자기회귀모형 문서 원본 보기

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통계, 계량 경제학 및 신호 처리에서 '''자기회귀 모형'''(自己回歸模型, {{lang|en|autoregressive model}}, '''AR''')은 임의 프로세스 유형을 나타낸다. 자연, 경제 등에서 시간에 따라 변하는 특정 프로세스를 설명하는 데 사용된다. 자기회귀 모형은 출력 변수가 자신의 이전 값과 확률적 항(불완전하게 예측 가능한 항)에 선형적으로 의존함을 지정한다. 따라서 모델은 확률적 차이 방정식(또는 미분 방정식과 혼동되어서는 안 되는 반복 관계)의 형태이다. MA (이동 평균) 모델과 함께 더 복잡한 확률론적 특성을 갖는 시계열의 보다 일반적인 ARMA(자기 회귀 이동 평균) 및 ARIMA([[자기회귀누적이동평균]]) 모형의 특수한 경우이자 핵심 구성요소이다.

이동 평균(MA) 모델과 달리 자기회귀 모델은 단위 루트를 포함할 수 있으므로 항상 고정적이지는 않다.

== 정의 ==
표기법 <math>\operatorname{AR}(p)</math> ''p'' 차수의 자기회귀 모델을 나타낸다. AR( ''p'' ) 모델은 다음과 같이 정의된다.

<math> X_t = c + \sum_{i=1}^p \varphi_i X_{t-i}+ \varepsilon_t \,</math>

:

<math>\varphi_1, \ldots, \varphi_p</math>는 모델의 ''매개변수'' 이고, <math>c</math>는 상수이고 <math>\varepsilon_t</math>는 [[백색 소음|백색소음]]이다. 이것은 백시프트 연산자 ''B''를 사용하여 다음과 같이 동등하게 작성할 수 있다.

: <math> X_t = c + \sum_{i=1}^p \varphi_i B^i X_t + \varepsilon_t </math>

합계 항을 왼쪽으로 이동하고 [[다항식|다항식 표기법]]을 사용하여 다음을 얻다.

: <math>\phi [B]X_t= c + \varepsilon_t \, .</math>

따라서 자기회귀 모델은 입력이 백색 잡음인 all- [[극점 (복소해석학)|pole]] 무한 임펄스 응답 필터의 출력으로 볼 수 있다.

모델이 [[정상 과정|넓은 의미의 정상상태]]를 유지하려면 일부 매개변수 제약 조건이 필요하다.

== 충격의 시간간 효과 ==
AR 과정에서 일회성 충격은 미래에 무한히 진화하는 변수의 값에 영향을 미친다.

각각의 충격은 발생한 시점으로부터 훨씬 먼 미래의 ''X'' 값에 무한한 영향을 미치기 때문에 주어진 값 ''X'' <sub>''t''</sub>는 무한히 먼 과거에 발생하는 충격의 영향을 받다. 

: <math>\phi (B)X_t= \varepsilon_t \,</math>

(변수가 평균과의 편차로 측정되었다고 가정하여 상수 항이 억제된 경우)

: <math>X_t= \frac{1}{\phi (B)}\varepsilon_t \, .</math>

우변의 [[다항식 장제법|다항식 장제]]를 하면 백시프트 연산자의 다항식은 다음과 같이 적용된다. <math>\varepsilon_t</math> 무한한 순서, 즉 무한한 수의 지연 값이 있다. <math>\varepsilon_t</math> 방정식의 오른쪽에 나타난다.

== 특성 다항식 ==
AR( ''p'' ) 프로세스의 자기상관 함수는 다음과 같이 표현될 수 있다. 

: <math>\rho(\tau) = \sum_{k=1}^p a_k y_k^{-|\tau|} ,</math>

<math>y_k</math>는 다항식의 근이다

== AR( ''p'' ) 프로세스의 그래프 ==
[[파일:ArTimeSeries.svg|대체글="Figure has 5 plots of AR processes. AR(0) and AR(0.3) are white noise or look like white noise. AR(0.9) has some large scale oscillating structure."|오른쪽|섬네일| AR(0); AR 매개변수가 0.3인 AR(1); AR 매개변수가 0.9인 AR(1); AR 매개변수 0.3 및 0.3이 있는 AR(2); 및 AR 매개변수 0.9 및 -0.8이 있는 AR(2)]]
가장 간단한 AR 프로세스는 AR(0)이며 항 간에 종속성이 없다. 오류/혁신/잡음 항만 프로세스의 출력에 기여하므로 그림에서 AR(0)은 백색 잡음에 해당한다.

양수가 있는 AR(1) 프로세스의 경우 <math>\varphi</math>, 프로세스의 이전 항과 잡음 항만 출력에 기여한다. 만약에 <math>\varphi</math> 0에 가까우면 프로세스가 여전히 백색 잡음처럼 보이지만 <math>\varphi</math> 1에 접근하면 출력은 잡음에 비해 이전 항에서 더 큰 기여를 한다. 그 결과 저역 통과 필터와 유사한 출력의 "평활화" 또는 통합이 발생한다.

AR(2) 프로세스의 경우 이전 두 항과 잡음 항이 출력에 기여한다. 둘 다 <math>\varphi_1</math> 그리고 <math>\varphi_2</math> 양수이면 출력은 노이즈의 고주파수 부분이 감소하면서 저역 통과 필터와 유사하다. 만약에 <math>\varphi_1</math> 양수이면서 <math>\varphi_2</math> 음수이면 과정은 과정의 항 사이에서 부호의 변화가 일어나게 된다.

== 예측 품질 평가 ==
[[교차타당도|교차 검증]]이 사용되는 경우 추정이 완료되는 즉시 자기회귀 모델의 예측 성능을 평가할 수 있다. 이 접근 방식에서 초기에 사용 가능한 데이터 중 일부는 매개변수 추정 목적으로 사용되었으며 일부(데이터 세트에서 나중에 사용 가능한 관찰에서)는 샘플 외 테스트를 위해 보류되었다. 또는 매개변수 추정을 수행한 후 일정 시간이 지나면 더 많은 데이터를 사용할 수 있게 되어 새 데이터를 사용하여 예측 성능을 평가할 수 있다.

어느 경우든 ''평가할'' 수 있는 예측 성능의 두 가지 측면이 있다. 한 단계 앞선 성능의 경우 추정된 매개변수는 예측되는 기간 이전의 모든 기간에 대해 ''X'' 의 관측값과 함께 자기회귀 방정식에 사용되며 방정식의 출력은 한 단계 앞선 예측이다. 이 절차는 각 표본 외 관측치에 대한 예측값을 얻는 데 사용된다. ''n'' 단계 예측의 품질을 평가하기 위해 이전 섹션의 예측 절차를 사용하여 예측을 얻는다.

== 같이 보기 ==
* [[예측 분석]]
* [[선형 예측 부호화]]
* [[공명]]
* [[레빈슨 재귀 알고리즘]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==

* Paul Bourke의 [http://paulbourke.net/miscellaneous/ar/ 자동 회귀 분석(AR)]
* [[마크 토마스|Mark Thoma]]   {{유튜브|id=b8yslhlIsA0&list=PLD15D38DC7AA3B737&index=8#t=34m25s|제목=Econometrics lecture (topic: Autoregressive models)}}

[[분류:신호 처리]]