인과 구조 문서 원본 보기

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[[일반 상대성이론]]에서 '''인과 구조'''(因果構造, {{llang|en|causal structure}})는 [[시공간]]의 점들 사이에, [[상대성이론]]에 따라 어떤 점이 다른 어떤 점에 물리적으로 영향을 줄 수 있는지에 대한 관계를 나타낸다.

== 정의 ==
[[로런츠 다양체]] <math>(M,g)</math>가 주어졌다고 하고, [[계량 부호수]]를 −+++로 잡자.

=== 벡터의 분류 ===
어떤 점 <math>x\in M</math>에서의 벡터 <math>v\in T_xM</math>는 다음과 같이 분류된다.
* 만약 <math>g(v,v)<0</math>이라면 <math>v</math>를 '''시간꼴'''({{llang|en|timelike}})이라고 한다.
* 만약 <math>g(v,v)=0</math>이라면 <math>v</math>를 '''영벡터'''({{llang|en|null vector}})라고 한다.
* 만약 <math>g(v,v)>0</math>이라면 <math>v</math>를 '''공간꼴'''({{llang|en|spacelike}})이라고 한다.
시간꼴/영/공간꼴 벡터장은 모든 점에서 시간꼴/영벡터/공간꼴인 [[벡터장]]이다. '''인과 벡터장'''({{llang|en|causal vector field}})은 모든 점에서 시간꼴이거나 영벡터인 벡터장이다.

만약 어떤 곡선 <math>\gamma(t)</math>의 접벡터 <math>d\gamma/dt</math>가 항상 시간꼴이라면, 이를 '''시간꼴 곡선'''이라고 한다. 마찬가지로 '''영벡터 곡선'''이나 '''공간꼴 곡선'''도 정의할 수 있다. '''인과적 곡선'''({{llang|en|causal curve}})은 모든 점에서 접벡터가 영벡터이거나 시간꼴인 곡선이다.

=== 시간 방향 ===
점 <math>x\in M</math>에서, 시간꼴 벡터 <math>v\in T_xM</math>들의 집합에 다음과 같은 [[동치 관계]]를 주자.
:<math>u\sim v\Leftrightarrow g(u,v)<0</math>
이에 따라, <math>x</math>에서의 모든 시간꼴 벡터들은 두 [[동치류]]로 분류할 수 있다. <math>x</math>에서의 '''시간 방향'''은 이 둘 가운데 하나를 선택한 것이며, 선택된 방향을 '''미래 방향''', 선택되지 않은 방향을 '''과거 방향'''이라고 한다.

만약 로런츠 다양체 <math>M</math> 전체에 시간 방향을 연속적으로 줄 수 있다면 <math>M</math>을 '''시간 가향'''({{llang|en|time-orientable}})하다고 한다.

'''미래 방향 시간꼴 벡터장'''({{llang|en|future-oriented timelike vector field}})은 모든 점에서 미래 방향 벡터 값을 갖는 시간꼴 벡터장이다. 마찬가지로, '''과거 방향 시간꼴 벡터장'''({{llang|en|past-oriented timelike vector field}})은 모든 점에서 과거 방향 벡터 값을 갖는 시간꼴 벡터장이다.

=== 인과 관계 ===
두 점 <math>x,y\in M</math> 사이에 다음과 같은 관계를 정의할 수 있다.
* 만약 <math>x</math>에서 <math>y</math>로 가는 미래 방향 시간꼴 곡선이 존재한다면 <math>x</math>가 <math>y</math>보다 '''시간 순으로 선행한다'''({{llang|en|chronologically precedes}})고 하고, <math>x\ll y</math>라고 쓴다.
* 만약 <math>x</math>에서 <math>y</math>로 가는 미래 방향 인과 곡선이 존재한다면 <math>x</math>가 <math>y</math>보다 '''인과적으로 선행한다'''({{llang|en|causally precedes}})고 하고, <math>x\prec y</math>라고 쓴다.
마찬가지로, 그 반대 개념인 '''시간 순 후행''' (<math>x\gg y</math>) 및 '''인과적 후행'''(<math>x\succ y</math>)도 정의할 수 있다.

이들은 [[추이관계|추이법칙]]을 만족시킨다. 즉
:<math>x \ll y,y\ll z\implies x\ll z</math>
:<math>x\prec y,y\prec z\implies x\prec z</math>
또한, 인과적 선행은 시간 순 선행보다 더 약한 개념이다.
:<math>x\ll y\implies x\prec y</math>
:<math>x\ll y,y\prec z\implies x\ll z</math>
:<math>x\prec y,y\ll z\implies x\ll z</math>

시간순/인과적 선행을 사용하여, 다음과 같은 미래 및 과거 개념을 정의할 수 있다.
* 점 <math>x</math>의 '''시간 순 미래''' <math>I^+(x)</math>는 <math>x</math>보다 시간 순으로 후행하는 점들의 집합이다.
::<math>I^+(x)=\{y\in M\colon x\ll y\}</math>
* 점 <math>x</math>의 '''시간 순 과거''' <math>I^-(x)</math>는 <math>x</math>보다 시간 순으로 선행하는 점들의 집합이다.
::<math>I^-(x)=\{y\in M\colon x\gg y\}</math>
* 점 <math>x</math>의 '''인과적 미래''' <math>J^+(x)</math>는 <math>x</math>보다 인과적으로 후행하는 점들의 집합이다.
::<math>J^+(x)=\{y\in M\colon x\prec y\}</math>
* 점 <math>x</math>의 '''인과적 과거''' <math>J^-(x)</math>는 <math>x</math>보다 인과적으로 선행하는 점들의 집합이다.
::<math>J^-(x)=\{y\in M\colon x\succ y\}</math>

=== 점근적 과거와 미래 ===
시공간 <math>(M,g)</math>를 등각 콤팩트화 <math>(M,g)\hookrightarrow(\tilde M,g)</math>할 수 있다고 하자. 즉,
:<math>\tilde M=M\sqcup\partial\tilde M</math>
이다. 이 경우
* <math>\tilde M</math>의 '''미래 시간꼴 무한'''({{llang|en|future timelike infinity}}) <math>i^+\subset\partial\tilde M</math>는 <math>M</math>에서 시작하는 시간꼴 곡선들의 미래 방향 끝점들의 집합이다.
* <math>\tilde M</math>의 '''과거 시간꼴 무한'''({{llang|en|past timelike infinity}}) <math>i^-\subset\partial\tilde M</math>는 <math>M</math>에서 끝나는 시간꼴 곡선들의 과거 방향 끝점들의 집합이다.
* <math>\tilde M</math>의 '''공간꼴 무한'''({{llang|en|spacelike infinity}}) <math>i^0\subset\partial\tilde M</math>은 <math>M</math>에서 시작하는 공간꼴 곡선들의 끝점들의 집합이다.
* <math>\tilde M</math>의 '''미래 영벡터 무한'''({{llang|en|future null infinity}}) <math>\mathcal I^+\subset\partial\tilde M</math>은 <math>M</math>에서 시작하는 영벡터 곡선들의 미래 방향 끝점의 집합이다. 이는 보통 "스크라이 플러스"로 발음하는데, 이는 [[LaTeX]] 매크로 <code>{\scr I}^+</code>에서 유래한다.
* <math>\tilde M</math>의 '''과거 영벡터 무한'''({{llang|en|past null infinity}}) <math>\mathcal I^-\subset\partial\tilde M</math>은 <math>M</math>에서 끝나는 영벡터 곡선들의 과거 방향 끝점의 집합이다. 이는 보통 "스크라이 마이너스"로 발음하는데, 이는 [[LaTeX]] 매크로 <code>{\scr I}^-</code>에서 유래한다.

== 같이 보기 ==
* [[인과 집합]]
* [[닫힌 시간꼴 곡선]]
* [[우주 검열 가설]]
* [[대역적 쌍곡 다양체]]
* [[펜로즈 그림]]
* [[펜로즈–호킹 특이점 정리]]
* [[시공간]]
== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용 | 성=Hawking | 이름=Stephen |저자링크=스티븐 호킹 |공저자=G. F. R. Ellis | 제목 = The large scale structure of space-time | 위치= Cambridge | 출판사=Cambridge University Press | 총서=Cambridge Monographs on Mathematical Physics|날짜=1975-03 |isbn 978-052109906-6 |url=http://www.cambridge.org/us/academic/subjects/physics/cosmology-relativity-and-gravitation/large-scale-structure-space-time| 언어=en | doi =10.1017/CBO9780511524646}}
* {{저널 인용|이름=Gary W.|성=Gibbons|공저자=S. N. Solodukhin|날짜=2007-06|제목=The Geometry of Small Causal Diamonds|arxiv=hep-th/0703098|doi=10.1016/j.physletb.2007.03.068|bibcode=2007PhLB..649..317G|저널=Physics Letters B|권=649|호=4|쪽=317–324|언어=en}}
* {{저널 인용|이름=Stephen|성=Hawking|공저자=A.R. King, P.J. McCarthy|제목=A new topology for curved space–time which incorporates the causal, differential, and conformal structures|저널=J. Math. Phys.|권=17|호=2|쪽=174-181|날짜=1976|언어=en}}

[[분류:일반 상대성이론]]
[[분류:미분기하학]]
[[분류:로런츠 다양체]]