임계점 (수학) 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''임계점'''(臨界點, {{llang|en|critical point}}) 또는 '''정류점'''(定流點) 또는 '''정상점'''(定常點)은 함수의 [[도함수]]가 0이 되는 점이다. [[극대점]]이나 [[극소점]], 또는 [[안장점]]으로 분류된다.

== 정의 ==
[[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의 1차 미분 가능 실함수 <math>f\colon M\to\mathbb R</math>의 '''임계점'''은 다음이 성립하는 점 <math>x_0\in M</math>이다. 임의의 좌표계 <math>\{x^i\}</math>에서,
:<math>\left|\frac{\partial f}{\partial x^i}\right|_{x_0}=0</math>
이 경우, 값 <math>f(x_0)</math>를 '''임계값'''({{llang|en|critical value}})이라고 한다.

== 분류 ==
[[리만 다양체]] <math>(M,g)</math> 위의 2차 미분 가능 실함수 <math>f\colon M\to\mathbb R</math>의 임계점 <math>x_0\in M</math>들은 그 [[헤세 행렬]]
:<math>(Hf|_{x_0})_{ij}=\nabla_i\partial_jf</math>
에 따라서 다음과 같이 분류된다.
* 만약 헤세 행렬이 [[양의 준정부호]]라면 (모든 [[고윳값]]이 음수가 아니라면), <math>x_0</math>는 '''[[극대점]]'''이다.
** 만약 헤세 행렬이 [[양의 정부호]]라면 (모든 [[고윳값]]이 양수라면), <math>x_0</math>는 '''엄격한 [[극대점]]'''({{llang|en|strict local maximum}})이다.
* 만약 헤세 행렬이 [[음의 정부호]]라면 (모든 [[고윳값]]이 양수가 아니라면), <math>x_0</math>는 '''[[극소점]]'''이다.
** 만약 헤세 행렬이 [[양의 정부호]]라면 (모든 [[고윳값]]이 음수라면), <math>x_0</math>는 '''엄격한 [[극소점]]'''({{llang|en|strict local minimum}})이다.
* 만약 헤세 행렬이 둘 다 아니라면, <math>x_0</math>는 '''[[안장점]]'''이다.

== 페르마의 임계점 정리 ==
'''페르마의 임계점 정리'''({{llang|en|Fermat’s theorem on critical points}})에 따르면, 연속함수 <math>f\to M</math>의 최대점 또는 최소점 <math>x_0\in M</math>이 존재한다면, 다음 둘 가운데 하나가 성립한다.
# <math>f</math>는 <math>x_0</math>에서 미분 불가능하다.
# <math>f</math>는 <math>x_0</math>에서 미분 가능하며, 임계점을 이룬다.

== 같이 보기 ==
* [[모스 이론]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Critical point}}

{{전거 통제}}

[[분류:다변수 미적분학]]
[[분류:특이점 이론]]