자기유사성 문서 원본 보기

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[[파일:KochSnowGif16 800x500 2.gif|섬네일|오른쪽|250px|[[코흐 곡선]]은 확대 했을 때 무한 반복적인 자기 유사성이 있다.]]
[[파일:Standard self-similarity.png|섬네일|300px|표준 (자명한) 자기유사성.<ref>Mandelbrot, Benoit B. (1982). ''The Fractal Geometry of Nature'', p.44. {{ISBN|978-0716711865}}.</ref>]]

[[수학]]에서 '''자기 유사성'''({{llang|en|self similarity}})은 부분을 확대할 때 자신을 포함한 전체와 [[닮음 (기하학)|닮은 모습]]을 보여주는 성질이다. [[해안선]] 같은 현실의 많은 물체들은 통계적으로 자기유사적이다: 그 물체의 일부가 여러 측면에서 같은 통계적 특성이 나타난다.<ref name="Mandelbrot_Science_1967">{{저널 인용 | url=http://www.sciencemag.org/content/156/3775/636 | title=How long is the coast of Britain? Statistical self-similarity and fractional dimension | journal=[[사이언스|Science]] | date=5 May 1967 | accessdate=11 January 2016 | author=Mandelbrot, Benoit B. | pages=636–638 | volume=156 |number=3775 |doi=10.1126/science.156.3775.636 |series=New Series | pmid=17837158}} [http://users.math.yale.edu/~bbm3/web_pdfs/howLongIsTheCoastOfBritain.pdf PDF]</ref> 자기 유사성은 인공적인 [[프랙탈]]의 전형적인 특성이다. [[크기변환 불변성]]은 어느 정도로 확대하더라도 전체와 [[닮음 (기하학)|닮은]] 작은 조각이 있다는 점에서 자기유사성과 정확히 같은 형태이다. 예를 들어, [[코흐 눈송이]]의 옆면은 대칭이면서 크기변환 불변으로 모양이 바뀌지 않으면서 계속해서 3배씩 확대할 수 있다. 프랙탈에서 자명하지 않은 유사성은 자신의 세부 구조나 임의의 작은 크기의 세부사항에 의해 구분된다. 그 [[반례]]로, [[직선]]의 어떤 부분도 전체와 유사하지만, 세부사항은 나타나지 않는다.

시간 의존적 현상은<!--time developing phenomenon--> 다른 시간에 측정한 특정 관측 가능한 양의 수치적 값 <math>f(x,t)</math>이 다르지만 대응하는 무차원 양 <math>x/t^z</math>이 불변일 때 자기유사성이 나타난다고 할 수 있다. <math>f(x,t)</math>가 [[동적 스케일링]]을 나타낼 경우에 일어난다. 이 아이디어는 단순히 두 삼각형의 닮음에 관한 아이디어의 확장이다.<ref>{{저널 인용 | author = Hassan M. K., Hassan M. Z., Pavel N. I. | year = 2011 | title = Dynamic scaling, data-collapseand Self-similarity in Barabasi-Albert networks | url = | journal = J. Phys. A: Math. Theor. | volume = 44 | issue = | page = 175101 | doi=10.1088/1751-8113/44/17/175101}}</ref><ref>{{저널 인용 | author = Hassan M. K., Hassan M. Z. | year = 2009 | title = Emergence of fractal behavior in condensation-driven aggregation | url = | journal = Phys. Rev. E | volume = 79 | issue = | page = 021406 | doi=10.1103/physreve.79.021406| arxiv = 0901.2761}}</ref><ref>{{저널 인용 | author = Dayeen F. R., Hassan M. K. | year = 2016 | title = Multi-multifractality, dynamic scaling and neighbourhood statistics in weighted planar stochastic lattice | url = | journal = Chaos, Solitons & Fractals | volume = 91 | issue = | page = 228 | doi=10.1016/j.chaos.2016.06.006}}</ref> 두 삼각형의 세 변의 길이가 수치적으로는 다르지만 각 같은 대응하는 무차원 양이 같으면 닮았다는 것을 참고하라.

== 자기 아핀성 ==
<!--[[자기 아핀성]]을 여기로 넘겨주기 할 것이다|[[Self-affinity]] redirects directly here.-->
[[파일:Self-affine set.png|섬네일|오른쪽|[[하우스도르프 차원]]=1.8272인 자기 아핀 프랙탈.]]

[[수학]]에서 '''자기 아핀성'''({{llang|en|self-affinity}})은 조각이 x와 y 방향으로 서로 다른 양으로 [[크기 변환]]된 [[프랙탈]]의 특징이다. 다시말해, 이 프랙탈 물체가 자기유사성을 갖도록 조정하려면 [[비등방]] [[아핀 변환]]을 사용해서 크기 재조절을 해야 한다는 것을 의미한다.

== 정의 ==
[[콤팩트 집합|콤팩트]] [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] ''X''는 다음을 만족하는 비[[전사 함수|전사]] [[위상동형사상]] <math>\{ f_s : s\in S \}</math>을 가리키는 [[유한 집합]] ''S''가 존재하면 자기유사하다:

:<math>X=\bigcup_{s\in S} f_s(X)</math>

<math>X\subset Y</math>이면, ''X''가 <math>\{ f_s : s\in S \} </math>에 대한 위의 식을 만족하는 ''Y''의 유일한 [[비공집합|공집합이 아닌]] [[부분집합]]이면 ''X''는 자기유사하다. 그리고 다음을 ''자기유사 구조''라고 부른다:

:<math>\mathfrak{L}=(X,S,\{ f_s : s\in S \} )</math>

위상동형사상은 [[반복 함수]]일 수 있어서, 그럴 경우에는 [[반복 함수 계]]가 된다. 함수의 구성은 [[모노이드]]의 대수적 구성을 만든다. 집합 ''S''의 원소가 두 개 밖에 없을 경우, 이 모노이드는 [[이진 모노이드]]<!--dyadic monoid-->로 알려져 있다. 이진 모노이드는 무한 [[이진 트리]]를 통해서 시각화 할 수 있다. 더 일반적으로, 집합 ''S''의 원소가 ''p''개 있으면, 그 모노이드는 [[p진수|p진]] 트리로 표현할 수 있다.

이진 모노이드의 [[자기 동형 사상]]은 [[모듈러 군]]이다. 자기 동형 사상은 이진 트리의 [[쌍곡 좌표계|쌍곡 회전]]으로 볼 수 있다.

자기유사성 보다 더 일반적인 표기법은 자기 아핀성이다.

== 예시 ==
[[파일:Feigenbaumzoom.gif|왼쪽|섬네일|201px|[[망델브로 집합]]에서 (−1.401155189...,&nbsp;0)에 있는 파이겐바움 점을 확대해서 나타낸 자기유사성]]
[[파일:Fractal fern explained.png|섬네일|오른쪽|200px|[[아핀 변환|아핀]] 자기유사성을 나타내는 양치류]]

[[망델브로 집합]]은 [[Misiurewicz 점]] 주변에서도 자기유사하다.

자기유사성은 컴퓨터 네트워크의 디자인에 전형적인 네트워크 트래픽이 자기유사 속성을 가지기 때문에 중요하다. 예를 들어, [[텔레트래픽 공학]]<!--teletraffic engineering-->에서, [[패킷 교환]]된 데이터 트래픽 패턴은 통계적으로 자기유사적으로 나타난다.<ref>{{저널 인용|last1=Leland|first1=W.E.|last2=Taqqu|first2=M.S.|last3=Willinger|first3=W.|last4=Wilson|first4=D.V.|display-authors=2|title=On the self-similar nature of Ethernet traffic (extended version)|journal=IEEE/ACM Transactions on Networking|date=January 1995|volume=2|issue=1|pages=1–15|doi=10.1109/90.282603|url=http://ccr.sigcomm.org/archive/1995/jan95/ccr-9501-leland.pdf}}</ref> 이 특성은 [[푸아송 분포]]를 사용하는 단순한 모델은 부정확하고 자기유사성을 적용하지 않은 네트워크는 예상하지 못한 방향으로 작동한다는 의미이다.

비슷하게, [[주식 시장]]의 동향은 자기 아핀성을 나타내는 것으로 설명된다. 즉, 이 동향이 나타난 세부 사항에 적절한 [[아핀 변환]]을 하면 자기유사하게 나타난다는 의미이다.<ref>{{웹 인용 | url=https://www.scientificamerican.com/article/multifractals-explain-wall-street/ | title=How Fractals Can Explain What's Wrong with Wall Street | author=Benoit Mandelbrot | publisher=Scientific American|
date=February 1999| authorlink=Benoit Mandelbrot}}</ref> [[앤드류 로]]는 주식 시장 기록은 [[계량경제학]]에서 자기유사성으로 복귀한다는 것을 설명했다.<ref>Campbell, Lo and MacKinlay (1991) "[[계량경제학|Econometrics]] of Financial Markets ", Princeton University Press! {{ISBN|978-0691043012}}</ref>

[[유한 세분 규칙]]<!--Finite subdivision rules-->은 [[칸토어 집합]]이나 [[시에르핀스키 삼각형]]을 포함하는 자기 유사 집합을 만드는 강력한 기술이다.

[[파일:RepeatedBarycentricSubdivision.png|섬네일|[[무게중심 분할]]을 이용해서 반복적으로 나눠진 삼각형. 큰 원들의 나머지는 [[시에르핀스키 카펫]]이 된다]]

=== 자연에서 ===
[[파일:Flickr - cyclonebill - Romanesco.jpg|섬네일|오른쪽|200px|[[로마네스코 브로콜리]]를 확대한 것.]]
<!--{{추가 정보|자연의 패턴}}-->
자기유사성은 자연에서도 찾을 수 있다. 오른쪽은 수학적으로 생성된 자연적인 양치류와 닮은 완벽한 자기유사적인 [[양치류]]의 이미지이다. [[로마네스코 브로콜리]] 같은 다른 식물도 강한 자기유사성을 나타낸다.

=== 음악에서 ===
* 엄격한 [[카논 (음악)|카논]]은 다양한 종류와 양의 자기유사성을 [[푸가]]의 일부로써 나타낸다.
* [[셰퍼드 음]]은 주파수나 파장 영역에서 자기유사하다.
* [[덴마크]] [[작곡가]]인 [[페르 뇌고르]]는 자신의 음악 대부분에서 '무한 급수<!--infinity series-->'라고 불리는 자기유사 [[정수 수열]]을 사용했다.
* [[음악 정보 검색]]<!--music information retrieval-->의 영역에서, 자기유사성은 보통 음악이 반복되는 부분들로 이루어져 있다는 사실을 가리킨다.<ref>{{저널 인용|last1=Foote|first1=Jonathan|title=Visualizing music and audio using self-similarity|date=October 1999|journal=MULTIMEDIA '99 Proceedings of the seventh ACM international conference on Multimedia (Part 1)|pages=77-80|doi=10.1145/319463.319472|url=musicweb.ucsd.edu/~sdubnov/CATbox/Reader/p77-foote.pdf}}</ref> 다시 말해, 음악은 크기 변환이 아니라(또는 크기 변환과 함께) 시간 변환에 의한 자기유사성을 띈다.<ref>G. Pareyon (2011), [https://tuhat.helsinki.fi/portal/files/15216101/Pareyon_Dissertation.pdf On Musical Self-Similarity] {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20170208034152/https://tuhat.helsinki.fi/portal/files/15216101/Pareyon_Dissertation.pdf}}</ref>

== 같이 보기 ==
{{columns-list|colwidth=30em|
* [[드로스트 효과]]
* [[장거리 의존성]]<!--Long-range dependency-->
* [[재귀]]
* [[자기비유사성]]<!--Self-dissimilarity-->
* [[자기 참조]]
* [[자기복제]]
* [[테라곤]]
* [[테셀레이션]]
* [[트위디 분포]]
* [[지프의 법칙]]
}}

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* [http://www.ericbigas.com/fractals/cc "Copperplate Chevrons"] — a self-similar fractal zoom movie
* [http://pi.314159.ru/longlist.htm "Self-Similarity"] — New articles about Self-Similarity. Waltz Algorithm

=== 자기아핀성 ===
* {{저널 인용|journal=Physica Scripta|volume=32|year=1985|pages=257–260|title=Self-affinity and fractal dimension|url=http://users.math.yale.edu/mandelbrot/web_pdfs/112selfAffinity.pdf|doi=10.1088/0031-8949/32/4/001}}
* {{저널 인용|title=Self-affinity in braided rivers|author=Victor Sapozhnikov and Efi Foufoula-Georgiou|journal=Water Resources Research|volume=32|issue=5|pages=1429–1439|date=May 1996|url=http://www.ce.umn.edu/~foufoula/papers/efg_023.pdf|doi=10.1029/96wr00490|bibcode=1996WRR....32.1429S}}{{깨진 링크|url=http://www.ce.umn.edu/~foufoula/papers/efg_023.pdf }}
* {{서적 인용|title=Gaussian Self-Affinity and Fractals: Globality, the Earth, [[분홍 소음|1/F Noise]], and [[재설정 범위|R/S]]|author= Benoît B. Mandelbrot|isbn=0387989935}}

{{프랙탈}}

[[분류:프랙탈]]
[[분류:크기변환 불변]]
[[분류:위상동형사상]]
[[분류:자기언급]]