일반화 좌표 문서 원본 보기

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'''일반화 좌표'''({{lang|en|generalized coordinates}})는 물리적 [[계 (물리학)|계]]를 더 쉽게 분석하기 위해 사용되는 [[매개변수]]의 집합을 말한다. [[데카르트 좌표계]]가 표준이던 시절에 붙여진 이름이다.

== 수학적 정의 ==
N개의 입자를 가진 [[계 (물리학)|계]]와 이 계의 [[좌표]]들간의 제약을 주는 k개의 [[홀로노믹|홀로노믹 구속]]
:<math>f_i (x_1, \;  x_2, \; x_3, \; \cdots, \; x_n, \; t)\quad i = 1,\;2,\;\cdots,\;k</math>
이 있다 하자. 이 때, 이 계의 [[자유도 (물리학과 화학)|자유도]]는 [[회전]]과 같은 자유도를 무시하고 [[병진 (물리학)|병진]]에 의한 자유도만을 고려하면 3N-k개의 자유도를 가지게 된다. 그리고 이 때, 이 계를 기술하는 3N-k개의 서로 [[독립]]인 좌표의 집합 {q<sub>1</sub>, q<sub>2</sub>, …, q<sub>3N-k</sub>}를 '''일반화 좌표'''라 한다. 이 좌표는 말 그대로 일반화된 좌표로 [[관성계]]일 필요도 없고, 뉴턴 역학에서 자주 쓰는 [[데카르트 좌표계]]일 필요도 없다. 심지어, 길이의 차원을 가지지 않는 [[각 (수학)|각]] 또한 일반화 좌표가 될 수 있다. 임의의 3N-k개의 매개변수가 계의 상태를 완벽히 표현할 수 있다면, 이 매개변수들은 일반화좌표가 될 수 있다. 이를 통해, 기존의 좌표계들과 달리 운동을 분석할 수 있는 유연성을 제공해준다.

== 예 ==
[[파일:Double-Pendulum.svg|오른쪽|섬네일|200px|이중 진자]]
'''평면 위에서 운동하는 [[이중진자]]'''는 [[데카르트 좌표계]]를 사용하면, 다음과 같이 {x<sub>1</sub>, y<sub>1</sub> x<sub>2</sub>, y<sub>2</sub>} 네 개의 좌표를 사용하면 운동을 기술할 수 있다. 하지만 이 운동의 자유도는 2이기 때문에, [[데카르트 좌표계]]보다 일반화 좌표를 사용하면 더 편리하게 운동을 기술할 수 있다. 보통 이 문제를 기술하기 위해서 왼쪽 그림과 같이 각 θ<sub>1</sub>, θ<sub>2</sub>를 일반화 좌표로 사용한다. 그에 관계된 [[좌표변환|변환]]식은 다음과 같다.
:<math>\lbrace x_1, y_1 \rbrace = \lbrace L_1\sin\theta_1,  L_1\cos\theta_1 \rbrace</math><br />
:<math>\lbrace x_2, y_2 \rbrace = \lbrace L_1\sin\theta_1+L_2\sin\theta_2,   L_1\cos\theta_1+L_2\cos\theta_2 \rbrace</math>

'''끈 위에서 움직이는 구슬'''의 경우 자유도가 1이므로 일반화 좌표를 사용하면 매우 쉽게 운동을 기술할 수 있다. 끈위의 어느 기준점으로부터 구슬까지의 끈을 따라서 잰 거리 l을 일반화 좌표로 사용하면 원래는 3차원 좌표를 써서 복잡하게 풀어야 할 문제가 1차원 문제로 쉬워지는걸 확인할 수 있다.

'''임의의 면 상에서 움직이는 물체'''의 운동은 3차원 상에서 이루어지지만 2개의 자유도를 가지고 있다. [[구 (기하학)|구]] 위에서 움직이는 물체를 생각해보면, [[구면 좌표계]]의 각 좌표, θ, φ를 변수로 사용하는 것이 좋다. 나머지 좌표 r은 계의 [[홀로노믹 구속]]에 의해 쉽게 없어짐을 볼 수 있다.

== 일반화 속도 ==
어떤 순간의 계의 상태를 기술하기 위해선 좌표만으로도 충분하다. 하지만 그 계의 동역학적 상태를 알기 위해선 입자들의 위치만을 알아서는 부족하다. 입자들의 운동 상태에 대한 정보도 함께 알아야 한다. 이를 기술하기 위해 각 일반화 좌표의 시간에 대한 미분, '''일반화 속도'''({{lang|en|generalized velocity}})란 개념을 도입한다.
:<math>\dot{q}_i \equiv {d q_i \over dt}</math>
이 값을 알면 이후의 계의 상태를 추적할 수 있다. 여기에 일반화 속도의 역학적 중요성이 있다.

=== 운동에너지 ===
라그랑주 역학에서는 일반화 좌표로 기술되는 운동에너지 T를 자주 구하게 된다. 하지만 이는 일반적으로 다음과 같은 일반화 속도의 [[이차 형식]]으로 나타나지 않음에 주의하자.
:<math>T \neq \sum_i c_i \dot{q}_i^2</math>
일반적으로 이를 구하기 위해서는 아래와 같이
:<math>T =\sum_{i=1} ^N \frac {m_i}{2} \left ( \dot x_i^2 + \dot y_i^2 + \dot z_i^2 \right )</math>
[[데카르트 좌표계]]를 통해 먼저 운동 에너지를 구하고, 이를 일반화 좌표로 변환시켜 사용하게 된다.
:<math>x_i = x_i \left (q_1, q_2, ..., q_n, t \right )</math>
:<math>y_i = y_i \left (q_1, q_2, ..., q_n, t \right )</math>
:<math>z_i = z_i \left (q_1, q_2, ..., q_n, t \right )</math>
여기서, 운동에너지를 구하기 위한 [[데카르트 좌표계]]는 항상 [[관성계]]이어야 함에 주의하자. 하지만 변환 후의 일반화 좌표는 [[관성계]]일 필요는 없다. 이 좌표 선택의 자유도가 일반화 좌표의 장점이다.

== 같이 보기 ==
* [[라그랑주 역학]]
* [[자유도 (물리학)|자유도]]
* [[가상 일]]

[[분류:동역학계]]
[[분류:고전역학]]
[[분류:라그랑주 역학]]
[[분류:해밀턴 역학]]
[[분류:강체]]