인자 (대수기하학) 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[대수기하학]]에서 '''인자'''(因子, {{llang|en|divisor}}) 또는 '''베유 인자'''(Weil因子, {{llang|en|Weil divisor}})는 [[여차원]]이 1인 부분 대수다양체들의 정수 계수 형식적 [[선형 결합]]이다. 특별한 경우, 이를 함수의 영점 또는 특이점으로 여겨 이에 [[카르티에 인자]] 및 [[가역층]]을 대응시킬 수 있다.

== 정의 ==
[[국소 뇌터 스킴|국소 뇌터]] [[정역 스킴]] <math>X</math>의 '''소인자'''(素因子, {{llang|en|prime divisor}}) <math>Z\subset X</math>는 다음 조건을 만족시키는 <math>X</math>의 [[닫힌 부분 스킴]]이다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|130}}
* [[정역 스킴]]이다.
* [[여차원]]이 1이다. 즉, <math>Z</math>의 [[일반점]]이 <math>z\in Z</math>라고 하면, [[줄기 (수학)|줄기]] <math>\mathcal O_{X,z}</math>의 [[크룰 차원]]이 1차원이다.
이는 [[가환환]]의 [[아이디얼의 높이|높이]]가 1인 [[소 아이디얼]]의 개념의 일반화이다.

<math>X</math>의 소인자들의 집합을 <math>\operatorname{PrimeDiv}(X)</math>라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 [[아벨 군]]의 [[직접곱]]을 생각하자.
:<math>\mathbb Z^{\times \operatorname{PrimeDiv}(X)}</math>
(이는 [[자유 아벨 군]]보다 더 큰 군이다.) 그 원소 <math>\textstyle\sum_{Z\in\operatorname{PrimeDiv}(X)}n_ZZ</math> 가운데 다음 조건을 만족시키는 것을 '''베유 인자'''라고 한다.
* (국소 유한성) 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, [[집합]] <math>\{Z\in\operatorname{PrimeDiv}(X)\colon n_Z\ne0,\;U\cap Z\ne\varnothing\}</math>이 [[유한 집합]]이 되는 [[근방]] <math>U\ni x</math>가 존재한다.
베유 인자들은 <math>\mathbb Z^{\times \operatorname{PrimeDiv}(X)}</math>의 [[부분군]]을 이루며, 이를 <math>X</math>의 '''베유 인자군'''(Weil因子群, {{llang|en|Weil divisor group}}) <math>\operatorname{Div}(X)</math>라고 한다.

물론, 만약 <math>X</math>가 유한한 [[열린 덮개]]를 갖는다면, 베유 인자군은 이는 <math>X</math>의 소인자들로 생성되는 [[자유 아벨 군]]과 같다. 특히, 만약 <math>X</math>가 [[뇌터 스킴]]일 경우 이 조건이 성립한다.<ref name="Hartshorne">{{서적 인용 | 이름=Robin|성=Hartshorne| year = 1977|제목=Algebraic geometry|저자링크=로빈 하츠혼|출판사=Springer-Verlag | isbn =  978-0-387-90244-9|mr=0463157 | zbl = 0367.14001 |doi=10.1007/978-1-4757-3849-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=52|issn=0072-5285|언어=en}}</ref>{{rp|130–136}}

=== 효과적 인자 ===
[[국소 뇌터 스킴|국소 뇌터]] [[정역 스킴]] <math>X</math>의 '''효과적 베유 인자'''(效果的Weil因子, {{llang|en|effective Weil divisor}})는 모든 계수가 음이 아닌 정수인 베유 인자이다. 이는 덧셈에 대하여 [[모노이드]]를 이룬다.

=== 정규 스킴의 베유 인자 유군 ===
[[뇌터 스킴|뇌터]] [[정역 스킴]] <math>(X,\mathcal O_X)</math>가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.
* (여차원 1에서의 정칙성) 임의의 소인자 <math>Z\subseteq X</math>의 일반점 <math>x</math>에 대하여, 구조층의 [[줄기 (수학)|줄기]] <math>\mathcal O_{X,x}</math>는 [[정칙 국소환]]이다. (<math>\mathcal O_{X,x}</math>의 [[크룰 차원]]이 1이며, 1차원 정칙 국소환일 조건은 [[이산 값매김환]]일 조건과 [[동치]]이므로 대신 [[이산 값매김환]]을 사용해도 관계없다.)
이는 [[정칙 스킴]]의 조건을 [[여차원]] 1에 대하여 제한시킨 것이다. 즉, 만약 <math>X</math>가 정역 [[정칙 스킴]]이라면 위 조건이 성립한다.

<math>X</math>의 [[유리 함수층|유리 함수체]]
:<math>\Gamma(X,\mathcal K_X)=\operatorname{Frac}\Gamma(X,\mathcal O_X)</math>
를 생각하자. 임의의 유리 함수 <math>f\in\Gamma(X,\mathcal K_X)</math>에 대응하는 '''베유 주인자'''(Weil主因子, {{llang|en|Weil principal divisor}})는 다음과 같은 베유 인자이다.
:<math>(f)=\sum_{Y\in\operatorname{PrimeDiv}X}\operatorname{val}_Y(f)Y\in\operatorname{Div}(X)</math>
여기서 기호는 다음과 같다.
* <math>\textstyle\sum_{Y\in\operatorname{PrimeDiv}X}</math>는 <math>X</math>의 모든 소인자들에 대한 합이다. (오직 유한 개의 항만이 0이 아님을 보일 수 있다.)
* 소인자 <math>Y</math>의 [[일반점]] <math>y\in X</math>에서의 줄기 <math>\mathcal O_{X,y}</math>는 [[이산 값매김환]]을 이루며, <math>\operatorname{val}_Y\colon \operatorname\Gamma(X,\mathcal K_X) \to\mathbb Z</math>는 <math>\mathcal O_{X,y}</math>의 이산 값매김이다.

그렇다면, 유리 함수를 그 주인자에 대응시키는 함수
:<math>\Gamma(X,\mathcal K_X)\to\operatorname{Div}(X)</math>
는 두 [[아벨 군]] 사이의 [[군 준동형]]을 이룬다. 그 [[여핵]]을 '''베유 인자 유군'''(Weil因子類群, {{llang|en|divisor class group}})이라고 한다. 즉, 다음과 같은 아벨 군의 [[완전열]]이 존재한다.
:<math>\Gamma(X;\mathcal K_X^\times) \to \operatorname{Div}(X) \to \operatorname{DivCl}(X) \to 0</math>

=== 일반적 스킴의 베유 인자 유군 ===
[[국소 뇌터 스킴|국소 뇌터]] [[정역 스킴]] <math>(X,\mathcal O_X)</math>가 주어졌다고 하자. 임의의 [[유리 함수층|유리 함수]]
:<math>f\in\Gamma(X;\mathcal K_X^\times)</math>
및 점 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>f</math>의 <math>x</math>에서의 차수({{llang|en|order}}) <math>\operatorname{ord}_x\colon \Gamma(X;\mathcal K_X^\times)\to\mathbb Z</math>는 다음과 같은 [[군 준동형]]이다.
:<math>\operatorname{ord}_x\colon K^\times\to\mathbb Z</math>
:<math>\operatorname{ord}_x(a/b)=\operatorname{length}_{\mathcal O_{X,x}}(\Gamma(X;\mathcal O_X)/(a))-\operatorname{length}_{\mathcal O_{X,x}}(\Gamma(X;\mathcal O_X)/(a))\qquad\forall a,b\in\Gamma(X;\mathcal O_X)\setminus\{0\}</math>
여기거 <math>\operatorname{length}</math>는 [[가군의 길이]]를 뜻한다.
[[유리 함수층|유리 함수]] <math>f\in\Gamma(X;\mathcal K_X^\times)</math>에 대응하는 '''주인자'''는 다음과 같다.
:<math>(f)=\sum_Z\operatorname{ord}_z(f)</math>
여기서 <math>z</math>는 <math>Z</math>의 [[일반점]]이다. 이는 [[군 준동형]]
:<math>\Gamma(X;\mathcal K_X^\times)\to\operatorname{Div}(X)</math>
을 정의하며, 그 [[여핵]]을 '''베유 인자 유군''' <math>\operatorname{DivCl}(X)</math>이라고 한다. 즉, 다음과 같은 아벨 군의 [[완전열]]이 존재한다.
:<math>\Gamma(X;\mathcal K_X^\times) \to \operatorname{Div}(X) \to \operatorname{DivCl}(X) \to 0</math>

== 성질 ==
=== 카르티에 인자와의 관계 ===
임의의 [[뇌터 스킴|뇌터]] [[분리 스킴|분리]] [[정규 스킴]] <math>X</math>에 대하여, [[카르티에 인자군]]에서 베유 인자군으로 가는 표준적인 [[단사 함수|단사]] [[군 준동형]]이 존재한다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|142, Remark II.6.11.2}}
:<math>\operatorname{CaDiv}(X)\to\operatorname{Div}(X)</math>
이에 따라, [[카르티에 인자군]]은 베유 인자군의 [[부분군]]이며, 이 부분군은 구체적으로 다음 조건을 만족시키는 베유 인자 <math>D</math>로 구성된다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|142, Remark II.6.11.2}}
* <math>X</math>의 충분히 섬세한 [[열린 덮개]] <math>\{U_i\}_{i\in I}</math>에 대하여, <math>D|_{U_i}</math>는 <math>U_i</math>의 베유 주인자이다.
즉, [[카르티에 인자]]는 국소적으로 베유 주인자가 되는 베유 인자이다. 이 준동형이 동형을 이룰 [[필요 충분 조건]]은 <math>X</math>의 구조층의 모든 [[줄기 (수학)|줄기]]가 [[유일 인수 분해 정역]]인 것이다. 특히, [[비특이 대수다양체]]의 경우에는 [[카르티에 인자군]]과 베유 인자군이 서로 동형이다.

구체적으로, 주어진 [[카르티에 인자]]에 대응하는 베유 인자는 다음과 같다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|141, Proposition 6.11}}
<math>X</math>가 [[정역 스킴]]이므로, 그 [[유리 함수층]]은 어떤 체 <math>K</math>에 대한 [[상수층]]이다.
:<math>\mathcal K_X\cong\underline K</math>
:<math>\mathcal K_X^\times\cong\underline{K^\times}</math>
<math>X</math> 위의 모든 베유 소인자 <math>Y\subset X</math>에 대하여, 그 [[일반점]]에서의 [[줄기 (수학)|줄기]] <math>\mathcal O_{Y,X}</math>는 [[이산 값매김환]]이며, 그 값매김을
:<math>\operatorname{val}_Y\colon\mathcal K^\times_{Y,X}/\mathcal O^\times_{Y,X}\to\mathbb Z</math>
라고 하자. 또한, <math>\mathcal K_X^\times</math>의 모든 단면군이 <math>K^\times</math>가 될 정도로 섬세한 <math>X</math>의 [[열린 덮개]] <math>\{U_i\}_{i\in I}</math>를 고르자.
:<math>X=\bigcup_{i\in I}U_i</math>
:<math>\Gamma(U_i,\mathcal K_X^\times)\cong K^\times</math>

<math>X</math>위의 [[카르티에 인자]] <math>f\in\Gamma(X,\mathcal K_X^\times/\mathcal O_X^\times)</math>
가 주어졌다고 하자.  그렇다면, 임의의 <math>i,j\in I</math>에 대하여, 만약 <math>Y\cap U_i\cap U_j\ne\varnothing</math>이라면 <math>\operatorname{val}_Y(f|_{U_i})=\operatorname{val}_Y(f|_{U_j})</math>이다. 그렇다면 다음과 같은 베유 인자를 정의할 수 있다.
:<math>D_f=\sum_{Y\subset X}\operatorname{val}_Y(f|_{U_i})Y</math>
<math>X</math>가 [[뇌터 스킴]]이므로, 이 합은 유한하다.

=== 함자성 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* 두 [[국소 뇌터 스킴|국소 뇌터]] [[정역 스킴]] <math>X</math>, <math>Y</math>. 또한, <math>X</math>가 자리스키 위상에서 [[콤팩트 공간]]이라고 하자.
* [[스킴 사상]] <math>f\colon X\to Y</math>
* <math>X</math>의 베유 소인자 <math>Z</math>
그렇다면, 닫힌 기약 부분 스킴 <math>\overline{f(Z)} \hookrightarrow Y</math>을 정의할 수 있다. 이는 일반적으로 베유 소인자가 아닐 수 있으며, 아닐 경우 이를 0으로 놓자.
:<math>f_* \colon Z \mapsto \begin{cases}
\overline{f(Z)} & \overline{f(Z)} \in \operatorname{PrimeDiv}Y \\
0 & \overline{f(Z)} \not\in \operatorname{PrimeDiv}Y
\end{cases}</math>
이는 베유 인자군 사이의 [[군 준동형]]
:<math>f_* \colon \operatorname{Div}X \to \operatorname{Div}Y</math>
을 정의한다. 이를 베유 인자의 '''밂'''({{llang|en|pushforward}})이라고 한다. (콤팩트성을 가정하지 않으면 밂의 상이 국소 유한성을 충족하지 못할 수 있다.)

== 예 ==
=== 카르티에 인자가 아닌 베유 인자 ===
두 인자가 일치하지 않는 대표적인 경우는 하나의 [[특이점 (대수기하학)|특이점]]이 존재하는 [[이차 곡면]] 뿔 <math>\operatorname{Spec}\mathbb C[x,y,z]/(xy-z^2)</math>이다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|142, Example 6.11.3}} 이 경우, <math>x</math>축
:<math>\operatorname{Spec}\mathbb C[x,y,z]/((y)\cap(z))\subset \operatorname{Spec}\mathbb C[x,y,z]/(xy-z^2)</math>
은 이차 뿔의 1차원 부분 다양체이므로, 베유 인자를 이룬다. 그러나 이는 국소 주인자가 아니므로, [[카르티에 인자]]가 아니다.

=== 리만 곡면에서의 인자 ===
[[리만 곡면]](1차원 복소수 [[비특이 대수다양체]])의 경우에는 베유 인자와 [[카르티에 인자]]가 서로 일치하며, 곡면의 모든 점들로 생성되는 자유 [[아벨 군]]이다. 예를 들어, [[리만 곡면]] <math>\Sigma</math>에서 <math>z_0\in \Sigma</math>이라고 하자. 그렇다면 <math>nz_0</math> (<math>n\in\mathbb Z</math>)는 (베유) 인자로 여길 수 있다. 카르티에 인자로는, 이를 (국소 복소좌표계에서 정의된) 함수 <math>z\mapsto(z-z_0)^n</math>으로 정의한다.

보다 일반적으로, <math>M</math> 위에 정의된 [[유리형 함수]] <math>f\colon M\to\hat{\mathbb C}</math>가 주어지면, 이에 대응하는 주인자 <math>(f) \in \operatorname{PDiv}(\Sigma)</math>를 정의할 수 있다. 이는 <math>f</math>의 [[극점 (복소해석학)|극점]]들과 영점들의 [[선형 결합]]이며, 선형 결합에서 <math>n</math>차 영점(<math>(z-z_0)^n</math>의 꼴의 영점)의 계수는 <math>n</math>으로, <math>n</math>차 극점(<math>(z-z_0)^{-n}</math>의 꼴의 극점)의 계수는 <math>-n</math>으로 한다.

이 경우, 리만 곡면 <math>\Sigma</math>의 인자
:<math>D = \sum_{x\in\Sigma} n_xx \qquad(|\{x\in \Sigma\colon n_x\ne0\}| < \infty)</math>
에 대응하는 [[가역층]]([[정칙 벡터 다발|정칙]] [[선다발]]) <math>\mathcal O(D)</math>의, ([[매끄러운 다양체]] 위상에서) [[열린집합]] <math>U</math>에서의 단면의 공간은 [[유리형 함수]] <math>f \colon U \to \hat{\mathbb C}</math> 가운데, <math>|f| + D</math>가 효과적 인자인 것들로 구성된다. 다시 말해, 그 단면은 유리형 함수 가운데 <math>x\in U</math>에서, <math>n_x</math>차의 영점을 갖는 것이다. (음의 차수의 영점은 극점으로 간주한다.)

반대로, [[가역층]] <math>\mathcal L</math>이 주어졌으며, 이 가역층이 유한 개의 영점만을 갖는 대역적 단면
:<math>s\in\Gamma(\Sigma\mathcal L)</math>
:<math>|\{z\in\Sigma\colon s|_z = 0\}| < \infty</math>
을 갖는다면, 이에 대응되는 인자는
:<math>D = \sum_{z\in\Sigma} \deg_zs</math>
가 된다. (<math>\deg_zs</math>는 <math>s</math>의 <math>z</math>에서의 영점의 차수이다.) 서로 다른 대역적 단면을 사용하였을 경우, 이는 일반적으로 서로 다른 인자를 정의하지만, 그 인자의 차는 항상 주인자이며, 이는 항상 같은 인자류를 정의한다.

[[리만 곡면]] 위의 모든 가역층은 유한 개의 영점을 갖는 대역적 단면을 갖은 가역층들과 이러한 가역층의 역원들의 텐서곱으로 표현될 수 있다. (다시 말해, 유효 인자의 [[가환 모노이드]]는 인자 유군 전체를 생성한다.) 또는, 이러한 대역적 단면을 갖지 않은 가역층의 경우, ‘유리형’ 단면의 개념을 도입하여, 유한 개의 극점과 영점을 갖는 유리형 단면으로써 그 인자를 정의할 수 있다.

=== 크룰 정역에서의 인자 ===
[[뇌터 환|뇌터]] [[크룰 정역]] <math>D</math>의 [[환의 스펙트럼|스펙트럼]] <math>X=\operatorname{Spec}D</math>를 생각하자. 이 경우, 다음과 같은 대응이 존재한다.
{| class=wikitable
! 대수기하학 || 수론
|-
| 베유 소인자 || [[아이디얼의 높이|높이]] 1의 [[소 아이디얼]]
|-
| 베유 인자의 [[아벨 군]] || [[인자 아이디얼]]의 [[아벨 군]] <math>\operatorname{DivIdeal}(D)</math> (=높이 1의 [[소 아이디얼]]로 생성되는 아벨 군)
|-
| 베유 주인자 || (가역) [[주 분수 아이디얼]]의 [[아벨 군]] <math>\operatorname{PrFracIdeal}(D)^\times</math>
|-
| 베유 인자 유군 || <math>\operatorname{DivIdeal}(D)/\operatorname{PrFracIdeal}(D)^\times</math>
|-
| [[카르티에 인자]] 유군 = [[피카르 군]] || [[아이디얼 유군]] <math>\operatorname{FracIdeal}(D)^\times/\operatorname{PrFracIdeal}(D)^\times</math>
|}

=== 데데킨트 정역에서의 인자 ===
[[데데킨트 정역]]은 [[크룰 차원]]이 1 이하인 [[크룰 정역]]이다. 이 경우 모든 [[소 아이디얼]]의 [[아이디얼의 높이|높이]]는 1 이하이므로, [[인자 아이디얼]]과 가역 [[분수 아이디얼]]의 개념이 일치한다. 따라서, 이 경우 베유 인자 유군(=인자 아이디얼/가역 주 분수 아이디얼)과 [[피카르 군]](=가역 분수 아이디얼/가역 주 분수 아이디얼)이 같다.

즉, [[데데킨트 정역]] <math>D</math>의 [[환의 스펙트럼|스펙트럼]] <math>X=\operatorname{Spec}D</math>를 생각하자. 이 경우, 다음과 같은 대응이 존재한다.
{| class=wikitable
! 대수기하학 || 수론
|-
| 유리 함수체 <math>K(X)</math> || [[분수체]] <math>\operatorname{Frac}D</math>
|-
| 소인자 || [[소 아이디얼]]
|-
| 인자 || 가역 [[분수 아이디얼]]
|-
| 주인자 || (가역) [[주 분수 아이디얼]]
|-
| 인자 유군 = [[피카르 군]] || [[아이디얼 유군]]
|-
| 인자 유군이 자명함 || [[주 아이디얼 정역]]임
|}

구체적으로, 베유 소인자들은 <math>D</math>의 [[소 아이디얼]]들에 대응한다.
:<math>\operatorname{Spec}D/\mathfrak p\hookrightarrow\operatorname{Spec}D</math>
[[데데킨트 정역]]에서는 아이디얼의 [[소인수 분해]]가 존재하므로, <math>D</math>의 [[아이디얼]]
:<math>\mathfrak a=\prod_i\mathfrak p_i^{n_i}\qquad(n_i\ge0)</math>
는 베유 효과적 인자
:<math>\sum_in_i\operatorname{Spec}(D/\mathfrak p_i)</math>
와 대응한다. 이 경우, <math>D</math>의 임의의 베유 인자는 <math>D</math>의 [[인자 아이디얼]]
:<math>\mathfrak a=\prod_i\mathfrak p_i^{n_i}\qquad(n_i\in\mathbb Z)</math>
에 대응한다.

<math>D</math>의 [[분수체]]의 원소 <math>a\in\operatorname{Frac}D</math>로 생성되는 주 분수 아이디얼 <math>Da</math>은 <math>\operatorname{Spec}D</math>의 베유 주인자에 대응한다. 따라서, <math>D</math>의 베유 인자 유군은 <math>D</math>의 [[아이디얼 유군]]과 같다.

예를 들어, [[정수환]]의 [[환의 스펙트럼|스펙트럼]] <math>\operatorname{Spec}\mathbb Z</math>에서, 베유 인자들은 양의 [[유리수]]와 [[일대일 대응]]하며, 이 경우 유리수
:<math>\prod_ip_i^{n_i}\qquad(n_i\in\mathbb Z)</math>
는 베유 인자
:<math>\sum_in_i\operatorname{Spec}\mathbb F_{p_i}</math>
에 대응한다. 모든 인자 아이디얼을 어떤 유리수에 대응하는 주 분수 아이디얼로 나타낼 수 있으므로, 정수환의 베유 인자 유군은 자명하다. 즉, 정수환은 [[주 아이디얼 정역]]이다.
{| class=wikitable
|-
! 일반적 개념 || <math>\operatorname{Spec}\mathbb Z</math>의 경우
|-
| 베유 인자 || 양의 유리수
|-
| 소인자 || [[소수 (수론)|소수]]
|-
| 유효 베유 인자 || 양의 정수
|-
| 베유 인자의 합 || 유리수의 곱셈
|-
| 주인자 || 양의 유리수
|-
| 베유 인자 유군 || [[자명군]]
|}

== 역사 ==
이름에서도 알 수 있듯, 인자의 개념은 [[수론]]에서 유래하였다. 인자의 개념의 역사는 [[레오폴트 크로네커]]의 '''인자 이론'''({{llang|de|Divisorentheorie}})에서부터 시작되었다. 이는 오늘날 환론에서 쓰이는 [[리하르트 데데킨트]]의 [[아이디얼]] 이론을 일반화하는 이론이었다. [[에른스트 쿠머]]는 크로네커의 이론을 추상화하여 [[데데킨트 정역]]의 [[인자 아이디얼]]의 개념을 도입하였다.

[[앙드레 베유]]는 데데킨트 정역의 인자 아이디얼의 개념을 [[대수다양체]]에 일반화하여, 베유 인자를 도입하였다.<ref>{{서적 인용|이름=A.|성=Weil|저자링크=앙드레 베유|제목=Introduction à l'étude des variétés kahlériennes|출판사=Hermann & Cie|위치=[[파리 (프랑스)|파리]]|날짜=1958|zbl=0137.41103|총서=Actualités Scientifiques et Industrielles|권=1267|언어=fr}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Divisor (algebraic geometry)}}
* {{nlab|id=divisor (algebraic geometry)|title=Divisor (algebraic geometry)}}
* {{nlab|id=Weil divisor}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/74427/does-the-name-divisor-in-algebraic-geometry-relate-to-divisor-in-the-basic-arith|제목=Does the name divisor in algebraic geometry relate to divisor in the basic arithmetic or ring theory sense?|출판사=Math Overflow|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://rigtriv.wordpress.com/2008/04/16/weil-divisors-cartier-divisors-and-more-line-bundles/|제목=Weil divisors, Cartier divisors and more line bundles|웹사이트=Rigorous Trivialities|날짜=2008-04-16|이름=Charles|성=Siegel|언어=en}}

[[분류:대수기하학]]