읽고 말하기 수열 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Conway's constant.svg|섬네일|300px|이 선들은 23 (빨강), 1 (파랑), 13 (보라), 312 (초록)으로 시작하는 읽고 말하기 수열의 자릿수를 나타낸다. 이 선은 ([[로그 척도|로그 수직 척도]]로 나타냈을 때) 기울기가 콘웨이 상수인 직선으로 접근한다.]]
'''읽고 말하기 수열'''은 다음과 같이 시작하는 [[수열]]이다. 대한민국에서는 소설인 [[개미 (소설)|개미]]에서 소개되면서 유명해졌기 때문에, '''개미 수열'''이란 이름으로 잘 알려져 있다.

:1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, 13112221, 1113213211, ... {{OEIS|A005150}}

이 수열은 앞의 수를 연속된 같은 수의 개수로 묶어서 읽는 방식으로 만들어진다..

* 1을 "1개의 1"로 읽는다: 11
* 11을 "2개의 1"로 읽는다: 21
* 21을 "1개의 2와, 1개의 1"로 읽는다: 1211
* 1211을 "1개의 1과, 1개의 2와, 2개의 1"로 읽는다: 111221
* 111221을 "3개의 1과, 2개의 2와, 1개의 1"로 읽는다: 312211
* 312211을 "1개의 3과, 1개의 1과, 2개의 2와, 2개의 1"로 읽는다: 13112221

[[반복 길이 부호화]] 알고리즘에서 이와 비슷한 원리를 이용한다.

==공식==
:<math>a(n+1) = A045918 (a(n))</math><ref>(OEIS)https://oeis.org/A005150</ref><ref>Reinhard Zumkeller, Aug 09 2012</ref> 여기서 A045918는 [[OEIS]] 수열
:또는
:<math>a(n) = \sum_{k=1}^{A005341(n)} A03402(n,k) \cdot 10^{A005341(n)-k}</math><ref>Reinhard Zumkeller, Dec 15</ref> 여기서 A005341및 A03402는 [[OEIS]] 수열

== 성질 ==
* 수열은 무한히 길어진다. 초기값을 1이 아닌 다른 정수로 시작해서 똑같은 알고리즘을 적용하여 만들어도 마찬가지로 무한하게 길어진다. 단 한가지 예외는 22로 시작한 수열이다. 이 수열은 22, 22, 22, ...로 길이가 더 이상 늘어나지 않는다.
* 수열에서 1, 2, 3이 아닌 수는 등장하지 않는다. 이 성질은 초기값 자체에 그 외의 숫자가 들어가거나, 초기값에 연속으로 3개를 초과하는 똑같은 숫자가 들어가지 않는 이상 유효하다.
* <math>L_i</math>를 수열의 <math>i</math>번째 수열의 길이라고 하면,
:: <math>\lim_{i \to \infty}\frac{L_{i+1}}{L_{i}} = \lambda</math>
: 여기서 <math>\lambda = 1.303577269\ldots</math> 차수가 71인 [[대수적 수]]로 '''콘웨이 상수'''라고 부른다. [[존 호턴 콘웨이]]가 이것을 증명했으며, 초기값이 22가 아닌 수열에 대해 같은 값으로 수렴한다.

콘웨이 상수는 다음 다항식의 유일한 양의 실수해이다.

: <math> x^{71}-x^{69}-2x^{68}-x^{67}+2x^{66}+2x^{65}+x^{64}-x^{63}-x^{62}-x^{61}-x^{60}-x^{59}+ </math>
: <math> 2x^{58}+5x^{57}+3x^{56}-2x^{55}-10x^{54}-3x^{53}-2x^{52}+6x^{51}+6x^{50}+x^{49}+9x^{48}-3x^{47}- </math>
: <math> 7x^{46}-8x^{45}-8x^{44}+10x^{43}+6x^{42}+8x^{41}-5x^{40}-12x^{39}+7x^{38}-7x^{37}+7x^{36}+x^{35}- </math>
: <math> 3x^{34}+10x^{33}+x^{32}-6x^{31}-2x^{30}-10x^{29}-3x^{28}+2x^{27}+9x^{26}-3x^{25}+14x^{24}-8x^{23}- </math>
: <math> 7x^{21}+9x^{20}+3x^{19}-4x^{18}-10x^{17}-7x^{16}+12x^{15}+7x^{14}+2x^{13}-12x^{12}-4x^{11}- </math>
: <math> 2x^{10}+5x^9+x^7-7x^6+7x^5-4x^4+12x^3-6x^2+3x-6=0</math>

== 같이 보기 ==
* [[콜라코스키 수열]](Kolakoski sequence)
* [[오토그램]](Autogram)
* [[깃스윗츠 수열]](Gijswijt sequence)

== 각주 ==
{{각주}}

* [http://mathworld.wolfram.com/LookandSaySequence.html 매스월드]

[[분류:정수열]]