인자 대수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[함수해석학]]에서 '''인자 대수'''(因子代數, {{llang|en|factor algebra}})는 ‘분해’되지 못하는 [[폰 노이만 대수]]이다. 모든 [[폰 노이만 대수]]는 이를 구성하는 인자 대수들로 유일하게 표현된다. [[양자역학]]에서, 인자 대수는 물리계를 구성되는 국소화된 ‘요소’로 해석된다.

== 정의 ==
[[폰 노이만 대수]] <Math>A</math>에 대하여 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 폰 노이만 대수를 '''인자 대수'''라고 한다.
* <math>\operatorname Z(A)=\mathbb C1_A</math>. 즉, <math>A</math>의 [[모노이드의 중심|중심]]은 모두 1의 스칼라배이다.
* 어떤 [[복소수 힐베르트 공간]] 표현 <math>A\hookrightarrow\operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)</math>에 대하여, <math>A\cap\operatorname C_{\operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)}(A)=\mathbb C</math>이다.
* 어떤 [[복소수 힐베르트 공간]] 표현 <math>A\hookrightarrow\operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)</math>에 대하여, <math>\operatorname C_{\operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)}(\operatorname C_{\operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)}(A\operatorname C_{\operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)}(A)))=\operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)</math>이다.
여기서
* <math>\mathcal H</math>는 어떤 [[복소수 힐베르트 공간]]이다.
* <math>\operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)</math>는 <math>\mathcal H\to\mathcal H</math> [[유계 작용소]]의 [[폰 노이만 대수]]이다.
* <math>\operatorname C_{\operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)}(-)</math>는 <math>\operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)</math> 속에서 취한 [[중심화 부분환]]이다.

위 세 조건 가운데, 마지막 조건은 <math>\mathcal H</math> 위의 모든 [[유계 작용소]]를 <math>A</math>의 원소 및 <math>A</math>와 가환하는 원소들의 곱들의 열의 ([[약한 작용소 위상]] 또는 [[강한 작용소 위상]]에서의) [[극한]]으로 나타낼 수 있다는 뜻이다. 다시 말해, <math>\mathcal H</math>를 상태 공간으로 하는 [[양자 역학]] 계는 <math>A</math>에 속하는 관찰 가능량들과 <Math>A</math>와 ‘분리된’ (즉, 가환하는) 관찰 가능량들로 구성되며, <math>A</math>는 <math>\operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)</math>를 구성하는 ‘인자’로 여길 수 있다.

=== 특별한 원소 ===
[[C* 대수]] <math>A</math>의 원소 <math>a\in A</math> 가운데, <math>a=a^2=a^*</math>인 것을 '''사영원'''(射影元, {{llang|en|projection}})이라고 하고, 사영원들의 집합을 <Math>\operatorname{Proj}(A)</math>로 표기하자.

[[복소수 힐베르트 공간]] <math>\mathcal H</math> 위에 표현된 폰 노이만 대수 <math>\mathcal A\subseteq\operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)</math>의 사영원 <math>A\in\mathcal A</math>의 [[상 (수학)|상]] <math>A\mathcal H\subseteq\mathcal H</math>으로 나타내어지는 부분 공간을 '''<math>\mathcal A</math>에 속하는 부분 공간'''이라고 하자. 그렇다면, 이는 <math>\mathcal A</math>의 사영원들의 집합과 <math>\mathcal A</math>에 속하는 부분 공간들의 집합 사이에 [[일대일 대응]]을 정의한다.

[[폰 노이만 대수]] <math>\mathcal A</math>의 두 사영원 <Math>A,B\in\mathcal A</math>에 대하여, 만약 <math>A=CC^*</math>이자 <math>B=C^*C</math>인 <Math>C\in\mathcal A</math>가 존재한다면, <math>A</math>와 <math>B</math>가 서로 '''머리-폰 노이만 동치'''({{llang|en|Murray–von Neumann equivalent}})라고 하고, <math>A\sim B</math>로 표기하자. 이는 <math>\mathcal A</math>의 사영원들의 집합 위의 [[동치 관계]]를 이룬다.

<math>\mathcal A</math>의 사영원들의 집합 위에 다음과 같은 [[원순서]]를 정의할 수 있다.
:<math>A\lesssim B\iff\exists C\in\operatorname{Proj}(\mathcal A)\colon A\sim C,\;C\mathcal H\subseteq B\mathcal H</math>
폰 노이만 인자의 경우, 이는 사실 사영원들의 머리-폰 노이만 동치류들의 집합 위의 [[전순서]]를 이룬다.

<math>\mathcal A</math>의 사영원 <math>A\in\operatorname{Proj}(\mathcal A)</math> 가운데 다음 조건을 만족시키는 것을 '''유한 사영원'''({{llang|en|finite projection}})이라고 한다.
:<math>\forall B\in\operatorname{Proj}(\mathcal A)\colon B\mathcal H\subsetneq A\mathcal H\implies B\not\sim A</math>

== 분류 ==
인자들은 통상적으로 '''Ⅰ종''' · '''Ⅱ<sub>1</sub>종''' · '''Ⅱ<sub>∞</sub>종''' · '''Ⅲ종'''으로 분류된다. 이들의 정의는 각각 다음과 같다.
*Ⅰ종 인자 <math>A</math>의 경우, <math>\operatorname{Proj}(A)\setminus\{0\}</math>은 [[최소 원소]]를 갖는다. 즉, 가장 작은, 0이 아닌 사영원 동치류가 존재한다.
* Ⅱ종 인자는 Ⅰ종 인자가 아니며, 0이 아닌 유한 사영원을 갖는다.
** Ⅱ<sub>1</sub>종 인자에서, 항등원은 유한 사영원이다.
** Ⅱ<sub>∞</sub>종 인자에서, 항등원은 유한 사영원이 아니다.
* Ⅲ종 인자는 Ⅰ종 인자나 Ⅱ종 인자가 아니다.
이들에 대해서는 각각 다음과 같은 구조 정리가 알려져 있다.
* Ⅱ<sub>1</sub>종 인자는 일반적으로 복잡하다.
* Ⅱ<sub>∞</sub>종 인자는 항상 Ⅰ종 인자와 Ⅱ<sub>1</sub>종 인자로부터 구성될 수 있다.
* Ⅲ종 인자는 항상 Ⅱ<sub>1</sub>종 인자로부터 구성될 수 있다.
즉, 폰 노이만 대수의 분류는 사실상 Ⅱ<sub>1</sub>종 인자의 분류로 귀결된다.

=== Ⅰ종 인자 대수 ===
Ⅰ종 인자 대수는 어떤 [[복소수 힐베르트 공간]] <math>\mathcal H</math>에 대하여 <math>\operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)</math>와 [[C* 대수]]로서 동형이다.

구체적으로, [[복소수 힐베르트 공간]] <math>\mathcal H</math>의 임의의 [[단위 벡터]] <math>|v\rangle\in\mathcal H</math>에 대하여, <math>|v\rangle\langle v|</math>는 0이 아닌 유한 사영원이다.

[[복소수 힐베르트 공간]]은 그 [[힐베르트 차원]]에 의하여 완전히 분류된다. 차원이 [[기수 (수학)|기수]] <math>\kappa</math>일 때, 이에 대응하는 Ⅰ종 인자 대수를 <math>\operatorname I_\kappa</math>형이라고 한다. ([[분해 가능 공간|분해 가능]] [[복소수 힐베르트 공간]]의 경우 차원이 가산 기수이다. 이 경우 <math>\aleph_0</math>차원 경우는 보통 <math>\operatorname I_\infty</math>으로 표기된다.)

=== Ⅱ<sub>∞</sub>종 인자 대수===
Ⅱ<sub>∞</sub>종 인자 대수는 항상 Ⅱ<sub>1</sub>종 인자 대수와 무한 차원 Ⅰ종 인자 대수의 텐서곱으로 표현될 수 있다.

=== Ⅲ종 인자 대수 ===
Ⅲ종 인자의 분류 이론은 '''[[도미타-다케사키 이론]]'''이라고 한다.

구체적으로, 도미타-다케사키 이론에서는 각 [[폰 노이만 대수]] <math>A</math>에 대하여 어떤 음이 아닌 실수 집합 <math>\operatorname S(A)\subseteq[0,\infty)</math>를 대응시키며, 이를 <math>A</math>의 '''콘 스펙트럼'''({{llang|en|Connes spectrum}})이라고 한다. 만약 <math>A</math>가 Ⅲ종 인자 대수일 경우, 가능한 콘 스펙트럼들은 다음과 같다.
* <math>\operatorname S(A)\setminus\{0\}=\{1\}</math>. 이는 Ⅲ<sub>0</sub>종 인자 대수라고 한다.
* <math>\operatorname S(A)\setminus\{0\}=\{\dotsc,\lambda^{-2},\lambda^{-1},1,\lambda,\lambda^2,\lambda^3,\dotsc\}\quad(0<\lambda<1)</math>. 이는 Ⅲ<sub>''&lambda;''</sub>종 인자 대수라고 한다.
* <math>\operatorname S(A)\setminus\{0\}=\mathbb R^+</math>. 이는 Ⅲ<sub>1</sub>종 인자 대수라고 한다.
(<math>\operatorname S(A)\setminus\{0\}</math>은 항상 <Math>\mathbb R^+</math>의 [[닫힌집합|닫힌]] [[부분군]]이므로 다른 가능성은 존재하지 않는다.)

== 역사 ==
인자 대수의 개념 및 Ⅰ종· Ⅱ종·Ⅲ종 인자 대수로의 분류는 [[존 폰 노이만]]과 프랜시스 조지프 머리({{llang|en|Francis Joseph Murray}}, 1911~1996)가 [[양자역학]]을 분석하기 위하여 도입하였다.<ref>{{저널 인용|first=Francis Joseph|last= Murray|first2=John |last2=von Neumann |저자링크2=존 폰 노이만|title=On rings of operators|url=https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_1936-01_37_1/page/n114| journal= Annals of Mathematics |volume= 37  |날짜=1936|pages=116–229| doi=10.2307/1968693 |jstor=1968693|issue=1|언어=en}}</ref>

도미타-다케사키 이론을 통한 Ⅲ종 인자 대수의 분류는 [[알랭 콘]]이 1976년에 완료하였다.<ref>{{저널 인용|doi=10.2307/1971057|first=A.|last= Connes |저자링크=알랭 콘|title=Classification of Injective Factors|url=https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_1976-07_104_1/page/n76|journal=Annals of Mathematics |series=Second Series |volume= 104|issue= 1 |year=1976|pages= 73–115|jstor=1971057|언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|제목=The role of Type I factors in quantum field theory|이름=Jakob|성=Yngvason|날짜=2004|arxiv=math-ph/0411058|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Factor algebra}}
* {{nlab|id=von Neumann algebra factor|title=Von Neumann algebra factor}}

[[분류:함수해석학]]
[[분류:대수]]