일반 상대성 이론의 엄밀 해 문서 원본 보기

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{{일반상대론}}
[[일반 상대성이론|일반 상대성 이론]]에서 '''엄밀 해'''는 [[아인슈타인 장 방정식]]의 해로서, 그 도출의 시작 점은 완벽하게 구형인 물질과 같은 이상적인 경우일 수 있지만, 유도 과정에서 이상적 가정을 수반하지 않는 해이다. 수학적으로 엄밀한 해를 찾는다는 것은 [[유체]]와 같은 일반적 물질의 상태를 모델링 하는 [[텐서|텐서 장]] 또는 [[전자기장]]과 같은 고전적인 [[장 방정식|비중력장]]울 갖춘 [[준 리만 다양체|로런츠 다양체]]를 찾는 것을 의미한다.

== 배경 및 정의 ==
이러한 텐서 장은 관련된 물리 법칙을 나타내는 방정식을 따라야 한다(예: 모든 전자기장은 [[맥스웰 방정식]]을 충족해야 함). [[수리물리학|수리 물리학]]에서 널리 사용되는 표준적 방식에 따라 이러한 텐서 장은 [[에너지-운동량 텐서|응력-에너지 텐서]]  <math>T^{\alpha\beta}</math>에 대한 특정 기여도를 제공해야 한다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Stephani|Kramer|MacCallum|Hoenselaers|Herlt|2009}}</ref> (장은 [[라그랑지언|라그랑지안]]으로 기술되며, 장과 관련하여 변화하는 장 방정식을 제공해야 하고 계량과 관련하여 변화하면 장으로 인한 응력-에너지 기여도를 제공해야 한다. )

마지막으로 응력-에너지 텐서에 대한 모든 기여가 합산 되면 그 결과는 아래의 [[아인슈타인 장 방정식]]의 해이어야 한다.

: <math> G^{\alpha\beta} = \kappa \, T^{\alpha\beta}.</math>

위의 장 방정식에서, <math>G^{\alpha\beta}</math>는 [[로런츠 다양체]] 정의의 일부인 [[계량 텐서]]로부터 유일하게 계산된 [[아인슈타인 텐서]]이다. 아인슈타인 텐서를 제공하는 것은 [[리만 곡률 텐서|리만 텐서]]를 완전히 결정하지 않고 [[바일 곡률 텐서|바일 텐서]]를 지정되지 않은 상태로 남겨두기 때문에(리치 분해 참조) 아인슈타인 장 방정식은 일종의 호환성 조건으로 간주될 수 있다. 즉, 비중력 에너지-운동량의 "지금 여기" 즉각적인 존재가 "지금 여기" [[리치 곡률 텐서|리치 곡률]]의 비례적 양을 유발한다는 의미에서, 어떤 물질의 운동량이나 비중력 장의 운동의 양이 시공간의 기하학과 일관하여야 한다. 더욱이 장 방정식의 공변 도함수를 취하고 비앙키(Bianchi) 항등식을 적용하면, 적절하게 변하는 비중력 에너지-운동량의 양/운동이 곡률의 잔물결이 [[중력파]]로 심지어 물질 또는 중력장을 포함하지 않는 '''진공 영역'''(vacuum region)을 통하여 전파할 수 있음이 밝혀졌다 .

== 정의의 어려움 ==
임의의 로런츠 다양체는 일부 우변에 대한 [[아인슈타인 방정식|아인슈타인 장 방정식]]의 해이다. 이는 다음 절차로 설명된다.

* '''임의'''의 [[준 리만 다양체|로런츠 다양체]]를 취하여 [[아인슈타인 텐서]] <math>G^{\alpha\beta}</math>를 계산하는데, 이것은 순전히 수학적 연산이다.
* [[아인슈타인 방정식|아인슈타인 중력 상수]] <math>\kappa</math>로 나눈다.
* 결과로 나오는 대칭 2차 텐서 장을 [[에너지-운동량 텐서|응력-에너지 텐서]] <math>T^{\alpha\beta}</math>로 선언한다.

이것은 일반 상대성 이론을 사용하는 두 가지 보완적인 방법이 있음을 보여준다.

* 스트레스-에너지 텐서의 형태를 고정할 수 있고(예를 들어 물리적인 이유로) 그러한 우변으로 아인슈타인 방정식의 해를 연구할 수 있다(예를 들어, 스트레스-에너지 텐서가 완벽한 유체, 구형 대칭 해는 항성 모델 역할을 할 수 있다.)
* 또는 시공간의 일부 '''기하학적''' 성질을 고정하고 이러한 성질을 제공할 수 있는 물질의 원천을 찾을 수 있다. 이것이 2000년대 이후 우주론자들이 해 온 일이다. 그들은 우주가 '균질'하고 '등방성'이며 '가속적'이라고 가정하고 어떤 물질([[암흑 에너지]]라고 함)이 그러한 구조를 지원할 수 있다는 것을 깨닫기 위해 노력하고 있다.

첫 번째 접근법 내에서 응력-에너지 텐서는 "합리적인" 물질 분포 또는 비중력장에서 표준 방식으로 발생해야 한다. 실제로 이 개념은, 특히 허용 가능한 비중력 장을 1916년에 알려진 유일한 장인 [[전자기장]]으로 제한하면 매우 명확하다. 그러나 이상적으로 우리는 "합리적인" 물리적 시나리오에서 발생할 수 있는 모든 것을 통과하고, 다른 모든 것을 거부하는, 어떠한 추정되는 "스트레스-에너지 텐서"에도 적용할 수 있는 순전히 수학적 테스트를 진술하는 '수학적 특성'을 갖고 싶다. 불행히도 그러한 특성은 알려져 있지 않다. 대신 [[선형 변환|선형 연산자]]의 [[고윳값과 고유 벡터|고유값]]과 [[고윳값과 고유 벡터|고유 벡터]]에 제한을 두는 것과 유사한 것으로, [[에너지 조건]]으로 알려진 조잡한 테스트가 있다. 한편으로 이러한 조건은 너무 관대하여, 거의 아무도 물리적으로 합리적이라고 생각하지 않는 "해"를 인정한다. 다른 한편으로는 너무 제한적일 수 있다. 가장 인기 있는 에너지 조건은 분명히 [[카시미르 효과]]에 의해 위반된다.

아인슈타인은 또한 정확한 해 정의의 또 다른 요소를 인식했다. 즉 그것은 (추가적인 기준을 충족하는) 로런츠 다양체, 즉 매끄러운 다양체여야 한다. 그러나 일반 상대성 이론과 함께 작업할 때 모든 곳에서 순조롭지 않은 해를 인정하는 것이 매우 유용하다는 것이 밝혀졌다. 예를 들어 완벽한 유체 내부 해를 진공 외부 해와 일치시켜 만든 많은 해와 임펄스 평면파가 있다. 다시 한 번, '우아함'과 '편리함' 각각 사이의 창의적인 긴장은 만족스럽게 해결하기 어려운 것으로 입증되었다.

이러한 국소적인 반대뿐만 아니라, 우리는 국소적으로 반대할 수 없지만 거시적으로는 분리된 지점 사이에 [[닫힌 시간꼴 곡선]]이나 구조를 가지는 인과적으로 수상한 특징을 나타내는 매우 많은 정확한 해가 있다는 훨씬 더 어려운 문제를 안고 있다. 실제로 가장 잘 알려진 정확한 해 중 일부는 거시적으로 '이상한' 특성을 가지고 있다.

== 엄밀 해의 유형 ==
잘 알려진 많은 엄밀 해는 응력-에너지 텐서의 의도된 물리적 해석에 따라 다음의 여러 유형 중 하나에 속한다.

* 진공 해: <math>T^{\alpha\beta} = 0</math>; 이들은 물질이나 중력장이 존재하지 않는 지역을 설명한다.
* 전기 진공 해: <math>T^{\alpha\beta}</math>가 주어진 곡선 로런츠 다양체에서 '근원이 없는' [[맥스웰 방정식]]을 푸는 [[전자기장]]에서 전적으로 발생해야 한다. 이것은 '중력장'의 유일한 소스가 '전자기장'에 의한 장 에너지(및 운동량)라는 것을 의미한다.
* 무 분진 해: <math>T^{\alpha\beta}</math>가 주어진 [[준 리만 다양체|로런츠 다양체]]에서 맥스웰 장 방정식을 반드시 풀지 않고 비간섭 전자기 복사에서 발생하는 것으로 해석될 수 있는 응력-에너지 텐서에 해당해야 한다.
* 유체 해: <math>T^{\alpha\beta}</math>가 전적으로 유체(종종 [[이상 유체|완전 유체]]로 간주됨)의 응력-에너지 텐서에서 발생해야 하는데, 중력장의 유일한 근원은 유체를 구성하는 물질의 에너지, 운동량 및 응력(압력 및 전단 응력)이다.

유체 또는 전자기파와 같은 잘 확립된 현상 외에도 중력장이 다양한 가상 장의 장 에너지에 의해 완전히 생성되는 모델을 고려할 수 있다.

* 스칼라 장 해: <math>T^{\alpha\beta}</math>가 전적으로 [[스칼라장|스칼라 장]](종종 질량이 없는 스칼라 장)에서 발생해야 한다. 이것들은 [[중간자]] 빔의 고전적인 장 이론 처리에서 또는 정수로 발생할 수 있다.
* 람다 진공(lambda vacuum) 해 (표준 용어가 아니어서 아직 이름이 없는 표준 개념): <math>T^{\alpha\beta}</math>가 0이 아닌 [[우주상수|우주 상수]]에서 전적으로 발생한다.

거의 주목을 받지 못한 한 가지 가능성(아마도 관련된 수학이 너무 어렵기 때문에)은 [[고체역학|탄성체]]에 대한 문제이다. 현재로서는 이 특정 유형에 대한 정확한 해가 알려져 있지 않은 것 같다.

아래에서 물리적 해석에 의한 분류를 대략 기술했다. [[리치 곡률 텐서|리치 텐서]]의 가능한 대수 대칭의 세그레(Segre)분류를 사용하여 해를 구성할 수도 있다.

* null이 아닌 electrovacuum에는 세그레 유형<math>\{ \, (1,1)(11) \}</math> 및 [[군의 작용|등방성 군]] SO(1,1) x SO(2)이 있다.
* null electrovacuums 및 null dusts에는 세그레 유형 <math>\{ \,(2,11) \}</math> 및 등방성 군 E(2)가 있다.
* 완벽한 유체에는 세그레 유형 <math>\{ \, 1, (111) \}</math> 및 등방성 군 SO(3) 이 있다.
* 람다 진공에는 세그레 유형 <math>\{ \, (1, 111)\}</math> 및 등방성 군 SO(1,3)이 있다.

나머지 세그레 유형에는 특별한 물리적 해석이 없으며 대부분은 응력-에너지 텐서에 대한 알려진 유형의 기여와 일치할 수 없다.

=== 예 ===
진공 해, 전기 진공 해 등의 주목할만한 예는 전문적인 논문에 나열되어 있다(아래 참조). 이러한 해는 특정 종류의 물질 또는 장로 인해 [[에너지-운동량 텐서]]에 대한 기여를 최대 한 가지 포함한다. 그러나 다음을 포함하여 두세 가지 기여를 포함하는 몇 가지 주목할만한 정확한 해가 있다.

* [[NUT-Kerr–Newman–de Sitter solution|NUT-커–뉴먼–드 시터르 해]] 소위 NUT 매개변수로 지정되는 커 진공의 일종의 진공 섭동뿐만 아니라 전자기장 및 양의 진공 에너지의 기여를 포함한다.
* [[괴델 계량|괴델 먼지 해]]에는 무압 완전 유체(먼지)와 양의 진공 에너지가 포함되어 있다.

== 해의 구성 ==
아인슈타인 장 방정식은 [[비선형계|비선형]] 편미분 방정식 계이다. 일반적으로 이것은 문제를 해결하기 어렵게 만든다. 그럼에도 불구하고 정확한 해를 얻기 위한 몇 가지 효과적인 기술이 확립되었다.

가장 간단한 방식은 정상성 (시간 변환 하의 대칭) 또는 축 대칭(일부 [[자전|대칭 축]]에 대한 회전 하의 대칭)과 같은 계량 텐서에 대칭 조건을 부과하는 것이다. 이러한 종류의 충분히 영리한 가정을 사용하면 아인슈타인 장 방정식을 심지어 (정지 축대칭 진공 해의 경우에서 발생하고 [[에른스트 방정식]]으로 특징지울 수 있는 ) [[편미분방정식|단일 편미분 방정식]]  또는 ([[슈바르츠실트 해 유도|슈바르츠실트 진공]]의 경우와 같이) '상미분' 방정식 계와 같이 훨씬 더 단순한 방정식 계로 환원 시킬 수 있다.

이러한 단순한 접근 방식은 일반적으로 좌표 기반이 아닌 [[미분기하학|틀장]]을 사용하는 경우 가장 잘 작동한다.

관련 아이디어는 [[바일 곡률 텐서|바일 텐서]], [[리치 곡률 텐서|리치 텐서]] 또는 [[리만 곡률 텐서|리만 텐서]]에 대수 대칭 조건을 부과하는 것과 관련된다. 이것들은 종종 바일 텐서의 가능한 대칭에 대한 [[페트로프 분류]] 또는 리치 텐서의 가능한 대칭에 대한 세그레분류로 표현된다. 위의 논의에서 알 수 있듯이 이러한 해는 수학적 형식에서 명확하지 않을 수 있지만 종종 일부 물리적 콘텐츠를 포함하고 있다.

이 두 번째 종류의 대칭 접근법은 보다 효율적인 부기를 위해 척수량을 사용하는 [[뉴먼-펜로즈 형식주의|뉴먼-펜로즈(Newman-Penrose) 형식주의]]와 함께 자주 사용되었다.

이러한 대칭 축소 후에도 축소된 방정식 시스템은 풀기 어려운 경우가 많다. 예를 들어, [[에른스트 방정식]]은 비선형 슈뢰딩거 방정식(NLS)과 다소 유사한 [[비선형 편미분 방정식]]이다.

그러나 [[민코프스키 공간|민코프스키 시공간]]의 등각군은 [[맥스웰 방정식]]의 대칭군이라는 것을 상기하여야 한다. 스케일링 해를 가정하여 [[열 방정식]]의 해를 찾을 수 있음을 또한 상기한다. 이러한 개념은 미분 방정식(또는 방정식 계)의 [[점대칭|점 대칭]]에 대한 [[소푸스 리]]의 개념의 특별한 경우일 뿐이며 소푸스 리가 보여준 것처럼 이것은 사소하지 않은 대칭 군을 갖는 모든 미분 방정식에 대한 공격 수단을 제공할 수 있다. 실제로, 에른스트 방정식과 NLS는 둘 다 중요하지 않은 대칭 군을 가지며, 일부 해는 대칭을 이용하여 찾을 수 있다. 이러한 대칭 군은 종종 무한 차원이지만 이것이 항상 유용한 기능은 아니다.

[[에미 뇌터]]는 소푸스 리의 대칭 개념에 대한 사소하지만 심오한 일반화가 훨씬 더 강력한 공격 방법이 될 수 있음을 보여주었다. 이것은 [[적분가능계|완전히 적분 가능한]] 일부 방정식이 무한한 일련의 보존 법칙(infinite sequence of conservation laws)을 따른다는 발견과 밀접한 관련이 있는 것으로 밝혀졌다. 놀랍게도 [[에른스트 방정식]](정확한 해 연구에서 여러 방식으로 발생)과 NLS는 완전히 적분할 수 있는 것으로 밝혀졌다. 따라서 그들은 [[솔리톤]] 이론에서 발생하는 비선형 편미분 방정식인 [[코르테버흐-더프리스 방정식]](KdV 방정식)을 풀기 위해 원래 개발되었으며 완전히 적분할 수 있는 역 산란 변환과 유사한 기술로 해에 취약한다. 불행히도 이러한 방법으로 얻은 해는 종종 원하는 만큼 좋지 않다. 예를 들어 단일 솔리톤 해(소푸스 리의 점 대칭 개념에서 찾을 수 있음)에서 KdV 방정식의 다중 솔리톤 해를 얻는 방식과 유사한 방식으로 다중 커 개체 해를 얻을 수 있지만 불행히도 이것은 물리적으로 믿을 수 없게 만드는 몇 가지 기능이 있다.<ref>{{서적 인용|제목=Gravitational solitons|성=Belinski|이름=V.|성2=Verdaguer|이름2=E.|연도=2001|출판사=Cambridge University Press|isbn=0-521-80586-4}} A monograph on the use of soliton methods to produce stationary axisymmetric vacuum solutions, colliding gravitational plane waves, and so forth.</ref>

또한 다른 방법으로 찾은 진공 해를 새로운 진공 해나 전자 진공 해 또는 유체 해으로 변환할 수 있는 다양한 변환(Belinski-Zakharov 변환 참조)이 있다. [[솔리톤]] 방정식의 유명한 예를 포함하여 특정 [[편미분방정식|편미분 방정식]] 이론에서 알려진 베크룬트(Bäcklund) 변환과 유사하다. 이 현상은 대칭에 관한 뇌터 및 리의 개념과도 관련이 있기 때문에 이것은 우연이 아니다. 불행하게도, "잘 이해된", 대역적으로 허용되는 해에 적용되는 경우에도 이러한 변환은 종종 제대로 이해되지 않는 해를 생성하고 일반적인 해석은 아직 알려지지 않았다.

== 해의 존재성 ==
아인슈타인 장 방정식에 대한 "일반적인" 해 또는 심지어 '진공' 장 방정식에 대한 "일반적인" 해와 같은 것을 제시하는 것은 훨씬 적고 명시적인 작은 해 군을 구성하는 것이 어렵다는 점을 감안할 때 아주 합리적인 접근 방식은 정성적 해를 찾는 것이다. 모든 해 또는 적어도 모든 '진공' 해에 대해 유지되는 특성. 가장 기본적인 질문 중 하나는 다음과 같다. 해가 존재하는가? 그렇다면 해가 '몇 개'인가?

시작하려면 두 개의 새로운 방정식 시스템을 제공하는 장 방정식의 적절한 [[Initial value problem in general relativity|초기 값 공식]]을 채택해야 한다. 하나는 '초기 데이터'에 대한 '제약 조건'을 제공하고 다른 하나는 이 초기 데이터를 해로 '발전시키는' 절차를 제공한다. 그런 다음 다른 미분 방정식을 연구할 때 발생하는 것과 크게 다르지 않은 아이디어를 사용하여 해가 적어도 '국소적'으로 존재함을 증명할 수 있다.

우리가 낙관적으로 기대할 수 있는 "얼마나 많은" 해에 대한 아이디어를 얻기 위해 아인슈타인의 제약 계산 방법에 호소할 수 있다. 이러한 스타일의 논증에서 나오는 전형적인 결론은 아인슈타인 장 방정식에 대한 '''일반적인 진공 해'''가 3개의 변수로 구성된 4개의 임의 함수와 2개의 변수로 구성된 6개의 임의 함수를 제공함으로써 지정될 수 있다는 것이다. 이러한 기능은 고유한 진공 해를 '''발전''' 시킬 수 있는 초기 데이터를 지정한다. (반대로, 모든 고정 축 대칭 진공 해들의 족인 에른스트 진공은 주어진 두 변수를 가진 두 함수만 특정 되며, 심지어 임의적이지 않고, 두 개의 결합된 비선형 편미분 방정식 계를 충족해야 한다. 이것은 이들의 거대한 계획에서 전형적인 정확한 해들의 "거대한" 족이 실제로 얼마나 작은 지에 대한 아이디어를 제공할 수 있다.)

그러나 이러한 조악한 분석은 해가 '거시적으로 존재하는지' 여부에 대한 훨씬 더 어려운 질문에 훨씬 미치지 못한다. 지금까지 알려진 거시적 존재 결과는 또 다른 아이디어를 내포하고 있음이 밝혀졌다.

== 거시적 안정성 정리 ==
우리는 "무한의 위치에서 약간의 복사를 보냄"으로써 고립된 거대한 물체 외부의 중력장을 "교란"시키는 것을 상상할 수 있다. 우리는 다음과 같이 질문할 수 있다. 들어오는 방사선이 주변 장과 상호 작용할 때 어떤 일이 발생하는가? 고전적인 [[섭동 이론]]의 접근 방식에서 [[민코프스키 진공]](또는 [[더 시터르 람다 진공]]과 같은 또 다른 아주 간단한 해)으로 시작하여 아주 작은 계량 섭동을 도입하고 적절한 섭동 확장에서 일정 차수 항 까지만 유지할 수 있다. 시공간 기하학에 대한 일종의 [[테일러 급수]]를 추산하는 것과 같다. 이 접근 방식은 본질적으로 [[쌍성 펄사]]와 같은 중력 시스템의 모델을 구성하는 데 사용되는 뉴턴 이후 근사의 기본 아이디어이다. 그러나 섭동 확장은 일반적으로 비선형 방정식의 경우 장기적 존재성 및 안정성에 대한 질문에 대해 신뢰할 수 없다.

전체 장 방정식은 아주 비선형적이므로 [[민코프스키 진공]]이 완전 비선형 장 방정식을 사용하여 처리되는 작은 섭동에서 안정적임을 증명하고자 한다. 이를 위해서는 많은 새로운 아이디어의 도입이 필요하다. 때때로 민코프스키 진공이 비선형적으로 안정적이라는 슬로건으로 표현되는 원하는 결과는 마침내 1993년에야 [[데메트리오스 크리스토돌로]](Demetrios Christodoulou)와 [[세르기우 클라이너만]](Sergiu Klainerman)에 의해 입증되었다.<ref>{{서적 인용|url=https://www.worldcat.org/oclc/881139781|제목=The global nonlinear stability of the Minkowski space|성=Christodoulou|이름=Demetrios|저자링크=Demetrios Christodoulou|성2=Klainerman|이름2=Sergiu|저자링크2=Sergiu Klainerman|날짜=2014|출판사=Princeton University Press|isbn=978-0-691-60315-5|oclc=881139781}}</ref> 유사한 결과가 [[더 시트르 람다 진공]]( [[Helmut Friedrich|헬무트 프리드리히]] )의 람다 진공 섭동과 [[민코프스키 진공]]([[Nina Zipser|니나 집세르]])의 전자 진공 섭동에 대해 알려져 있다. 반대로 [[반 더시터르 공간|반 더 시터르 공간]]은 특정 조건에서 불안정한 것으로 알려져 있다.<ref>{{저널 인용|제목=Weakly Turbulent Instability of Anti–de Sitter Spacetime|저널=Physical Review Letters|성=Bizoń|이름=Piotr|성2=Rostworowski|이름2=Andrzej|url=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.107.031102|날짜=2011|권=107|호=3|쪽=031102|arxiv=1104.3702|bibcode=2011PhRvL.107c1102B|doi=10.1103/PhysRevLett.107.031102|issn=0031-9007|pmid=21838346}}</ref>

== 양의 에너지 정리 ==
걱정할 수 있는 또 다른 문제는 양의 질량 에너지 밀도(및 운동량)의 '고립된 집중'의 순 질량 에너지가 항상 잘 정의된(음이 아닌) 순 질량을 생성하는지 여부이다. 양의 에너지 정리로 알려진 이 결과는 1979년에 [[리처드 쇼엔]](Richard Schoen)과 [[야우싱퉁|야우 싱퉁]]에 의해 마침내 증명되었으며, 그들은 응력-에너지 텐서의 특성에 대한 추가적인 기술적 가정을 했다. 원본 증명은 매우 어렵다. [[에드워드 위튼]]은 곧 훨씬 더 짧은 "물리학자의 증빙"을 제시했는데, 수학자들이 훨씬 더 어려운 주장을 사용하여 위튼의 주장을 정당화했다. [[로저 펜로즈]]와 다른 사람들은 또한 원래 양의 에너지 정리의 변형에 대한 대안적인 주장을 제시했다.

== 같이 보기 ==
* [[프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량|Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker 계량]]
* [[바일 곡률 텐서|바일 텐서]]의 대수 대칭에 대한 [[페트로프 분류]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 추가 자료 ==
*{{서적 인용| last=Krasiński |first=A. | title=Inhomogeneous Cosmological Models | publisher=Cambridge University Press | year=1997 | isbn=0-521-48180-5}}
*{{콘퍼런스 인용|last=MacCallum |first=M. A. H. |book-title=AIP Conference Proceedings |year=2006 |doi=10.1063/1.2218172 |title=Finding and using exact solutions of the Einstein equations |volume=841 |pages=129–143 |arxiv=gr-qc/0601102 |bibcode=2006AIPC..841..129M}} An up-to-date review article, but too brief, compared to the review articles by {{harvnb|Bičák|2000}} or {{harvnb|Bonnor|Griffiths|MacCallum|1994}}.
*{{저널 인용|first=Malcolm A.H. |last=MacCallum |title=Exact Solutions of Einstein's equations |journal=[[Scholarpedia]] |volume=8 |issue=12 |pages=8584 |date=2013 |doi=10.4249/scholarpedia.8584 |bibcode=2013SchpJ...8.8584M |doi-access=free }}
*{{저널 인용| last=Rendall |first=Alan M. | title=Local and Global Existence Theorems for the Einstein Equations| journal=Living Reviews in Relativity | date=27 September 2002| volume=5| issue=1| page=6| doi=10.12942/lrr-2002-6| pmid=28163637| pmc=5255525| url=http://www.livingreviews.org/lrr-2002-6| access-date=August 11, 2005 }} A thorough and up-to-date review article.
*{{저널 인용| last=Friedrich |first=Helmut | title=Is general relativity 'essentially understood' ? | year=2005 | doi=10.1002/andp.200510173 | journal=Annalen der Physik | volume=15 | issue=1–2 | pages=84–108 |arxiv=gr-qc/0508016|bibcode = 2006AnP...518...84F | s2cid=37236624 }} An excellent and more concise review.
*{{서적 인용| last=Bičák |first=Jiří |author-link=Jiří Bičák |chapter= Selected Solutions of Einstein's Field Equations: Their Role in General Relativity and Astrophysics| title= Einstein's Field Equations and Their Physical Implications| year=2000 | volume=540 | pages=1–126 | doi=10.1007/3-540-46580-4_1 | series=Lecture Notes in Physics |arxiv=gr-qc/0004016 | isbn=978-3-540-67073-5|s2cid= 119449917}}  An excellent modern survey.
*{{저널 인용|last1=Bonnor |first1=W.B. |author1-link=William B. Bonnor |last2=Griffiths |first2=J.B. |last3=MacCallum |first3=M.A.H. | title=Physical interpretation of vacuum solutions of Einstein's equations. Part II. Time-dependent solutions | journal=Gen. Rel. Grav. | year=1994 | volume=26 | pages=637–729 | doi=10.1007/BF02116958|bibcode = 1994GReGr..26..687B | issue=7 |s2cid=189835151 }}
*{{저널 인용| last=Bonnor |first=W. B. | title=Physical interpretation of vacuum solutions of Einstein's equations. Part I. Time-independent solutions | journal=Gen. Rel. Grav. | year=1992 | volume=24 | pages=551–573 | doi=10.1007/BF00760137|bibcode = 1992GReGr..24..551B | issue=5 | s2cid=122301194 }}  A wise review, first of two parts.
*{{서적 인용| last=Griffiths |first=J. B. | title=Colliding Plane Waves in General Relativity | publisher=[[Clarendon Press]] | year=1991 | isbn=0-19-853209-1 |url=http://www-staff.lboro.ac.uk/~majbg/jbg/book.html|archive-url=https://web.archive.org/web/20070610215945/http://www-staff.lboro.ac.uk/~majbg/jbg/book.html |archive-date=2007-06-10 }}  The definitive resource on colliding plane waves, but also useful to anyone interested in other exact solutions.
*{{서적 인용|last1=Hoenselaers |first1=C. |last2=Dietz |first2=W. | title=Solutions of Einstein's Equations: Techniques and Results | publisher=Springer | year=1985 |isbn=3-540-13366-6}}
*{{콘퍼런스 인용|last1=Ehlers |first1=Jürgen |last2=Kundt |first2=Wolfgang | title=Exact solutions of the gravitational field equations | book-title=Gravitation: An Introduction to Current Research | editor=Witten, L. | publisher=Wiley | year=1962 | pages=49–101 |oclc=504779224 |hdl=11858/00-001M-0000-0013-5F17-4}} A classic survey, including important original work such as the symmetry classification of vacuum pp-wave spacetimes.
*{{서적 인용|last1=Stephani |first1=Hans |first2=Dietrich |last2=Kramer |first3=Malcolm |last3=MacCallum |first4=Cornelius |last4=Hoenselaers |first5=Eduard |last5=Herlt | title=Exact Solutions of Einstein's Field Equations | location=Cambridge | publisher=Cambridge University Press  | isbn=978-0-521-46702-5 |   year=2009 |edition=2nd |orig-year=2003 |url=https://books.google.co.kr/books?id=No4vOtVj63AC&pg=PP1&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false}}

== 외부 링크 ==
{{상대론}}

[[분류:일반 상대성 이론의 엄밀해]]