일반화 힘 문서 원본 보기

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'''일반화 힘'''({{lang|en|generalized force}})이란 [[라그랑주 역학]]에서 도입된 개념으로, 외부에서 입자 i에 작용한 힘을 [[일반화 좌표]]로 변환한 것을 의미한다.

== 정의 ==
n개의 입자 중, i번째 입자에 외부에서 작용한 힘을 F<sub>i</sub>라 하면, 이 때, 일반화 좌표 {q<sub>1</sub>, q<sub>2</sub>, …, q<sub>σ</sub>}에 대한 일반화 힘 Q<sub>σ</sub>은 다음과 같이 정의된다.
:<math>Q_\sigma = \sum_{i=1}^n \mathbf{F}_i \cdot { \partial \mathbf{r}_i \over \partial q_\sigma}</math>

== 유도 ==
일반화 힘의 표현은 외부 힘에 대한 [[가상 일]]을 통해 얻는다. n개의 입자로 이루어진 [[계 (물리학)|계]]를 생각해보자. 이 때, [[가상 일]] δW는 외부 힘 '''F'''<sub>i</sub> 와 [[가상 변위]] δ'''r'''<sub>i</sub>의 [[스칼라곱]]으로 나타난다.<ref name="Torby1984">{{서적 인용|last=Torby |first=Bruce |title=Advanced Dynamics for Engineers |url=https://archive.org/details/advanceddynamics0000torb |series=HRW Series in Mechanical Engineering |year=1984 |publisher=CBS College Publishing |location=United States of America |isbn=0-03-063366-4 |chapter=Energy Methods}}</ref>{{rp|265}}
:<math>\delta W = \sum_{i=1}^n \mathbf{F}_i \cdot \delta \mathbf{r}_i</math>
여기서 δ'''r'''<sub>i</sub>는 다음과 같이 일반화 좌표에 대한 가상 변위 δq<sub>σ</sub>를 써서 표현할 수 있다.
:<math>\delta \mathbf{r}_i = \sum_\sigma {\partial \mathbf{r}_i \over \partial q_\sigma }\delta q_\sigma</math>
이를 첫 번째 식에 대입하면, 가상 일을 일반화 좌표에 대한 가상 변위로 표현할 수 있는데,
:<math>\delta W = \sum_\sigma \left( \sum_{i=1}^n  \mathbf{F}_i \cdot {\partial \mathbf{r}_i \over \partial q_\sigma } \right) \delta q_\sigma</math>
여기서, 괄호안의 부분 Q<sub>σ</sub>
:<math>Q_\sigma = \sum_i \mathbf{F}_i \cdot { \partial \mathbf{r}_i \over \partial q_\sigma}</math>
를 일반화 힘이라 정의하고, 이에 대한 가상 일은
:<math>\delta W = \sum_\sigma Q_\sigma \delta q_\sigma \;</math>
이 되어 식이 원래 형태에서 변하지 않음을 알 수 있다.

여기서, q<sub>σ</sub>에 거리를 넣으면 Q<sub>σ</sub>의 [[차원]]은 힘의 차원이 되고, q<sub>σ</sub>에 각을 넣으면 Q<sub>σ</sub>의 [[차원]]은 [[돌림힘]]의 차원이 됨을 알 수 있다.

== 같이 보기 ==
* [[일반화 좌표]]
* [[일반화 운동량]]
* [[달랑베르의 원리]]

== 각주 ==
{{각주}}

{{전거 통제}}

[[분류:고전역학]]
[[분류:라그랑주 역학]]