입방진 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{다른 뜻 넘어옴|매직 큐브|퍼즐의 일종|루빅스 큐브}}
[[파일:Simple Magic Cube.svg|섬네일|오른쪽|3&nbsp;&times;&nbsp;3&nbsp;&times;&nbsp;3 입방진의 예이다. 여기에서 한 평면으로 자른 정수 9개의 배열은 모두 각각 [[마방진]]이 되지 않는다. 이 경우에 [[준완벽 입방진]]에 속한다.]]
[[수학]]에서 '''입방진'''(立方陣) 또는 '''입체마방진'''(立體魔方陣)은 [[3차원]] 형태로 확장된 [[마방진]]이며, '''매직 큐브'''({{llang|en|magic cube}})라고도 한다. ''n&nbsp;&times;&nbsp;n&nbsp;&times;&nbsp;n''의 정육면체 형태로 [[정수]]가 배열된 것으로, 모든 가로줄, 세로줄, 높이줄, 4개의 [[입체대각선]]에 있는 수의 합이 ''M''<sub>3</sub>(''n'')라는 [[마법 상수]]로 동일하다.<ref name=":0">{{웹 인용|url=http://mathworld.wolfram.com/MagicCube.html|title=Magic Cube|last=W.|first=Weisstein, Eric|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2016-12-04}}</ref><ref>{{웹 인용|title=Magic Cube|url=https://archive.lib.msu.edu/crcmath/math/math/m/m022.htm|access-date=2021-04-20|website=archive.lib.msu.edu}}</ref> 1부터 n<sup>3</sup>까지의 자연수가 입방진을 이룬다면 마법 상수는 다음과 같다. ([[OEIS]]의 [https://oeis.org/A027441 A027441]번 수열)

:<math>M_3(n)=\frac{n(n^3+1)}{2}</math>

입방진에서 모든 [[단면]]의 [[면대각선]]에 있는 수의 합도 동일하면 [[완전 입방진]](perfect magic cube), 아니면 [[반완전 입방진]](semiperfect magic cube)이라 한다.<ref name=":0" /> 수 ''n''을 입방진의 차수라 한다. [[범입체대각선]]에 있는 수들의 합도 마법 상수로 동일하다면, [[범대각선 입방진]]이라 한다.

== 완전 입방진 ==
{{본문|완전 입방진}}
처음에는 각 [[단면]]의 [[면대각선]]에 있는 수들의 합이 동일한 입방진을 완전 입방진이라 하였다. 하지만 [[존 로버트 헨드릭스]](John R. Hendricks)는 완전 입방진을 끊긴 것을 포함하여 가능한 모든 선분에 있는 수들의 합도 동일한 입방진으로 정의하였다. 새로운 정의에 따른 입방진의 조건이 더 강해서, 만족하는 경우의 수가 현저히 적다.

== 다중 입방진 ==
{{본문|다중 입방진}}
마방진의 경우처럼 이중 입방진(bimagic cube)은 각 성분을 제곱해도 입방진이라는 추가 조건을 만족하며, 삼중 입방진(trimagic cube)은 각 성분을 제곱해도 세제곱해도 입방진이 되어야 한다. (2005년 기준 삼중 입방진은 2개만 알려져 있다) 사중 입방진(tetramagic cube)은 각 성분을 제곱, 세제곱, 네제곱해도 입방진이 된다.<ref>{{인용|title=Multimagic squares, cubes and hypercubes|hdl=2066/60411|publisher=Radboud University|date=September 2004|first1=Harm|last1=Derksen|first2=Christian|last2=Eggermont|first3=Arno|last3=van den Essen}}</ref>

캐나다의 [[존 로버트 헨드릭스]](John R. Hendricks)는 4개의 이중, 2개의 삼중, 2개의 사중 입방진을 제시했다. 중국의 수학 교사 종 밍(Zhong Ming)은 헨드릭스와 같은 차수이지만 다르게 배열된 2개의 이중 입방진을 새로 발견했다. 그중 일부는 [[완전 입방진]]이며, [[거듭제곱]]을 한 후에도 완전하다.<ref>{{인용|url=http://www.multimagie.com/English/Cube.htm|title=Multimagic cubes|work=Multimagie.com|first=Christian|last=Boyer|date=June 5, 2020|access-date=2024-04-14}}</ref>

== 뒤러와 가우디 마방진을 응용한 입방진 ==
단면이 마방진의 조건을 만족하도록 하여 입방진을 구성할 수도 있다. [http://sites.google.com/site/aliskalligvaen/home-page/-magic-cube-with-duerer-s-square 뒤러의 마방진을 응용한 입방진]과 [http://sites.google.com/site/aliskalligvaen/home-page/-magic-cube-with-gaudi-s-square 가우디 마방진을 응용한 입방진]이 있다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 같이 보기 ==
* [[마방진]]
* {{임시링크|입방진의 종류|en|Magic cube classes}}
* [[완전 입방진]]
* [[반완전 입방진]]
* {{임시링크|다중 입방진|en|Multimagic cube}}
* {{임시링크|초입방진|en|Magic hypercube}}

== 외부 링크 ==
* [http://www.magic-squares.net/magic_cubes_index.htm 입방진 홈페이지 (영어)] {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20201028020221/http://www.magic-squares.net/magic_cubes_index.htm}}
* [http://mathworld.wolfram.com/MagicCube.html Wolfram Math World의 입방진 문서 (영어)]

{{마방진}}

{{전거 통제}}
{{토막글|조합론}}

[[분류:마방진]]
[[분류:행렬]]