이하라 제타 함수 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''이하라 제타 함수'''({{llang|en|Ihara zeta function}})는 유한 [[그래프 (그래프 이론)|그래프]]와 관련된 제타 함수이다. 이 함수는 셀베르그 제타 함수 와 매우 유사하며 [[인접행렬|인접 행렬]]의 스펙트럼에 그래프의 순환을 관련시키는 데 사용된다. 이하라 제타 함수는 1960년대 [[일본]]의 수학자 [[이하라 야스타카]]가 [[P진수|2x2 p-진]] [[특수선형군|특수 선형군]]의 [[이산 군 (수학)|이산 부분 군]]의 맥락에서 처음 정의했다. [[장피에르 세르|장-피에르 세르]]는 그의 저서 ''Trees'' 에서 이하라의 원래 정의를 그래프 이론적으로 재해석할 수 있다고 제안했다. 이 제안을 1985년에 실행에 옮긴 것은 스나다 토시카즈였다. 스나다가 관찰한 바와 같이 [[정규 그래프]]는 이하라 제타 함수가 [[리만 가설]]과 대응되는 명제를 충족하는 경우에만 라마누잔 그래프이다.<ref>Terras (1999) p.&nbsp;678</ref>

== 정의 ==
이하라 제타 함수는 다음 무한 곱의 해석적 연속으로 정의된다.

<math>\zeta_{G}\left(u\right)=\prod_{p}\frac{1}{1-u^{\mathrm{L}(p)}}</math>

이 곱은 그래프 <math>G = (V, E)</math>의 모든 닫힌 소 측지선 <math>p</math>에 대한 곱이다. 여기서 순환 회전에 의해 다른 측지선은 동일한 것으로 본다. <math>G</math>의 닫힌 측지선 (그래프 이론에서 [[순환 (그래프 이론)|순환]]이라는 이름으로 알려짐) <math>p</math>는 다음 조건이 성립하는 꼭지점들로 이뤄진 유한 열 <math>p = (v_0, \ldots, v_{k-1})</math>이다:

: <math> (v_i, v_{(i+1)\bmod k}) \in E, </math>
: <math> v_i \neq v_{(i+2) \bmod k}. </math>

정수 <math>k</math>는 <math>p</math>의 ''길이'' <math>L(p)</math>이다.  닫힌 측지선을 <math>m</math>번(<math>m > 1</math>) 반복하여 얻을 수 없는 닫힌 측지선 <math>p</math>를 ''소 측지선''이라고 한다.

이 그래프 이론적 정의는 스나다가 하였다.

== 이하라의 공식 ==
이하라(및 그래프 이론적 정의의 스나다)는 정규 그래프의 경우 제타 함수가 유리 함수임을 보여주었다. 만약에 <math>G</math>가 <math>q+1</math>-[[인접행렬|인접 행렬]] <math>A</math>를 가지는 정규 그래프이면<ref>Terras (1999) p.&nbsp;677</ref>

: <math>\zeta_G(u) = \frac{1}{(1-u^2)^{r(G)-1}\det(I - Au + qu^2I)} \ </math>

여기서 <math>r(G)</math>는 <math>G</math>의 회로 랭크이다. <math>G</math>가 연결되어 있고 <math>n</math>개의 꼭지점을 가지면, <math>r(G)-1=(q-1)n/2</math> .

이하라 제타 함수는 항상 그래프 다항식의 역수이다:

: <math>\zeta_G(u) = \frac{1}{\det (I-Tu)}~,</math>

여기서 <math>T</math>는 기이치로 하시모토의 모서리 인접 연산자이다. [[하이먼 배스]]는 인접 연산자와 관련된 결정 공식을 제공했다.

== 응용 ==
이하라 제타 함수는 [[자유군]], 스펙트럼 그래프 이론, [[동역학계|동적 계 이론]], 특히 기호 동적 계 연구에서 중요한 역할을 한다. 여기서 이하라 제타 함수는 루엘 제타 함수의 예이다.<ref name="T29">Terras (2010) p.&nbsp;29</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

* {{저널 인용|제목=On discrete subgroups of the two by two projective linear group over <math>{\mathfrak p}</math>-adic fields|저널=Journal of the Mathematical Society of Japan|성=Ihara|이름=Yasutaka|저자링크=Yasutaka Ihara|연도=1966|권=18|쪽=219–235|doi=10.2969/jmsj/01830219|mr=0223463|zbl=0158.27702}}
* {{서적 인용|제목=Curvature and Topology of Riemannian Manifolds|성=Sunada|이름=Toshikazu|저자링크=Toshikazu Sunada|연도=1986|총서=[[Lecture Notes in Mathematics]]|권=1201|쪽=266–284|장=L-functions in geometry and some applications|doi=10.1007/BFb0075662|isbn=978-3-540-16770-9|zbl=0605.58046}}
* {{저널 인용|제목=The Ihara-Selberg zeta function of a tree lattice|저널=[[International Journal of Mathematics]]|성=Bass|이름=Hyman|저자링크=Hyman Bass|연도=1992|권=3|호=6|쪽=717–797|doi=10.1142/S0129167X92000357|mr=1194071|zbl=0767.11025}}
* {{서적 인용|제목=Emerging Applications of Number Theory|성=Stark|이름=Harold M.|저자링크=Harold Stark|연도=1999|편집자-성=Hejhal|편집자-이름=Dennis A.|편집자-링크=Dennis Hejhal|편집자2-성=Friedman|편집자2-이름=Joel|총서=IMA Vol. Math. Appl.|권=109|출판사=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|쪽=601–615|장=Multipath zeta functions of graphs|isbn=0-387-98824-6|zbl=0988.11040|편집자3-성=Gutzwiller|편집자3-이름=Martin C.|편집자3-링크=Martin Gutzwiller|편집자4-성=Odlyzko|편집자4-이름=Andrew M.|편집자4-링크=Andrew Odlyzko}}
* {{서적 인용|제목=Emerging Applications of Number Theory|성=Terras|이름=Audrey|저자링크=Audrey Terras|연도=1999|편집자-성=Hejhal|편집자-이름=Dennis A.|편집자-링크=Dennis Hejhal|편집자2-성=Friedman|편집자2-이름=Joel|총서=IMA Vol. Math. Appl.|권=109|출판사=Springer|쪽=643–681|장=A survey of discrete trace formulas|isbn=0-387-98824-6|zbl=0982.11031|편집자3-성=Gutzwiller|편집자3-이름=Martin C.|편집자3-링크=Martin Gutzwiller|편집자4-성=Odlyzko|편집자4-이름=Andrew M.|편집자4-링크=Andrew Odlyzko}}
* {{서적 인용|제목=Zeta Functions of Graphs: A Stroll through the Garden|성=Terras|이름=Audrey|저자링크=Audrey Terras|연도=2010|총서=Cambridge Studies in Advanced Mathematics|권=128|출판사=[[Cambridge University Press]]|isbn=0-521-11367-9|zbl=1206.05003}}

[[분류:대수적 그래프 이론]]
[[분류:제타 함수와 L-함수]]