입방 배적 문제 문서 원본 보기

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'''입방 배적 문제'''(立方倍積問題,Doubling the cube)는 역사적으로 델리안 문제(Delian problem) 또는 델로스 문제라고도 불린다.
[[파일:Cube and doubled cube.svg|섬네일|300px| [[정육면체|단위 큐브]](길이 <math>1</math>)의 입방배적 (길이 <math>\sqrt[3]{2} \;</math>)]]
[[원적 문제]], [[각의 3등분|각의 3등분 문제]]와 함께 고대 그리스 시절부터 제기되어 온 [[기하학]]의 [[컴퍼스와 자 작도#3대 작도 불가능 문제|3대 문제]]중 하나로서, [[피에르 방첼]]은 1837년에 2개의 입방체가 구성 가능하지 않다는 것을 증명했다. 즉 컴퍼스와 자만으로 작도가 불가능한 문제임이 증명되었다.
<!-- 무리수는 작도가 가능 : 가우스 증명(십칠각형)
초월수는 작도가 불가능 :페르디난트 폰 린데만 증명
 -->
== 역사 ==
이 문제는 델로스 시민들에 관한 이야기에서 이름이 유래했다. 델로스(Delos) 시민은 [[델포이의 신탁|델포이의 오라클]]과 상의하여 아폴로가 보낸 전염병을 물리칠 방법을 원했다.<ref name="Zhmud">[https://books.google.com/books?id=oX28qf7LKdoC&pg=PA84 L. Zhmud ''The origin of the history of science in classical antiquity'', p.84], quoting Plutarch and Theon of Smyrna</ref> [[플루타르코스]]에 따르면 델로스 시민들은 시민들간의 관계를 강화시킨 내부 정치 문제 즉 전염병 퇴치에 대한 해결책을 델포이의 오라클과 협의하여 모색했다. 오라클은 아폴론의 제단 크기를 그보다 더 큰 두 배의 크기로 늘려서 만들어야 한다고 대답했다.<ref>Plutarch, [http://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus%3Atext%3A2008.01.0243%3Asection%3D6 De E apud Delphos 386.E.4]</ref> 그 대답은 델로스 섬 주민인 델리안들에게 이해하기 어려운 문제로 보였고 그들은 오라클이 제시한 큐브(정사각형)의 부피를 두 배로 늘리는 수학적 문제를 해석할 수 있는 [[플라톤]]과 상의했다. 델로스 시민들은 플라톤이 오라클이 조언한 아폴로 제단의 크기를 두 배로 늘리는 것이 가능한지에 대한 그들의 궁금증을 진정시키기 위한 기하학과 수학에 대한 연구와 설명을 기대했다.<ref>Plutarch, De genio Socratis 579.B</ref>

플루타르코스(Plutarch)에 따르면, 플라톤(Plato)는 기계적인 수단을 사용하여 문제를 해결하려는 [[에우독소스]](Eudoxus)와 아르키타스(Archytas)와 [[메나이크모스]](Menaechmus)에게 순수한 기하학을 사용하여 문제를 해결하지 못한 것에 대한 책망을 했다고 전해진다.<ref>Plut., Quaestiones convivales VIII.ii , 718ef</ref> 이것은 플라톤의 대화록에 나오는 시시포스에서 저자에 의해 350년경에 이 문제가 풀려졌는지에 대해 언급되지 않은 이유일 수 있다.<ref>Carl Werner Müller, ''Die Kurzdialoge der Appendix Platonica'', Munich: Wilhelm Fink, 1975, pp. 105-106,pseudo-Platonic Sisyphus (388e)</ref> 또 한편으로는 유토시우스(Eutocius of Ascalon)에 의한 [[에라토스테네스]](Eratosthenes)에 기인한 이야기의 또 다른 버전은 모든 세 가지 해결책을 찾았지만 너무 추상적이어서 실용적인 가치가 없었다고 전해진다.<ref>{{인용|title=The Ancient Tradition of Geometric Problems|series=Dover Books on Mathematics|first=Wilbur Richard|last=Knorr|authorlink=Wilbur Knorr|publisher=Courier Dover Publications|year=1986|isbn=9780486675329|page=4|url=https://books.google.com/books?id=sgQS5BaTWl4C&pg=PA4}}</ref>

이 문제에 대한 해결책을 찾는 데 있어 중요한 발전은 키오스 히포크라테스가 발견한 것으로 임의의 선분(세그먼트)에 대해 길이가 두 배인 선 세그먼트와 그 두 세그먼트 사이의 평균 비례를 찾는 것과 같다.<ref name="Heath">T.L. Heath ''A history of Greek mathematics'', Vol.1</ref> 현대 표기법에서 이것은 길이<math> a</math> 와 <math>2 a </math>의 주어진 세그먼트가 입방체를 복제했을때, 길이 <math>r</math> 과<math> s</math>의 세그먼트를 찾는 것과 동일하다는 것을 의미한다.

:<math>{{a}\over{r}} = {{r}\over{s} }= {{s}\over{2a}}  </math>

차례로 이것은,

:<math>r=a\cdot\sqrt[3]{2}</math>
:<math>\sqrt[3]{2} = 1.2599210498948732.... (OEIS2C A002580)</math>

그러나 [[피에르 방첼]]은 이러한 입방배적이 컴퍼스와 자만으로 작도가 불가능한 문제로 가능하지 않다는 것을 증명했다.

== 계산 ==
이것은 3차 방정식을 의미하는 문제로 바라볼 수 있다.

가로,세로,높이의 길이가 <math>a = 1</math>인 부피를 갖는 정사각형의 큐브를 예약해보고,

그 큐브 부피의 2배가 더 큰 정사각형 큐브를 가정해보면,
:<math>x = 2 \cdot a</math>
:<math> x^3 = 2 \cdot a^3</math>
:<math> \sqrt[3]{x^3} =\sqrt[3]{ 2a^3}</math>
:<math> x =\sqrt[3]{ 2} \; a</math>
따라서,
<math>a = 1</math>일때,
:<math> x =\sqrt[3]{ 2}</math>이다.

세제곱근은 작도가 불가능하므로, 입방배적은 컴퍼스와 자만으로 작도할 수 없다. 그러나 눈금이 있는 자와 컴퍼스를 사용하는 [[뉴시스 작도]]나 종이를 접는 [[종이접기의 수학|종이접기 작도]]에서는 [[삼차 방정식]]의 해인 세제곱근을 작도할 수 있으므로 입방배적의 작도가 가능하다.

== 같이 보기 ==
{{위키공용분류}}
* [[작도가능한 수]]
* [[컴퍼스와 자 작도]]
* [[삼차방정식]]

== 각주 ==
{{각주}}

{{전거 통제}}

[[분류:유클리드 평면기하학]]
[[분류:기하학사]]
[[분류:수학 문제]]
[[분류:컴퍼스와 자 작도]]
[[분류:델로스섬]]