때문에 가능하다. 시에르핀스키 공간의 부분 집합 가운데, 특별한 성질을 갖는 것은 다음과 같다.
* 시에르핀스키 공간의 자기 조밀 집합은 <math>\{\circ\}</math>, <math>\{\bullet\}</math>, <math>\varnothing</math> 세 개이다.
* 시에르핀스키 공간의 완전 집합은 <math>\{\bullet\}</math>과 <math>\varnothing</math> 두 개이다.
* 시에르핀스키 공간의 모든 부분 집합은 완전 집합 성질을 만족시킨다. (이는 시에르핀스키 공간이 [[가산 집합]]이기 때문이다.)

== 역사 ==
칸토어-벤딕손 정리는 [[게오르크 칸토어]]와 [[이바르 오토 벤딕손]]이 증명하였다.

== 같이 보기 ==
* [[조밀한 곳이 없는 집합]]
* [[조밀 순서]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Perfect set}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Dense-in-itself|제목=Definition: dense-in-itself}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Perfect_Set|제목=Definition: perfect set}}
* {{웹 인용|url=https://dantopology.wordpress.com/2010/05/27/perfect-sets-and-cantor-sets-i/|제목=Perfect sets and Cantor sets, I|날짜=2010-05-27|이름=Dan|성=Ma|웹사이트=Dan Ma’s Topology Blog|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://dantopology.wordpress.com/2010/05/30/perfect-sets-and-cantor-sets-ii/|제목=Perfect sets and Cantor sets, II|날짜=2010-05-30|이름=Dan|성=Ma|웹사이트=Dan Ma’s Topology Blog|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:위상 공간의 성질]]