이항 급수 문서 원본 보기

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[[해석학 (수학)|해석학]]에서 '''이항 급수'''(二項級數, {{llang|en|binomial series}})는 [[이항 계수]]를 계수로 하는 [[멱급수]]이다. [[이항식]]의 [[거듭제곱]]의 [[매클로린 급수]]이다. [[이항 정리]]의 일반화이다.

== 정의 ==
[[복소수]] <math>\alpha\in\mathbb C</math>가 주어졌을 때, '''이항 급수'''는 <math>(1+x)^\alpha</math>의 [[매클로린 급수]]이다. 이는 다음과 같다.
:<math>(1+x)^\alpha=\sum_{k=0}^\infty\binom\alpha kx^k=\sum_{k=0}^\infty\frac{(\alpha)_k}{k!}x^k=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}2x^2+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}6x^3+\cdots</math>
여기서 <math>\textstyle\binom\alpha k</math>는 [[이항 계수]], <math>(\alpha)_k</math>는 [[하강 계승]], <math>k!</math>는 [[계승 (수학)|계승]]이다.

=== 음이항 급수 ===
'''음이항 급수'''(陰二項級數, {{llang|en|negative binomial series}})는 <math>(1-x)^{-\alpha}</math>의 매클로린 급수이다. 이를 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:<math>(1-x)^{-\alpha}=\sum_{k=0}^\infty\binom{\alpha+k-1}kx^k=\sum_{k=0}^\infty\frac{\alpha^{(k)}}{k!}x^k=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha+1)}2x^2+\frac{\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)}6x^3+\cdots</math>
여기서 <math>\alpha^{(k)}</math>는 [[상승 계승]]이다.

== 성질 ==
이항 급수의 [[수렴역]]은 다음과 같다. (여기서 <math>\mathbb N</math>은 음의 아닌 정수의 집합)
:<math>
\begin{cases}
\mathbb C&\alpha\in\mathbb N\\
\{x\in\mathbb C\colon|x|\le1\}&\operatorname{Re}\alpha>0,\;\alpha\not\in\mathbb N\\
\{x\in\mathbb C\colon|x|\le1\}\setminus\{-1\}&-1<\operatorname{Re}\alpha\le0,\;\alpha\ne0\\
\{x\in\mathbb C\colon|x|<1\}&\operatorname{Re}\alpha\le-1
\end{cases}
</math>
특히, 실수의 경우의 수렴역은 다음과 같다.
:<math>
\begin{cases}
\mathbb R&\alpha\in\mathbb N\\
{}[-1,1]&\alpha>0,\;\alpha\not\in\mathbb N\\
{}(-1,1]&-1<\alpha<0\\
{}(-1,1)&\alpha\le-1
\end{cases}
</math>

== 예 ==
이항 급수의 <math>\alpha\in\{0,1,2,\dots\}</math>의 경우를 [[이항 정리]]라고 하며, 다음과 같다.
:<math>(1+x)^n=\sum_{k=0}^n\binom nkx^k=1+nx+\frac{n(n-1)}2x^2+\cdots+\frac{n(n-1)}2x^{n-2}+nx^{n-1}+x^n\qquad x\in\mathbb C</math>
이항 급수의 <math>\alpha=-1/2</math>의 경우는 다음과 같다.
:<math>\frac1\sqrt{1-x}=\sum_{k=0}^\infty\frac{(2k-1)!!}{(2k)!!}x^k=1+\frac12x+\frac38x^2+\frac5{16}x^3+\cdots\qquad|x|\le1,\;x\ne-1</math>
이항 급수의 <math>\alpha=-1</math>의 경우는 다음과 같은 [[기하급수]]이다.
:<math>\frac1{1-x}=\sum_{k=0}^\infty x^k=1+x+x^2+x^3+\cdots\qquad |x|<1</math>
이항 급수의 <math>\alpha=-2</math>의 경우는 다음과 같다.
:<math>\frac1{(1-x)^2}=\sum_{n=0}^\infty(n+1)x^n=1+2x+3x^2+4x^3+\cdots\qquad|x|<1</math>

== 같이 보기 ==
* [[이항 정리]]

== 외부 링크 ==
* {{수학노트|title=이항급수와 이항정리}}
* {{eom|title=Binomial series}}
* {{매스월드|id=BinomialSeries|title=Binomial series}}
* {{매스월드|id=NegativeBinomialSeries|title=Negative binomial series}}
* {{플래닛매스|urlname=BinomialFormula|title=Binomial formula}}
* {{ProofWiki|id=Binomial Theorem/General Binomial Theorem|제목=Binomial theorem/General binomial theorem}}

{{전거 통제}}

[[분류:계승과 이항식 주제]]
[[분류:급수]]
[[분류:복소해석학]]
[[분류:실해석학]]