이항 분포 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{확률분포 정보
| 이름 = 이항분포
| 종류 = 질량
| pdf 그림 = Binomial distribution pmf.svg
| pdf 그림설명 = Probability mass function for the binomial distribution
| cdf 그림 = Binomial distribution cdf.svg
| cdf 그림설명 = Cumulative distribution function for the binomial distribution
| cdf 그림해설 = Colors match the image above
| 매개변수 = <math>n \geq 0</math> 시행 횟수 ([[정수]])<br /><math>0\leq p \leq 1</math> 발생 확률 ([[실수]])
| 받침 = <math>k \in \{0,\dots,n\}\!</math>
| pmf = <math>{n\choose k} p^k (1-p)^{n-k} \!</math>
| cdf = <math>I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor, 1+\lfloor k\rfloor) \!</math>
| 기대값 = <math>np\!</math>
| 중앙값 = one of <math>\{\lfloor np\rfloor, \lceil np \rceil\}</math><ref>Hamza, K. (1995). The smallest uniform upper bound on the distance between the mean and the median of the binomial and Poisson distributions. Statist. Probab. Lett. 23 21–25.</ref>
| 최빈값 = <math>\lfloor (n+1)\,p\rfloor\!</math>
| 분산 = <math>np(1-p)\!</math>
| 왜도 = <math>\frac{1-2p}{\sqrt{np(1-p)}}\!</math>
| 첨도 = <math>\frac{1-6p(1-p)}{np(1-p)}\!</math>
| 엔트로피 = <math> \frac{1}{2} \ln \left( 2 \pi n e p (1-p) \right) + O \left( \frac{1}{n} \right) </math>
| mgf = <math>(1-p + pe^t)^n \!</math>
| 특성함수 = <math>(1-p + pe^{it})^n \!</math>
}}
{{확률론}}
'''이항 분포'''(二項分布)는 연속된 ''n''번의 독립적 시행에서 각 시행이 확률 p를 가질 때의 [[이산 확률 분포]]이다. 이러한 시행은 베르누이 시행이라고 불리기도 한다. 사실, ''n''=1일 때 이항 분포는 [[베르누이 분포]]이다.

이항 분포는 [[양봉 분포]](Bimodal distribution)와는 다른 것이다.

== 예 ==
기본적인 예: 일반적인 주사위를 10회 던져서 숫자 6이 나오는 횟수를 센다. 이 분포는 ''n'' = 10이고 ''p'' = 1/6인 이항분포이다.

다른 예로는, 아주 많은 인구의 5%가 쌍꺼풀이 있다고 해보자. 그리고 100명을 무작위적으로 선택한다. 당신이 선택한 쌍꺼풀을 가진 사람의 수는 ''n'' = 100이고 ''p'' = 0.05인 이항분포를 따른다.

== 상세내용 ==

=== 확률 질량 함수 ===

일반적으로, 확률변수 ''K''가 매개변수 ''n''과 ''p''를 가지는 이항분포를 따른다면, ''K'' ~ B(''n'',''p'')라고 쓴다. ''n''번 시행 중에 ''k''번 성공할 확률은 [[확률 질량 함수]]로 주어진다:

:<math> \Pr(K = k) = f(k;n,p)={n\choose k}p^k(1-p)^{n-k}</math>

이 때, ''k'' = 0, 1, 2, ..., ''n'' 이고,

:<math>{n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math>

는 이항 계수(''C''(''n'',''k'') 또는 ''n''C''k''라고 쓰기도 함)이다. 이 식은 다음과 같이 이해할 수 있다: 우리는 ''k''번의 성공(''p''<sup>''k''</sup>)과 ''n'' − ''k''번의 실패((1 − ''p'')<sup>''n'' − ''k''</sup>)를 원한다. 그러나, ''k''번의 성공은 ''n''번의 시도 중 어디서든지 발생할 수 있고, 또한 ''k''번의 성공을 가지는 분포는 C(''n'', ''k'')개가 있다.

이항 분포 확률에 대한 참고표를 만들 때, 표는 대체로 ''n''/2개의 값으로 채워져 있다. 이것은 ''k'' > ''n''/2에 대해 확률이 다음과 같이 계산될 수 있기 때문이다.

:<math>f(k;n,p)=f(n-k;n,1-p).\,\!</math>

그러므로 다른 ''k''와 다른 ''p''를 보아야 한다(이항 분포는 일반적으로 대칭적이지 않음).

=== 누적 분포 함수 ===

누적 분포 함수는 다음과 같이 베타함수꼴로 쓸 수 있다:

:<math> F(k;n,p) = \Pr(X \le k) = I_{1-p}(n-k, k+1) \!</math>

이 때, ''k''는 정수이고, 0&nbsp;≤&nbsp;''k''&nbsp;≤&nbsp;''n''이다. 만약 ''x''가 정수일 필요가 없거나 양수일 필요가 없다면 다음과 같이 쓸 수 있다:

:<math>F(x;n,p) = \Pr(X \le x) = \sum_{j=0}^{\operatorname{Floor}(x)} {n\choose j}p^j(1-p)^{n-j}.</math>

''k'' ≤ ''np''를 만족하는 ''k''에 대해에 대해 분포 함수의 낮은 꼬리에 대한 상계를 유도할 수 있다. 특히, 호에프딩 부등식을 이용하면 다음을 얻는다:

:<math> F(k;n,p) \leq \exp\left(-2 \frac{(np-k)^2}{n}\right), \!</math>

그리고 체르노프 부등식은 다음의 경계를 유도하는 데 사용할 수 있다:

:<math> F(k;n,p) \leq \exp\left(-\frac{1}{2\,p} \frac{(np-k)^2}{n}\right). \!</math>

== 평균, 분산, 최빈값 ==

만약 ''X'' : B(''n'', ''p'')라면, ''X''의 [[기댓값]]은

:<math>\operatorname{E}(X)=np\,\!</math>

이고 [[분산]]은

:<math>\operatorname{Var}(X)=np(1-p).\,\!</math>

이것은 쉽게 증명할 수 있다. 먼저 한 번의 베르누이 시행을 생각해보자. 결과는 1과 0 두 가지이고, 1이 나올 확률이 ''p'', 0이 나올 확률이 1&nbsp;−&nbsp;''p''이다. 이 시행의 평균은 μ&nbsp;=&nbsp;''p''이다. 분산의 정의를 이용하면 다음을 얻는다.

:<math>\sigma^2= \left(1 - p\right)^2p + (0-p)^2(1 - p) = p(1-p).</math>

이제 ''n''번의 시행에 대한 분산을 구한다고 생각해보자(일반적인 이항 분포). 각 시행은 독립이므로, 각 시행에 대한 분산들을 더하면

:<math>\sigma^2_n = \sum_{k=1}^n \sigma^2 = np(1 - p). \quad</math>

''X''의 최빈값은 (''n''&nbsp;+&nbsp;1)''p''와 같거나 작은 가장 큰 정수이다; 만약 ''m'' = (''n''&nbsp;+&nbsp;1)''p''이 정수라면, ''m''&nbsp;−&nbsp;1과 ''m''이 둘 다 최빈값이다.

== 평균과 분산의 명확한 유도 ==

명확한 유도를 위해 다음의 식을 이용한다.

:<math> \sum_{k=0}^n \operatorname{Pr}(X=k) = \sum_{k=0}^n {n\choose k}p^k(1-p)^{n-k} = 1</math>

=== 평균 ===

먼저, [[기댓값]]의 정의를 적용하면

:<math>\operatorname{E}(X) = \sum_k x_k \cdot \operatorname{Pr}(x_k) = \sum_{k=0}^n k \cdot \operatorname{Pr}(X=k)

= \sum_{k=0}^n k \cdot {n\choose k}p^k(1-p)^{n-k}</math>

''k''가 0이므로 첫 번째 항(''k' = 0)은 0이다. 이것은 제외될 수 있으므로, 하한을 ''k'' = 1로 바꿀 수 있다.

:<math>\operatorname{E}(X) = \sum_{k=1}^n k \cdot \frac{n!}{k!(n-k)!} p^k(1-p)^{n-k}

=  \sum_{k=1}^n k \cdot \frac{n\cdot(n-1)!}{k\cdot(k-1)!(n-k)!} \cdot p \cdot p^{k-1}(1-p)^{n-k}</math>

우리는 ''n''과 ''k''를 팩토리얼로부터 꺼냈고, ''p''를 하나 빼냈다.

:<math>\operatorname{E}(X) = np \cdot \sum_{k=1}^n \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} p^{k-1}(1-p)^{n-k}</math>

여기서 ''m'' = ''n'' - 1 이고, ''s'' = ''k'' - 1라고 하자.

:<math>\operatorname{E}(X) = np \cdot \sum_{s=0}^m \frac{(m)!}{(s)!(m-s)!} p^s(1-p)^{m-s}

= np \cdot \sum_{s=0}^m {m\choose s} p^s(1-p)^{m-s}</math>

이 합은 전체 이항 분포에 대한 합이다. 그러므로

:<math>\operatorname{E}(X) = np \cdot 1 = np</math>

=== 분산 ===

분산을 다음과 같이 쓸 수 있다는 것은 증명할 수 있다:

:<math>\operatorname{Var}(X) = \operatorname{E}(X^2) - (\operatorname{E}(X))^2.</math>

이 식을 사용하면 ''X''<sup>2</sup>의 기댓값 역시 필요하다는 것을 알 수 있다. 이것은 다음과 같이 구할 수 있다.

:<math>\operatorname{E}(X^2) = \sum_{k=0}^n k^2 \cdot \operatorname{Pr}(X=k)

= \sum_{k=0}^n k^2 \cdot {n\choose k}p^k(1-p)^{n-k}.</math>

이를 이용해 계산하면,

:<math>\operatorname{E}(X^2) = np \cdot \sum_{s=0}^m k \cdot {m\choose s} p^s(1-p)^{m-s}
= np \cdot \sum_{s=0}^m (s+1) \cdot {m\choose s} p^s(1-p)^{m-s}</math>

(마찬가지로, ''m'' = ''n'' - 1 이고, ''s'' = ''k'' - 1로 치환). 합을 두 부분으로 나누면,

:<math>\operatorname{E}(X^2) = np \cdot \bigg( \sum_{s=0}^m s \cdot {m\choose s} p^s(1-p)^{m-s} + \sum_{s=0}^m 1 \cdot {m\choose s} p^s(1-p)^{m-s} \bigg).</math>

첫 번째 항은 위에서 계산한 평균과 같다. 결과는 ''mp''이다. 두 번째 항은 1이다.

:<math>\operatorname{E}(X^2) = np \cdot ( mp + 1) = np((n-1)p + 1) = np(np - p + 1).</math>

이 결과와 평균(E(''X'') = ''np'')을 이용해서 분산을 다시 표시해보면 다음과 같다.

:<math>\operatorname{Var}(X) = \operatorname{E}(X^2) - (\operatorname{E}(X))^2 = np(np - p + 1) - (np)^2 = np(1-p).</math>

== 같이 보기 ==
* [[이산 확률 분포]]
* [[초기하분포]]
* [[베르누이 분포]]
* [[푸아송 분포]]
* [[다항 분포]]

== 각주 ==
<references/>

{{확률분포}}

{{전거 통제}}

[[분류:이산분포]]