일반화된 f-평균 문서 원본 보기

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[[수학]]과 [[통계학]]에서 '''일반화된 ''f''-평균'''(generalised f-mean)은 [[산술평균]]이나 [[기하평균]]과 같은 평균들을 함수 ''f''(''x'')를 사용하여 일반화한 것이다.

[[실수]] 축의 연결된 부분집합 ''S''를 실수로 대응시키는 함수 ''f''가 주어지고, 이 ''f''가 [[연속 함수|연속]]인 [[단사 함수]]일 때, ''n''개의 수들 ''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, …, ''x''<sub>''n''</sub>의 ''f''-평균은 다음과 같이 정의된다.
: <math>\bar{x} = f^{-1}\left( \frac{f(x_1)+ \cdots + f(x_n)}n \right)</math>
''f''가 연속이어야 한다는 조건은 <math>\frac{f(x_1)+ \cdots + f(x_n)}n</math>가 [[역함수]] ''f''<sup>-1</sup>의 정의역에 포함되기 위하여 필요하다.

''f''가 연속이면서 단사 함수이기 때문에 ''f''는 강한 [[단조 증가]] 함수이다. 따라서 ''f''-평균은 {''x''<sub>''i''</sub>}의 가장 큰 숫자보다 크지 않으며, {''x''<sub>''i''</sub>}의 가장 작은 숫자보다 작지도 않다.

== 예시 ==
* ''S''가 실수 집합이고 ''f''(''x'') = ''x''일 때, ''f''-평균은 [[산술평균]]이 된다.
* ''S''가 양의 실수 집합이고 ''f''(''x'') = log<sub>''b''</sub>''x''일 때, ''f''-평균은 [[기하평균]]이 된다. 이 결과는 밑수 ''b''가 어떤 값이든 로그 함수가 정의가 된다면 항상 참이다.
* ''S''가 양의 실수 집합이고 ''f''(''x'') = ''x''<sup>-1</sup>일 때, ''f''-평균은 [[조화평균]]이 된다.

== 같이 보기 ==
* [[평균 (통계학)|평균]]
* [[일반화된 평균]]

{{전거 통제}}

[[분류:평균]]