일반상대론의 수학적 형식화 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{일반상대론}}일반상대론의 수학적 형식화는 일반상대론의 엄밀한 수학적 모형을 구축하는 [[응용수학]] 또는 [[수리물리학|수리 물리학]]의 한 분야다. 독일 수학자 [[헤르만 민코프스키]]는 1908년에 시간과 위치가 통합되어 있고 [[유클리드 기하학]]이 아닌 새로운 기하학을 가진 4차원 기하학 공간인 [[민코프스키 공간]]을 도입하고 이 공간을 이용해 관성계의 상대론인 [[특수 상대론]]에 적합한 [[시공간]]을 수학적 형식화 하였다. 이를 민코프스키 시공간이라 한다. 이후, 비관성계를 포함하도록 발전된 일반상대론은 기본적으로 [[준 리만 다양체|준 리만 기하학]](semi-Riemannian geometry)을 기반으로 수학적 형식화 된다. 이때 시공간의 총 차원의 수 또는 시간 차원의 수를 다양하게 둘 수 있지만, 현재 관찰된 우리 우주의 시공간을 묘사하는 적절한 다양체는 부호 <math>(+++-)</math>인 계량이 주어진 3+1차원 준 리만 다양체이다. 이를 [[준 리만 다양체|로런츠  다양체]](Lorentz manifold)라고 한다. 스위스 수학자 [[마르셀 그로스만]]은 아인슈타인에게 중력에 대한 아이디어를 듣고 이는 [[준 리만 다양체|준 리만 기하학]]을 통해 잘 설명 될 수 있음을 알았다. 그리고 1913년<ref>Einstein, A.; Grossmann, M.(1913). “Entwurf einer verallgemeinerten Relativitätstheorie und einer Theorie der Gravitation” [Outline of a Generalized Theory of Relativity and of a Theory of Gravitation]. 《Zeitschrift für Mathematik und Physik》 62: 225–261.</ref>과 1914년<ref>Einstein A.; Grossmann M.(1914). "Kovarianzeigenschaften der Feldgleichungen der auf die verallgemeinerte Relativitätstheorie gegründeten Gravitationstheorie " [Covariance Properties of the Field Equations of the Theory of Gravitation Based on the Generalized Theory of Relativity]. 《Zeitschrift für Mathematik und Physik》63: 215–225.</ref>에 두 사람은 이를 알리는 공동 논문을 발표하였다. 이후 [[엘리 카르탕]], [[다비트 힐베르트]], [[로저 펜로즈]], [[싱퉁 야우]], 클라이너만(Klainerman) 등 여러 수학자들이 일반 상대론의 수학적 형식화를 연구하였다.

== 본문 ==

=== 시공간의 수학적 모형 ===

==== 기본 사항 ====
[[특수 상대성이론]]에서 다루는 [[관성 좌표계|관성계]]인 시공간은 [[민코프스키 공간]]으로 수학적 형식화 된다. 민코프스키 공간은 [[선형 공간]] <math>\mathbb R^4</math>에 특정한 [[쌍선형 형식]] <math>g= \text{diag}(-1,1,1,1)</math>가 주어진 공간 <math>(\mathbb R^4, g)</math>이다. 계량으로 표현하면 다음과 같다:

<math>ds^2=-dx_0^2+dx_1^2+dx_2^2+dx_3^2.</math>

[[민코프스키 공간]]은 [[준 리만 다양체|준 리만 기하학]]적 관점에서 [[곡률]]이 0인, 이른바 평평한 로런츠 다양체다. 중력의 요인이 존재하는 비 관성계인 시공간은 일반적인 부호 <math>(-+++)</math> 4 차원 [[연결 공간|연결]] [[준 리만 다양체|로런츠 다양체]] <math>(M, g),\; g=(g_{ij})_{i,j=0,1,2,3}</math>로 묘사되며, 일반적인 로런츠 다양체는 휘어진 민코프스키 공간 또는 국소적으로 민코프스키 공간인 다양체라고 할 수 있다. 로런츠 다양체의 접공간은 민코프스키 공간을 이룬다.

==== 시공간의 인과 구조 ====
{{본문|인과 구조}}특수 상대론에서와 같이, 일반 상대론의 시공간에도 '''인과 구조'''를 고려하여야 한다. 로런츠 다양체의 한 점 <math>x\in(M,g)</math>에서 접벡터 <math>v_x\neq0</math>에 대하여 <math>v_x</math>의 인과성은 다음과 같다:

# <math>g_x(v_x,v_x)<0</math> 이면 시간꼴(timelike)
# <math>g_x(v_x,v_x)=0</math> 이면 빛꼴(lightlike)
# <math>g_x(v_x,v_x)>0</math> 이면 장소꼴(spacelike)

단면 <math>V</math>의 인과성은 다음과 같다: <math>V</math>의 정의역의 모든 원소 <math>x</math>에 대해 <math>V(x)</math>가 시간꼴(각각 빛꼴, 장소꼴)이면 <math>V</math>를 시간꼴(각각 빛꼴, 장소꼴)이라고 한다. 연결 로런츠 다양체의 부분 집합 <math>\{(x,V(x))\in TM\,| \, V\;\text{is a timelike section}\}</math>의 [[연결 공간|연결 성분]]이 두 개일 때, <math>(M,g)</math>에 '''시간 방향을 줄 수 있다'''고 한다. 이 두 연결 성분을 각각 과거와 미래로 정하여 <math>(M,g)</math>의 시간 방향을 정한다. 어떤 곡선 <math>\gamma:I\rightarrow M</math>의 모든 접벡터가 장소꼴이 아닐 때 이 곡선을 '''인과적 곡선'''이라고 한다.

==== 시공간의 수학적 모형 ====
'''향을 줄 수 있고(orientable), 시간 방향을 줄 수 있고, [[레비치비타 접속|레비-치비타 접속]]이 주어진 부호<math>(-+++)</math> 4차원 연결 로런츠 다양체를 시공간이라고 한다.''' 두 시공간 사이에 향과 시간 방향을 보존하는 [[등거리변환|등장 사상]]이 존재하면 두 로런츠 다양체는 일반상대론적으로 동치다. [[뫼비우스의 띠]]나 [[클라인 병]] 같은 향을 줄 수 없는(non-orientable) 다양체로 묘사되는 시공간에서는 대역적인 전하의 정의가 사라진다. 시간 방향을 줄 수 없는 경우, 과거, 현재, 미래를 잘 정의 할 수 없다. [[연결 공간|연결]]이 아닌 경우 다중 우주로 해석될 여지가 있으며, 다른 연결 성분끼리 상호작용을 고려할 수 있는지 없는지 등이 모호하다. 레비-치비타 접속이 아닌 다른 접속을 주고 연구 할 수 있지만, 굉장히 다른 이론이 될 수 있다. 예를 들어, 카르탕 [[스핀 접속]]을 부여하면, 스핀을 가진 입자를 포함하여 묘사 하는 [[아인슈타인-카르탕 이론]]이 된다.

==== 대역적 쌍곡 시공간 ====
{{본문|대역적 쌍곡 다양체}}인과적 역설(逆說, parodox)를 피하기 위해, 시공간에 추가적인 조건을 부여하기도 한다. 인과적 역설을 일으키는 대표적인 원인은 [[닫힌 시간꼴 곡선|닫힌 인과적 곡선]]이다. 닫힌 인과적 곡선을 포함하는 대표적인 예에는 [[웜홀]]이나 수학자 [[쿠르트 괴델]]이 찾은 괴델 해가 있다. [[닫힌 시간꼴 곡선|닫힌 인과적 곡선]]은 일반상대론을 어기지 않는 과거로의 시간 여행으로 해석 될 수 있으며, [[할아버지 역설]]을 일으킨다.  물리학에선, 어떤 시점들의 집합을 정한 다음, 그 시점들이 운동 방정식에 의해 어떻게 움직이는지 관찰한다. 일반상대론에서는 코시 [[초평면 (수학)|초평면]](Cauchy hypersurface)이라는 시점들의 집합을 정의 한다. 주어진 시공간 <math>M</math>의 계량을  ''<math>M</math>''의 초평면 ''<math>S</math>''로 제한했을 때, ''<math>S</math>''에서 정의된 유클리드 계량과 같다면, ''<math>S</math>''를 장소꼴(spacelike) 초평면 이라고 한다.이 때, ''<math>S</math>''의 가까운 두 점은 장소꼴로 분리 되어있다(spacelike separated). 시공간 ''<math>M</math>''의 부분 집합 ''<math>S</math>''의 임의의 서로 다른 두 점에 대해, 두 점을 잇는 시간꼴 곡선이 ''<math>M</math>''에 존재하지 않는 경우, ''<math>S</math>''를 '''achronal'''이라고 한다. 이 때, ''<math>S</math>''의 임의의 두 점은 서로 일반상대론적으로 영향을 주고 받을 수 없다. 마지막으로, 인과적 경로 ''<math>\gamma</math>''를 포함하면서 ''<math>\gamma</math>''와 다른 인과적 경로가 존재하지 않는 경우, <math>\gamma</math>를 '''연장 할 수 없는 인과적 경로'''라고 한다. 이제, 코시 초평면은 다음과 같이 정의한다: 시공간 ''<math>M</math>''의 부분 집합 ''<math>S</math>''가 achronal spacelike hypersurface이면서, ''<math>\forall p\in M\setminus S</math>'' 에 대하여, <math>p</math>를 지나는 모든 인과적 경로 ''<math>\gamma</math>''에 대해 ''<math>\gamma\cap S\neq\emptyset</math>''일 때, ''<math>S</math>''를 '''코시 초평면'''라고 한다. 코시 [[초평면 (수학)|초평면]]을 가진 시공간 ''<math>M</math>''을 '''대역적 쌍곡 시공간'''이라고 한다.<ref name=":0" /> [[대역적 쌍곡 다양체|대역적 쌍곡 시공간]]에는 닫힌 인과적 곡선이 존재하지 않아서 인과적 역설을 피할 수 있다.

=== 자유 낙하하는 입자의 움직임 ===
'''시공간 <math>(M,g)</math>에서 자유 낙하하는 입자는 <math>(M,g)</math>의 인과적 측지선을 따라 움직인다.''' [[측지선]]은 매끄러운 다양체에 주어진 접속에 의해 정해진다. 즉, 측지선은 계량과 무관하게 정의되는 [[미분위상수학]]적 대상이다. 그러나, 준-리만 다양체 '''<math>(M,g)</math>'''에서는 주어진 계량 <math>g</math>와 연관된 특별한 접속인 [[레비치비타 접속|레비-치비타 접속]]이 주어져 있다. [[레비치비타 접속|레비-치비타 접속]]은 주어진 계량을 보존하고 비틀림이 없는 접속이다. 그러면, 레비-치비타 접속의 크리스토펠 기호 <math>\Gamma_{bc}^a</math>은 주어진 계량 <math>g</math>로부터 다음과 같이 계산 될 수 있다:

<math>\Gamma_{bc}^a=\frac{1}{2}\sum_d g^{ad}(\partial_cg_{bd}+\partial_bg_{dc}-\partial_dg_{bc}).</math>

[[크리스토펠 기호]] <math>\Gamma_{bc}^a</math>로 표현되는 [[레비치비타 접속]] <math>\nabla</math>에 대한 측지선 <math>\gamma</math>는 <math>\nabla_{\gamma'}\gamma'=0</math>가 성립하는 '''<math>M</math>'''위의 곡선이다. 이와 별도로, 일반상대론에서는,, 시점 <math>p</math>과 종점 <math>q</math>을 정한 뒤 그 둘을 잇는 모든 인과적 곡선들 가운데 그 곡선의 고유 시간을 극대화하는 곡선을 측지선으로 정의한다. 이런 정의가 잘 정의되는지 확실히 해야 한다. 이는 다음과 같이 이뤄진다: 두 점을 잇는 모든 인과적 곡선들의 공간 <math>D_p^q</math>를 '''일반화된 민코프스키 다이아몬드'''라고 한다. 그러면 <math>D_p^q</math>는 [[콤팩트 공간]]이며, 곡선의 고유 시간은 <math>\tau:D_p^q \rightarrow [0,\infty)</math>인 함수로 볼 수 있다. 이 함수는 upper semi-continuous이며, 이로부터, 시점과 종점을 잇는 인과적 곡선들 가운데 고유 시간을 극대화하는 곡선이 존재함을 보일 수 있다<ref name=":0">Witten, E. (2020) Light Rays, Singularities, and All That, arXiv:1901.03928v5</ref>.

== 각주 ==
<references />

== 참고 문헌 ==

* Sachs, R. K. Wu, H.-H (2012) General relativity for mathematicians, Volum 48, Springer
* Witten, E. (2020) Light Rays, Singularities, and All That, [[arxiv:1901.03928|arXiv:1901.03928v5]]
* [https://blog.naver.com/kim100375/222430916185 시공간의 수학적 형식화와 중력장 방정식] 네이버 블로그

== 같이 보기 ==
[[일반 상대성이론|일반상대성이론]]

[[준 리만 다양체]]

[[아인슈타인-카르탕 이론]]
[[분류:수리물리학]]
[[분류:리만 기하학]]
[[분류:일반 상대성이론]]