일반화 다각형 문서 원본 보기

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[[파일:GQ(2,2),_the_Doily.svg|섬네일|오른쪽|일반화 사각형의 예]]
[[결합 구조]] 이론에서, '''일반화 다각형'''(一般化多角形, {{llang|en|generalized polygon}})은 특정 크기 이하의 다각형을 갖지 않는 [[결합 구조]]이다. [[사영 평면]]과 [[다각형]]의 공통적인 일반화이다.

== 정의 ==
임의의 <math>n\ge3</math>에 대하여, '''일반화 <math>n</math>각형'''({{llang|en|generalized <math>n</math>-gon}})은 다음 조건들을 모두 만족시키는 [[결합 구조]] <math>(X,L,\vartriangleleft)</math>이다.
* [[결합 구조|준선형 공간]]이다. 즉,
** 임의의 서로 다른 두 점에 대하여 이와 결합하는 직선이 존재하며,
** 모든 직선은 두 개 이상의 점과 결합한다.
* <math>2\le m<n</math>에 대하여, <math>m</math>각형을 부분 구조로 갖지 않는다.
* 적어도 하나 이상의 <math>n</math>각형을 부분 구조로 갖는다. 또한, 다음이 성립한다.
** 임의의 두 점 <math>x,y\in X</math>에 대하여, <math>x</math>와 <math>y</math>를 꼭짓점으로 갖는 <math>n</math>각형이 존재한다.
** 임의의 두 직선 <math>l,m\in L</math>에 대하여, <math>l</math>과 <math>m</math>을 변으로 갖는 <math>n</math>각형이 존재한다.
** 임의의 점 <math>x\in X</math>과 직선 <math>l\in L</math>에 대하여, <math>x</math>를 꼭짓점으로, <math>l</math>을 변으로 갖는 <math>n</math>각형이 존재한다.

== 성질 ==
일반화 <math>n</math>각형의 쌍대 [[결합 구조]] 역시 일반화 <math>n</math>각형이다.

== 예 ==
특히, 위 정의의 특수한 경우로, '''일반화 이각형'''(一般化二角形, {{llang|en|generalized digon}})은 다음 조건을 만족시키는 인접 구조이다.
* 모든 점은 모든 직선과 인접한다.
* 두 개 이상의 점이 존재한다.
* 두 개 이상의 직선이 존재한다.

'''일반화 삼각형'''(一般化三角形, {{llang|en|generalized triangle}})은 (비퇴화) [[사영 평면]]과 동치인 개념이다.

=== 다각형 ===
다각형, 즉 어떤 [[순환 그래프]]를 구성하는 [[결합 구조]]는 일반화 다각형을 이룬다.

== 역사 ==
일반화 다각형의 개념은 [[자크 티츠]]가 [[반단순 리 군]]을 연구하기 위하여 1959년에 도입하였다.

== 같이 보기 ==
* [[이임학 군]]
== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|doi=10.1007/BFb0075513|장=Generalized polygons, SCABs and GABs|이름=William M.|성=Kantor|날짜=1986|제목= Buildings and the geometry of diagrams. Lectures given at the 3rd 1984 session of the Centro Internazionale Matematico Estivo (C.I.M.E.) held at Como, Italy, August 26 – September 4, 1984|총서=Lecture Notes in Mathematics|권=1181|출판사=Springer-Verlag|isbn= 978-3-540-16466-1|쪽=79–158|editor1-first=Luigi A.|editor1-last=Rosati|언어=en}}
* {{서적 인용|성=Tits|이름=Jacques|저자링크=자크 티츠|성2=Weiss|이름2=Richard M.|날짜=2002|제목=Moufang polygons|총서=Springer Monographs in Mathematics|출판사=Springer-Verlag|isbn=978-3-540-43714-7|mr=1938841|doi=10.1007/978-3-662-04689-0|issn=1439-7382|언어=en}}
* {{저널 인용|title=群と幾何における最近の動向|author=吉荒 聡|url=http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1214-12.pdf|저널=京都大学数理解析研究所講究録|권=1214|year=2001|쪽=122–136|언어=ja}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=GeneralizedPolygon|title=Generalized polygon}}
* {{매스월드|id=GeneralizedQuadrangle|title=Generalized quadrangle}}
* {{매스월드|id=GeneralizedHexagon|title=Generalized hexagon}}
* {{매스월드|id=GeneralizedOctagon|title=Generalized octagon}}
* {{매스월드|id=GeneralizedDodecagon|title=Generalized dodecagon}}
* {{서적 인용|장url=http://cage.ugent.be/~fdc/contactforum/weiss.pdf|장=Moufang polygons|이름=Richard|성=Weiss|제목=Proceedings of the Academy Contact Forum “Generalized Polygons”|url=http://cage.ugent.be/~fdc/contactforum/contactforum.html|언어=en}}

[[분류:군론]]
[[분류:결합기하학]]