일차 방정식 문서 원본 보기

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[[파일:FuncionLineal02.svg|섬네일|일차 방정식의 그래프의 예시]]
[[수학]]에서 '''일차 방정식'''(一次方程式, {{llang|en|linear equation}}) 또는 '''선형 방정식'''(線型方程式)은 최고 차수의 항의 차수가 1인 [[다항 방정식]]을 뜻한다. 일차 방정식의 변수는 하나뿐일 수도, 둘 이상일 수도 있다. [[수학적 모델링]]에 필요한 [[비선형 방정식]]은 흔히 풀기 쉬운 일차 방정식으로 근사하여 다뤄진다.

== 일변수 일차 방정식 ==
변수가 하나뿐인 일차 방정식은 단순히 식을 정리하여 풀이할 수 있다. 하나의 변수 <math>x</math>를 갖는 일차 방정식은 다음과 같은 꼴로 쓸 수 있다.
:<math>ax+b=0</math>
그 풀이는 다음과 같은 경우로 나뉜다.
* 만약 <math>a\ne0</math>이라면, 유일한 해 <math>x=-b/a</math>를 가진다.
* 만약 <math>a=0</math>, <math>b\ne0</math>이라면, 이 방정식은 어떤 해도 가지지 않는다. 즉, [[불능 방정식]]이다.
* 만약 <math>a=0</math>, <math>b=0</math>이라면, 이 방정식은 모든 수를 해로 가지며, [[부정 방정식]]에 속한다.
일차 방정식의 예는 다음과 같다.
* <math>-2x+5=-3x+45</math>의 해는 <math>x=40</math>이다.
* <math>6x-5=6x-6</math>의 해는 존재하지 않는다.
* <math>3x-3=3x-3</math>은 모든 수를 해로 한다. 따라서 해가 무한히 많다.

== 이변수 일차 방정식 ==
두 변수 <math>x,y</math>에 대한 일차 방정식은 <math>x</math>와 <math>y</math>에 대한 일차항과 상수항만을 포함하며, <math>xy,x^2,y^{1/3},\sin x</math>와 같은 [[비선형항]]을 포함해서는 안된다. 두 변수의 계수가 모두 0인 경우를 제외하면 평면 위의 직선을 해집합으로 한다. 또한 <math>y</math>의 계수가 0인 경우를 제외하면 [[일차 함수]]의 영점을 구하는 문제와 동치이다. 이변수 일차 방정식의 표현 방법은 여러 가지가 있으며, 이는 평면 위의 직선의 방정식을 표현하는 방법과도 같다.

=== 일반적인 꼴 ===
모든 이변수 일차 방정식은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.
:<math>ax+by+c=0</math>
여기서 <math>a^2+b^2\ne0</math>이어야 한다. 기하학적 관점에서 이 방정식은 고정된 벡터 <math>(a,b)</math>와의 [[스칼라곱]] <math>ax+by</math>이 상수 <math>-c</math>인 벡터 <math>(x,y)</math>의 집합을 나타낸다. 이 방정식은 [[행렬]]을 통해 다음과 같이 표현할 수 있다.
:<math>\begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=-c\quad\text{or}\quad\begin{pmatrix}a&b&c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}=0</math>
만약 직선이 놓인 직교 좌표 평면을 [[복소평면]]으로 간주한다면, 점은 두 실수의 순서쌍 <math>(x,y)</math> 대신 하나의 복소수 <math>z</math>로 쓸 수 있다. 이 경우 직선의 방정식의 일반 꼴을 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:<math>\bar Bz+B\bar z+C=0</math>
여기서 <math>B</math>는 0이 아닌 [[복소수]], <math>C</math>는 [[실수]], <math>\bar B</math>는 <math>B</math>의 [[켤레 복소수]]이다. 이는 직선의 방정식의 일반 꼴에서 <math>z=x+yi</math>, <math>B=(a+bi)/2</math>, <math>C=c</math>를 취하여 얻을 수 있다.

=== 기울기와 y절편이 주어진 경우 ===
[[기울기]] <math>m</math>과 ''y''절편 <math>n</math>이 결정하는 직선의 한 방정식은 다음과 같다.
:<math>y=mx+n</math>
이는 일반 꼴로부터 <math>m=-a/b</math>, <math>n=-c/b</math>를 취하여 얻을 수 있다. 수직선(''y''축과 평행하는 직선)(기울기가 무한대인 직선)의 방정식은 이러한 꼴로 나타낼 수 없다.

=== 한 점과 기울기가 주어진 경우 ===
직선이 지나는 점 <math>(x_1,y_1)</math>과 기울기 <math>m</math>가 결정하는 직선의 한 방정식은 다음과 같다.
:<math>y-y_1=m(x-x_1)</math>
수직선의 방정식은 이러한 꼴로 나타낼 수 없다.

=== 두 점이 주어진 경우 ===
직선 위에 놓인 두 점 <math>(x_1,y_1)\ne(x_2,y_2)</math>이 결정하는 직선의 한 방정식은 다음과 같다.
:<math>(y-y_1)(x_2-x_1)=(x-x_1)(y_2-y_1)</math>
이를 행렬식을 통해 표현하면 다음과 같다.
:<math>\begin{vmatrix}x&y&1\\x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\end{vmatrix}=0</math>
모든 직선의 방정식은 이러한 꼴로 나타낼 수 있다. 수직선이 아닐 경우 <math>x_1\ne x_2</math>이므로, 다음과 같은 꼴로도 쓸 수 있다.
:<math>y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)</math>

=== 두 절편이 주어진 경우 ===
''x''절편 <math>x_0</math>와 ''y''절편 <math>y_0</math> (<math>x_0\ne0</math>, <math>y_0\ne0</math>)가 결정하는 직선의 한 방정식은 다음과 같다.
:<math>\frac x{x_0}+\frac y{y_0}=1</math>
이는 직선의 방정식의 일반적인 꼴에 <math>x_0=-c/a</math>, <math>y_0=-c/b</math>을 대입하여 얻는다. ''x''축에 평행하거나, ''y''축에 평행하거나, 원점을 지나는 직선의 방정식은 이러한 꼴로 나타낼 수 없다.

=== 매개 변수 방정식 ===
직선을 하나의 매개 변수가 실수 범위에서 변화할 때 이 매개 변수에 의존하는 점이 그리는 궤적으로서 표현할 수 있다. 예를 들어, 점 <math>P=(x_0,y_0)</math>과 그 직선의 방향을 나타내는 벡터 <math>\mathbf u=(a,b)</math>가 결정하는 직선의 한 매개 변수 방정식은 다음과 같다.
:<math>\begin{matrix}x=x_0+at\\y=y_0+bt\end{matrix}\qquad t\in(-\infty,\infty)</math>
이는 다음과 같이 간략히 쓸 수도 있다.
:<math>\overrightarrow{PQ}=t\mathbf u\qquad t\in(-\infty,\infty)</math>
여기서 <math>Q=(x,y)</math>이다. 이는 다음과 동치이다.
:<math>\overrightarrow{PQ}\times\mathbf u=\mathbf0</math>
여기서 <math>\times</math>는 [[벡터곱]], <math>\mathbf0</math>은 [[영벡터]]이다.

또한, 두 점 <math>P=(x_1,y_1)\ne Q=(x_2,y_2)</math>이 결정하는 직선의 한 매개 변수 방정식은 다음과 같다.
:<math>\begin{matrix}x=(1-t)x_1+tx_2\\y=(1-t)y_1+ty_2\end{matrix}\qquad t\in(-\infty,\infty)</math>
이를 간략히 표현하면 다음과 같다.
:<math>\overrightarrow{OR}=(1-t)\overrightarrow{OP}+t\overrightarrow{OQ}\qquad t\in(-\infty,\infty)</math>
여기서 <math>R=(x,y)</math>이다. 매개 변수를 사용하지 않는 표현은 다음과 같다.
:<math>\overrightarrow{PR}\times\overrightarrow{PQ}=\mathbf0</math>

== 다변수 일차 방정식 ==
일차 방정식은 두 개 이상의 변수를 가질 수도 있다. <math>n</math>개의 변수 <math>x_1,\dots,x_n</math>에 대한 일차 방정식은 다음과 같은 꼴이다.
:<math>a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_n x_n+b=0</math>
여기서 <math>a_1,....,a_n,b</math>는 상수이다. 즉, [[일차 함수]]의 [[영점]]을 구하는 방정식이다. 이러한 방정식의 해는 <math>a_i</math>가 모두 0인 경우를 제외하면 <math>n</math>차원 유클리드 공간의 [[아핀 초평면]](즉, <math>(n-1)</math>차원 아핀 부분 공간)을 이루게 된다.

== 같이 보기 ==
* [[이차 방정식]]
* [[삼차 방정식]]
* [[사차 방정식]]
* [[오차 방정식]]
* [[육차 방정식]]
* [[칠차 방정식]]
* [[연립 일차 방정식]]

{{전거 통제}}

[[분류:초등대수학]]
[[분류:방정식]]
[[분류:다항식]]