일반화 고유벡터 문서 원본 보기

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[[선형대수학]]에서, '''일반화 고유벡터'''({{llang|en|generalized eigenvector}})는 비대칭 [[행렬]]의 대수적 중복도가 기하적 중복도와 일치하지 않을 때, 모자라는 [[고유벡터]]들을 대신하는 벡터들이다.

== 정의 ==
복소 <math>n\times n</math> [[정사각행렬]] <math>A</math>의 [[고윳값]] <math>\lambda_i</math>의 [[대수적 중복도]]가 <math>n_i</math>라고 하자. 그렇다면, 고윳값 <math>\lambda_i</math>의 '''일반화 고유벡터''' <math>\mathbf v\in\mathbb C^n</math>는 다음 성질을 만족시키는 벡터이다.
:<math>(A-\lambda_i)^{n_i}\mathbf v=\mathbf0</math>
모든 고유벡터는 일반화 고유벡터이지만, 만약 고윳값의 대수적 중복도가 기하적 중복도를 초과하면, 고유벡터가 아닌 일반화 고유벡터가 존재한다.

== 예 ==
다음과 같은 [[행렬]]을 생각하자.
:<math>A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}</math>
<math>A</math>의 고윳값은 1밖에 없으며, 그 기하적 중복도는 1이지만 대수적 중복도는 2이다. 이 경우, <math>A</math>의 고유벡터는
:<math>\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}</math>
하나밖에 없다. 이 경우,
:<math>(A-I)^2=0</math>
이므로, 모든 벡터가 <math>A</math>의 일반화 고유벡터가 된다. 즉, <math>A</math>는 총 2개의 (선형독립) 일반화 고유벡터를 가지며, 그 가운데 하나는 고유벡터를 이룬다.

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=GeneralizedEigenvector|title=Generalized eigenvector}}
* {{eom|title=Root vector}}

[[분류:선형대수학]]
[[분류:행렬론]]