이합체 모형 문서 원본 보기

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[[통계역학]]과 [[그래프 이론]]에서 '''이합체 모형'''(二合體模型, {{llang|en|dimer model}})은 어떤 그래프 위의 [[완벽 부합]]들의 공간 위에 정의되는 [[통계역학]] 모형이다.

== 정의 ==
=== 이합체 모형 ===
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* 유한 [[그래프]] <Math>\Gamma</math>
* 실수 값 함수 <math>E\colon\operatorname E(\Gamma)\to\mathbb R</math>. 이를 각 변의 '''에너지'''라고 한다.
그렇다면, <math>\Gamma</math>의 [[완벽 부합]]들의 집합을
:<math>\operatorname{PerfMatch}(\Gamma)\subseteq\operatorname{Pow}(\operatorname E(\Gamma))</math>
로 표기하자. 통계 역학에서, 완벽 부합은 보통 '''이합체 배치'''(二合體配置, {{llang|en|dimer configuration}})라고 하며, 그래프의 변은 '''이합체'''라고 한다. 즉, 흔히 사용되는 수학 용어 및 대응되는 물리학 용어는 다음과 같다.
{|  class=wikitable
! 수학 !! 물리학
|-
| 변 || [[이합체]]({{llang|en|dimer}})
|-
| 꼭짓점 || [[단량체]]({{llang|en|monomer}})
|-
| [[완벽 부합]] || 이합체 배치
|-
| 변의 무게({{llang|en|weight}}) || 이합체의 에너지
|-
| 꼭짓점의 무게({{llang|en|weight}}) || 단량체의 에너지
|-
|}

이제, 다음과 같은 통계 역학 모형을 정의할 수 있다.
* [[위상 공간 (물리학)|위상 공간]]은 [[완벽 부합]]의 집합 <math>\operatorname{PerfMatch}(\Gamma)</math>이다.
* 임의의 완벽 부합 <math>M\in\operatorname{PerfMatch}(\Gamma)</math>의 '''에너지'''는 부합에 속하는 변들의 에너지들의 합 <math>\textstyle E(M)=\sum_{e\in M}E(e)</math>이다.
* 온도 <math>T=1/\beta</math>에서, 위상 공간 위의 [[측도]]는 이 에너지 함수 <math>\operatorname{PerfMatch}(\Gamma)\to\mathbb R</math>로 정의되는 기브스 측도이다.
*: <math>Z(\beta;\Gamma)=\sum_{M\in\operatorname{PerfMatch}(\Gamma)}\exp\left(-\beta\sum_{e\in M}E(e)\right)</math>
*: <math>\Pr(M;\beta)=\frac{\exp\left(-\beta E(M)\right)}Z\qquad(M\in\operatorname{PerfMatch}(\Gamma))</math>
여기서 값 <math>Z(\beta;\Gamma)</math>는 [[분배 함수 (통계역학)|분배 함수]]이다. 이 통계 역학 모형을 '''이합체 모형'''이라고 한다.

=== 단량체-이합체 모형 ===
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* 유한 [[그래프]] <Math>\Gamma</math>
* 실수 값 함수 <math>E_2\colon\operatorname E(\Gamma)\to\mathbb R</math>. 이를 '''이합체 에너지'''(二合體energy, {{llang|en|dimer energy}})라고 한다.
* 실수 값 함수 <math>E_1\colon\operatorname V(\Gamma)\to\mathbb R</math>. 이를 '''단량체 에너지'''(單量體energy, {{llang|en|monomer energy}})라고 한다.
그렇다면, <math>\Gamma</math>의 [[부합 (그래프 이론)|부합]]들의 집합을
:<math>\operatorname{Match}(\Gamma)\subseteq\operatorname{Pow}(\operatorname E(\Gamma))</math>
로 표기하자.

이제, 다음과 같은 통계 역학 모형을 정의할 수 있다.
* [[위상 공간 (물리학)|위상 공간]]은 [[부합 (그래프 이론)|부합]]의 집합 <math>\operatorname{Match}(\Gamma)</math>이다.
* 임의의 부합 <math>M\in\operatorname{Match}(\Gamma)</math>의 '''에너지'''는 부합에 속하는 변들의 이합체 에너지들과, 부합에 인접하지 않는 꼭짓점들의 단량체 에너지들의 합이다.
*: <math>E(M)=\sum_{e\in M}E_2(e)+\sum_{v\in\operatorname V(\Gamma\setminus M)}E_1(v)</math>
* 온도 <math>T=1/\beta</math>에서, 위상 공간 위의 [[측도]]는 이 에너지 함수 <math>\operatorname{Match}(\Gamma)\to\mathbb R</math>로 정의되는 기브스 측도이다.
*: <math>Z(\Gamma)=\sum_{M\in\operatorname{Match}(\Gamma)}\exp\left(-\beta E(M)\right)</math>
*: <math>\Pr(M)=\frac{\exp\left(-\beta E(M)\right)}Z\qquad(M\in\operatorname{Match}(\Gamma))</math>
여기서 값 <math>Z(\Gamma)</math>는 [[분배 함수 (통계역학)|분배 함수]]이다. 이 통계 역학 모형을 '''단량체-이합체 모형'''({{llang|en|monomer–dimer model}})이라고 한다.

== 성질 ==
=== 단량체-이합체 모형과 이합체 모형의 관계 ===
적어도 하나 이상의 [[완벽 부합]]을 갖는 유한 그래프 위에서, 만약 단량체 에너지를 무한대로 취할 경우,
:<math>E_1\to\infty</math>
단량체-이합체 모형은 이합체 모형으로 수렴한다.

=== 상관 함수 ===
유한 [[그래프]] <math>\Gamma</math> 위의 이합체 모형이 주어졌다고 하자. 각 변 <math>e\in\operatorname E(\Gamma)</math>에 대하여, [[관측 가능량]] <Math>\sigma(e;M)</math>을 [[지시 함수]]
:<math>\sigma(e;M)=\begin{cases}
1&e\in M\\
0&e\not\in M
\end{cases}</math>
로 정의할 수 있다. 이에 따라, 임의의 변 집합
:<math>S\subseteq\operatorname E(\Gamma)</math>
에 대하여, '''[[상관 함수 (통계역학)|상관 함수]]'''
:<math>\left\langle \prod_{e\in S}\sigma(e)\right\rangle
=\sum_{S\subseteq M\in\operatorname{PerfMatch}(\Gamma)}\Pr(M)\in[0,1]</math>
를 정의할 수 있다. 만약 <math>S</math>가 서로 닿는 두 변을 포함한다면,
:<math>\left\langle \prod_{e\in S}\sigma(e)\right\rangle=0</math>
이다.

보다 일반적으로, 유한 그래프 <math>\Gamma</math> 위의 단량체-이합체 모형이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 변 <math>e\in\operatorname E(\Gamma)</math> 및 각 꼭짓점 <math>v\in\operatorname V(\Gamma)</math>에 대하여 [[지시 함수]] 관측 가능량
:<math>\sigma(e;M)=\begin{cases}
1&e\in M\\
0&e\not\in M
\end{cases}</math>
:<math>\sigma(v;M)=\begin{cases}
1&v\in\operatorname V(\Gamma\setminus M)\\
0&v\not\in\operatorname V(\Gamma\setminus M)
\end{cases}</math>
을 정의할 수 있다. 이에 따라, 임의의 변 집합
:<math>S_2\subseteq\operatorname E(\Gamma)</math>
및 꼭짓점 집합
:<math>S_1\subseteq\operatorname V(\Gamma)</math>
에 대하여, '''[[상관 함수 (통계역학)|상관 함수]]'''
:<math>\left\langle \prod_{e\in S}\sigma(e)\right\rangle
=\sum_{
{\scriptstyle S_2\subseteq M\in\operatorname{Match}(\Gamma)\atop
\scriptstyle S_1\subseteq\operatorname V(\Gamma\setminus M)
}}\Pr(M)\in[0,1]</math>
를 정의할 수 있다. 만약 <math>S_2</math>가 서로 닿는 두 변을 포함하거나, 만약 <math>S_2</math>의 원소가 <math>S_1</math>의 원소와 인접한다면,
:<math>\left\langle \prod_{v\in S_1}\sigma(v)\prod_{e\in S_2}\sigma(e)\right\rangle=0</math>
이다.

== 예 ==
[[파일:Tile 3bb.svg|섬네일|오른쪽|피셔 격자]]
2차원 [[이징 모형]]은 '''피셔 격자'''({{llang|en|Fisher lattice}})라는 어떤 특별한 [[평면 그래프|평면]] [[삼차 그래프]] 위의 이합체 모형과 동치이다.<ref>{{서적 인용|장=The planar dimer model with boundary: a survey|이름=Richard|성=Kenyon|장url=https://www.math.brown.edu/~rkenyon/papers/dimers.pdf|제목=Directions in mathematical quasicrystals|총서=Centre de Recherches Mathématiques Monograph Series|권=13|출판사=American Mathematical Society|쪽=307–328|url=http://bookstore.ams.org/crmm-13/|isbn= 978-0-8218-2629-4|editor1-first=Michael|editor1-last=Baake|editor2-first=Robert V.|editor2-last=Moody|issn=1065-8599|언어=en}}</ref>{{rp|§1}} 피셔 격자는 정12각형과 정삼각형으로 구성된 평면 [[테셀레이션]]의 그래프이다.

구체적으로, 평면의 정사각 격자 그래프에서, 각 꼭짓점
:╳
을 나비 모양의 [[삼차 그래프]]
<pre style="line-height: 1.0; font-family: consolas,lucida console,courier new,courier,monospace;" lang=en>
─┬┐ ┌┬─
 │├─┤│
─┴┘ └┴─
</pre>
로 치환하여 얻는다. 즉, (45도 회전하여 그린) 사각형 격자의 부분
<pre style="line-height: 1.0; font-family: consolas,lucida console,courier new,courier,monospace;" lang=en>
 ╳
╳ ╳
 ╳
</pre>
은 피셔 격자의 부분
<pre style="line-height: 1.0; font-family: consolas,lucida console,courier new,courier,monospace;" lang=en>
      ─┬┐ ┌┬─
       │├─┤│
─┬┐ ┌┬─┴┘ └┴─┬┐ ┌┬─
 │├─┤│       │├─┤│
─┴┘ └┴─┬┐ ┌┬─┴┘ └┴─
       │├─┤│
      ─┴┘ └┴─
</pre>
에 대응한다.
이 경우, 각 꼭짓점에서 [[완벽 부합]]은 다음과 같은 8개의 가능한 꼴을 가진다.

{| class=wikitable style="line-height: 1.0; font-family: consolas,lucida console,courier new,courier,monospace; text-align: center;"  lang="en"
|-
! lang=ko style="line-height: 1.5;" | 피셔 격자의 [[완벽 부합]]
! colspan=2 lang=ko  style="line-height: 1.5;" | 평면 [[이징 모형]]의 스핀 배열
|-
|
<pre style="line-height: 1.0; font-family: consolas,lucida console,courier new,courier,monospace;" lang=en>
─┰┐ ┌┰─
 ┃┝━┥┃ 
─┸┘ └┸─
</pre>
|
<pre style="line-height: 1.0; font-family: consolas,lucida console,courier new,courier,monospace;" lang=en>
  ╲ ╱  
   +   
╲ ╱ ╲ ╱
 +   + 
╱ ╲ ╱ ╲
   +   
  ╱ ╲  
</pre>
|
<pre style="line-height: 1.0; font-family: consolas,lucida console,courier new,courier,monospace;" lang=en>
  ╲ ╱  
   −   
╲ ╱ ╲ ╱
 −   − 
╱ ╲ ╱ ╲
   −   
  ╱ ╲  
</pre>
|-
| <pre style="line-height: 1.0; font-family: consolas,lucida console,courier new,courier,monospace;" lang=en>
━┭┐ ┌┰─
 │┝━┥┃ 
━┵┘ └┸─
</pre>
|
<pre style="line-height: 1.0; font-family: consolas,lucida console,courier new,courier,monospace;" lang=en>
  ╲ ╱  
   +   
╲ ╱ ╲ ╱
 −   + 
╱ ╲ ╱ ╲
   +   
  ╱ ╲  
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<pre style="line-height: 1.0; font-family: consolas,lucida console,courier new,courier,monospace;" lang=en>
  ╲ ╱  
   −   
╲ ╱ ╲ ╱
 +   − 
╱ ╲ ╱ ╲
   −   
  ╱ ╲  
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|-
| <pre style="line-height: 1.0; font-family: consolas,lucida console,courier new,courier,monospace;" lang=en>
─┰┐ ┌┮━
 ┃┝━┥│ 
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</pre>
|
<pre style="line-height: 1.0; font-family: consolas,lucida console,courier new,courier,monospace;" lang=en>
  ╲ ╱  
   +   
╲ ╱ ╲ ╱
 +   − 
╱ ╲ ╱ ╲
   +   
  ╱ ╲  
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<pre style="line-height: 1.0; font-family: consolas,lucida console,courier new,courier,monospace;" lang=en>
  ╲ ╱  
   −   
╲ ╱ ╲ ╱
 −   + 
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| <pre style="line-height: 1.0; font-family: consolas,lucida console,courier new,courier,monospace;" lang=en>
━┭┐ ┏┭─
 │┟─┦│ 
─┶┛ └┶━
</pre>
|
<pre style="line-height: 1.0; font-family: consolas,lucida console,courier new,courier,monospace;" lang=en>
  ╲ ╱  
   +   
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╱ ╲ ╱ ╲
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   −   
╲ ╱ ╲ ╱
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╱ ╲ ╱ ╲
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| <pre style="line-height: 1.0; font-family: consolas,lucida console,courier new,courier,monospace;" lang=en>
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 │┞─┧│ 
━┵┘ ┗┵─
</pre>
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<pre style="line-height: 1.0; font-family: consolas,lucida console,courier new,courier,monospace;" lang=en>
  ╲ ╱  
   +   
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 +   − 
╱ ╲ ╱ ╲
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   −   
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 −   + 
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   +   
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| <pre style="line-height: 1.0; font-family: consolas,lucida console,courier new,courier,monospace;" lang=en>
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<pre style="line-height: 1.0; font-family: consolas,lucida console,courier new,courier,monospace;" lang=en>
  ╲ ╱  
   +   
╲ ╱ ╲ ╱
 −   − 
╱ ╲ ╱ ╲
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  ╲ ╱  
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 +   + 
╱ ╲ ╱ ╲
   +   
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| <pre style="line-height: 1.0; font-family: consolas,lucida console,courier new,courier,monospace;" lang=en>
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 │┞─┦│ 
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<pre style="line-height: 1.0; font-family: consolas,lucida console,courier new,courier,monospace;" lang=en>
  ╲ ╱  
   +   
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 +   + 
╱ ╲ ╱ ╲
   −   
  ╱ ╲  
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<pre style="line-height: 1.0; font-family: consolas,lucida console,courier new,courier,monospace;" lang=en>
  ╲ ╱  
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╲ ╱ ╲ ╱
 −   − 
╱ ╲ ╱ ╲
   +   
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| <pre style="line-height: 1.0; font-family: consolas,lucida console,courier new,courier,monospace;" lang=en>
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 │┝━┥│ 
━┵┘ └┶━
</pre>
|
<pre style="line-height: 1.0; font-family: consolas,lucida console,courier new,courier,monospace;" lang=en>
  ╲ ╱  
   +   
╲ ╱ ╲ ╱
 −   − 
╱ ╲ ╱ ╲
   +   
  ╱ ╲  
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<pre style="line-height: 1.0; font-family: consolas,lucida console,courier new,courier,monospace;" lang=en>
  ╲ ╱  
   −   
╲ ╱ ╲ ╱
 +   + 
╱ ╲ ╱ ╲
   −   
  ╱ ╲  
</pre>
|}

(굵게 표현된 변이 [[완벽 부합]]에 속하는 변이다.)

즉, 이는 2차원 [[이징 모형]]의 임의의 상태에서, 각 스핀 사이의 변을
* 서로 다른 스핀 사이의 변은 굵게,
* 서로 같은 스핀 사이의 변은 가늘게
칠한 뒤, 각 꼭짓점을 위와 같은 8개의 나비 그래프 가운데 하나로 치환하면, [[이징 모형]]의 각 상태와 피셔 격자의 [[완벽 부합]] 사이의 2대 1 대응을 얻는다. (2대 1인 것은 이징 모형의 상태에서 모든 스핀을 뒤집어도 같은 [[완벽 부합]]에 대응하기 때문이다.)

예를 들어, (45도 기울여서 그린) 평면 [[이징 모형]]의 상태의 일부분이
<pre style="line-height: 1.0; font-family: consolas,lucida console,courier new,courier,monospace;" lang=en>
    ╲ ╱
     +
  ╲ ╱ ╲ ╱
   +   +
╲ ╱ ╲ ╱ ╲ ╱
 −   +   +
╱ ╲ ╱ ╲ ╱ ╲
   +   −
  ╱ ╲ ╱ ╲
     −
    ╱ ╲
</pre>
와 같은 꼴이라면, 이는 다음과 같은 피셔 격자 [[완벽 부합]]에 대응한다.
<pre style="line-height: 1.0; font-family: consolas,lucida console,courier new,courier,monospace;" lang=en>
      ─┰┐ ┌┰─
       ┃┝━┥┃ 
━┭┐ ┌┰─┸┘ └┸─┮┓ ┏┭─
 │┝━┥┃       │┞─┦│
━┵┘ └┸─┮┓ ┌┮━┵┘ └┶━
       │┞─┧│ 
      ━┵┘ ┗┵─
</pre>

== 같이 보기 ==
* [[통계역학]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 독서 자료 ==

* {{저널 인용|url=http://www.ams.org/notices/200503/what-is.pdf|제목=What is … a dimer?|이름=Richard|성=Kenyon|이름2=Andrei|성2=Okounkov|저널=Notices of the American Mathematical Society|권=342–343|날짜=2005-03|권=52|호=3|언어=en}}
* {{저널 인용|url=https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.cmp/1103857921|제목=Theory of monomer–dimer systems|이름=Ole J.|성=Heilmann |이름2=Elliott H.|성2=Lieb|저널=Communications in Mathematical Physics|권=25|쪽=190–232|날짜=1972|언어=en}}
* {{저널 인용|arxiv=1409.4631|bibcode=2014arXiv1409.4631C|제목=The geometry of dimer models|이름=David|성=Cimasoni|날짜=2014|doi=10.5802/wbln.3|저널=Winter Braids Lecture Notes|권=1|쪽=2|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=DominoTiling|title=Domino tiling}}

[[분류:통계역학]]
[[분류:그래프 이론]]
[[분류:격자 모형]]