잉여류 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Left cosets of Z 2 in Z 8.svg|섬네일|right|<math>G=\mathbb Z/8</math> 속의, <Math>H=\{0,4\}\cong\mathbb Z/2</math>의 잉여류들]]
[[군론]]에서 '''잉여류'''(剩餘類, {{llang|en|coset|코셋}})는 주어진 [[부분군]]에 의하여 결정되는 [[동치 관계]]의 [[동치류]]이다.

== 정의 ==
<math>G</math>가 [[군 (수학)|군]]이고, <math>H\le G</math>가 그 [[부분군]]이며, <math>g\in G</math>가 <math>G</math>의 원소일 때, <math>g</math>가 속하는 <math>H</math>의 '''왼쪽 잉여류'''({{llang|en|left coset}})는 다음과 같다.
:<math>gH=\{gh\colon h\in H\}</math>
마찬가지로, <math>g</math>가 속하는 <math>H</math>의 '''오른쪽 잉여류'''({{llang|en|right coset}})는 다음과 같다.
:<math>Hg=\{hg\colon h\in H\}</math>
([[아벨 군]]의 경우를 비롯해 덧셈 기호를 사용할 때에는 잉여류를 <math>g+H</math>나 <math>H+g</math>로 표기한다.)

<math>G</math> 속의 <math>H</math>의 모든 왼쪽 잉여류의 집합을 <math>G/H</math>라고 표기한다. (만약 <math>H</math>가 [[정규 부분군]]일 경우, 이는 자연스러운 군의 구조를 가지며, '''[[몫군]]'''이라고 한다.) <math>G/H</math>의 [[집합의 크기|크기]]는 <math>|G:H|</math>라고 표기하며, <math>H</math>의 <math>G</math> 속에서의 '''지표'''(指標, {{llang|en|index}})라고 한다. 즉, 부분군의 지표는 왼쪽 잉여류들의 수이다.

=== 잉여류 공간 ===
<math>G</math>가 [[위상군]]이라고 하자. 그렇다면, 왼쪽 잉여류 집합 <math>G/H</math>는 자연스러운 [[몫공간]] 위상을 갖는다. 이를 '''잉여류 공간'''({{llang|en|coset space}})이라고 한다. 이는 [[동차공간]]을 이룬다.

== 성질 ==
군 <math>G</math>의 부분군 <math>H</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 모든 <math>g\in G</math>에 대하여, <math>gH=Hg</math>이다.
* <math>H</math>는 <math>G</math>의 [[정규 부분군]]이다.

[[라그랑주 정리 (군론)|라그랑주 정리]]에 따르면, 만약 <math>G</math>가 [[유한군]]이라면, 부분군 <math>H\le G</math>의 지표는 다음과 같다.
:<math>|G:H|=|G|/|H|</math>

만약 일련의 부분군들 <math>K\le H\le G</math>이 주어졌다면,
:<math>|G:K|=|G:H||H:K|</math>
이다. 여기서 우변은 [[기수 (수학)|기수]]의 곱셈이다.

지표가 2인 부분군은 항상 [[정규 부분군]]이다. 보다 일반적으로, 유한군 <math>G</math> 및 소수 <math>p</math>에 대하여, 만약 <math>p</math>가 <math>|G|</math>의 최소 [[소인수]]라면, 지표가 <math>p</math>인 부분군은 항상 [[정규 부분군]]이다.
{{증명}}
우선, 군 <math>G</math>와 부분군 <math>N\le G</math>가 주어졌고, <math>|G:N|=2</math>라고 하자. 그렇다면, 임의의 <math>g\in G</math>에 대하여
:<math>gN=Ng=\begin{cases}
N&g\in N\\
G\setminus N&g\not\in N
\end{cases}</math>
이다. 즉, <math>N</math>은 <math>G</math>의 정규 부분군이다.

유한군 <math>G</math> 및 소수 <math>p</math> 및 부분군 <math>N\le G</math>가 주어졌고, <math>p</math>가 <math>|G|</math>의 최소 소인수이며, <math>|G|/|N|=p</math>라고 하자. <math>N</math>이 정규 부분군이라는 사실을 증명하려면, 임의의 <math>g\in G\setminus N</math>에 대하여 <math>gNg^{-1}=N</math>임을 보이면 된다.
:<math>H=gNg^{-1}\cap N\le N</math>
이라고 하자. 그렇다면 <math>|N|/|H|=1</math>임을 보이기만 하면 된다.
:<math>|gNg^{-1}N|=|N|^2/|H|\le|G|</math>
이므로
:<math>|N|/|H|\le|G|/|N|=p</math>
이다. <math>p</math>는 <math>|G|</math>의 최소 소인수이므로, <math>|N|/|H|=1</math>이거나 <math>|N|/|H|=p</math>이다. 만약 <math>|N|/|H|=p</math>라면,
:<math>|gNg^{-1}N|=p|N|=|G|</math>
이므로 <math>G=gNg^{-1}N</math>이며, 특히
:<math>g=gng^{-1}n'</math>
인 <math>n,n'\in N</math>이 존재한다.
:<math>g^{-1}=n^{-1}{n'}^{-1}\in N</math>
이므로 <math>g\in G\setminus N</math>와 모순이다. (이 명제는 [[정규핵]]을 사용하여 증명할 수도 있다.)
{{증명 끝}}

== 예 ==
정수의 덧셈군 <math>G = \mathbb Z</math> 속의, <math>n</math>의 배수들로 구성된 부분군
:<math>H = n\mathbb Z</math>
을 생각하자. 그렇다면, <math>k\in\mathbb Z</math>의 잉여류
:<math>k+H = H+k = \{x\in\mathbb Z\colon x\equiv k\pmod n\} \subseteq G</math>
는 <math>k</math>와 [[합동 산술|합동]]인 정수들의 집합이다. 이 경우 <math>H</math>는 [[정규 부분군]]이므로, 잉여류 공간 <math>G/H = \operatorname{Cyc}(n)</math>은 [[몫군]]을 이루며, 이는 크기 <math>n</math>의 [[순환군]]이다.

== 같이 보기 ==
* [[여차원]]
* [[동차 공간]]
* [[대칭 공간]]
* [[이중 잉여류]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Coset in a group}}
* {{매스월드|id=Coset|title=Coset}}
* {{매스월드|id=LeftCoset|title=Left coset}}
* {{매스월드|id=RightCoset|title=Right coset}}
* {{매스월드|id=SubgroupIndex|title=Subgroup index}}
* {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Subgroup_of_least_prime_index_is_normal|제목=Subgroup of least prime index is normal|웹사이트=Groupprops, The Group Properties Wiki|언어=en}}

[[분류:군론]]