이토 적분 문서 원본 보기

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[[확률 과정]] 이론에서, '''이토 적분'''([伊藤]積分, {{llang|en|Itō integral}})은 어떤 [[확률 과정]]의 다른 확률 과정(보통 [[위너 확률 과정]])에 대한 적분 연산이다. [[금융공학]]에서 [[블랙-숄즈 방정식]]과 같은 주요한 이론을 이끌어내는 도구로 쓰인다.

== 정의 ==
[[위너 확률 과정]]에 대한 이토 적분은 다음과 같다. (보다 일반적으로 [[준마팅게일]]에 대하여 이토 적분을 정의할 수 있다.)

=== 평균 제곱 적분 가능 확률 과정의 바나흐 공간 ===
[[확률 공간]] <math>\Omega</math> 위의 확률 과정
:<math>(X_t\colon\Omega\to\mathbb R)_{t\in[a,b]}</math>
을 생각하자. 만약
:<math>\mathbb E\left(\int_a^b X_t^2\,\mathrm dt\right) < \infty</math>
라면, <math>X</math>를 '''평균 제곱 적분 가능 확률 과정'''(平均제곱積分可能確率過程, {{llang|en|mean-square-integrable stochastic process}})이라고 한다. <math>\Omega\times[a,b]\to \mathbb R</math> 평균 제곱 적분 확률 과정들의 공간을
:<math>\mathcal S^2(\Omega,[a,b])</math>
로 표기하자. 이 위에는 자연스러운 [[반노름]]
:<math>\|X\|_{\mathcal S^2} = \mathbb E\left(\int_a^bX_t^2\,\mathrm dt\right)</math>
이 존재한다. 이 반노름이 0인 확률 과정들([[거의 어디서나]] 값이 0인 것들)의 부분 공간
:<math>\mathcal N \subseteq \mathcal S^2(\Omega,[a,b])</math>
에 대한 몫공간
:<math>\operatorname S^2(\Omega,[a,b]) = \frac{\mathcal S^2(\Omega,[a,b])}{\mathcal N}</math>
은 [[노름 공간]]이며, 사실 [[바나흐 공간]]을 이룬다.

=== 기초 확률 과정 ===
[[확률 공간]] <math>(\Omega,\mathcal F_\infty,\Pr)</math> 위의 (표준) [[위너 확률 과정]] <math>(W_t\colon\Omega \to \mathbb R)_{t\in[a,b]}</math>이 주어졌다고 하자. <math>(\Omega,\mathcal F_t)_{t\in[a,b]}</math>가 <math>W_t</math>의 [[자연 여과 확률 공간]]의 오른쪽 연속 완비화라고 하자.

<math>\mathcal B([0,t]) \subseteq\operatorname{Pow}([0,t])</math>가 <Math>[0,t]</math>의 [[보렐 집합]]들의 [[시그마 대수]]라고 하자.

다음이 주어졌다고 하자.
* 모든 <math>\mathcal F_t</math>들과 [[독립 (확률론)|독립]]인 [[시그마 대수]] <math>\mathcal G \subseteq \mathcal F_\infty</math>
* 유한 증가 실수열 <math>a=t_0 \le t_1 \le t_2 \dotsc \le \dotsb \le t_N = b</math>
그렇다면, [[여과 확률 공간]]
:<math>(\Omega,\sigma(\mathcal F_t\cup\mathcal G),\Pr)_{t\in[a,b]}</math>
을 정의할 수 있다. (여기서 <math>\sigma(-)</math>는 주어진 집합족으로 생성되는 [[시그마 대수]]를 뜻한다.) 다시 말해, 이 [[여과 확률 공간]]은 ‘위너 확률 과정으로 알려진 정보’ + ‘시간에 의존하지 않는 추가 정보’를 나타낸다.

<math>(\Omega,\sigma(\mathcal F_t\cup\mathcal G),\Pr)</math> 위의 [[순응 확률 과정]]
:<math>(X_t\colon\Omega\to\mathbb R)_{t\in[a,b]}</math>
이 다음 조건들을 모두 만족시킨다면, '''<math>(W,\mathcal G,(t_i)_{i=0}^N)</math>-기초 확률 과정'''(基礎確率過程, {{llang|en|elementary stochastic process}})이라고 한다.
* 임의의 <math>t\in[a,b]</math>에 대하여, <math>(X\restriction [0,t]\times\Omega) \colon [0,t] \times \Omega \to \mathbb R</math>는 [[시그마 대수]] <math>\mathcal B([0,t]) \times \mathcal F_t</math>에 대한 [[가측 함수]]이다.
* <math>\forall i\in\{0,\dotsc,N-1\}\forall t\in[t_i,t_{i+1}) \colon X_t = X_{t_i}</math>이다.

<math>(W,\mathcal G,(t_i)_{i=0}^N)</math>-기초 확률 과정 <math>(X_t\colon\Omega\to\mathbb R)_{t\in[a,b]}</math>의 '''이토 적분'''은 다음과 같은 [[확률 변수]]이다.
:<math>\int_a^b X_t\,\mathrm dW_t = \sum_{i=0}^{N-1}X_{t_i} (W_{t_{i+1}} - W_{t_i})</math>

임의의 [[위너 확률 과정]] <Math>W</math>에 대하여, 그 위의 (모든 <math>\mathcal G</math> 및 <Math>(t_i)_{i=0}^N</math>에 대한) 기초 확률 과정들의 부분 벡터 공간은 [[바나흐 공간]] <math>\operatorname S^2(\Omega,[a,b])</math> 속의 [[조밀 집합]]을 이룬다. 즉, 모든 평균 제곱 적분 확률 과정은 <Math>\operatorname S^2</math>-노름에 대하여 수렴하는 기초 확률 과정들의 열로 근사될 수 있다.

=== 이토 적분 ===
임의의 평균 제곱 적분 가능 확률 과정
:<math>X \in \mathcal S^2(\Omega,[a,b])</math>
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>X</math>로 (<math>\operatorname S^2</math>-노름에 대하여) 수렴하는 기초 확률 과정들의 열 <math>Y^{(1)}, Y^{(2)},\dotsc</math>을 항상 고를 수 있다. 그렇다면, [[확률 변수]]들의 열
:<math>\int_a^b Y^{(i)}_t\,\mathrm dW_t \colon \Omega \to \mathbb R</math>
을 정의할 수 있다. 이는 [[르베그 공간]] <math>\operatorname L^2(\Omega,\mathbb R)</math>의 원소이며, 항상 (<math>\operatorname L^2</math>-노름에 대한) [[극한]]을 갖는다. <math>(X_t\colon\Omega\to\mathbb R)_{t\in[a,b]}</math>의 '''이토 적분'''
:<math>\int_a^bX_t\,\mathrm dW_t \in \operatorname L^2(\Omega,\mathbb R)</math>
은 <math>\textstyle\int_a^b Y^{(i)}_t\,\mathrm dW_t</math>들의 (<math>\operatorname L^2</math>-노름) 극한이다.
:<math>\lim_{i\to\infty}^{\operatorname L^2}\int_a^bY^{(i)}_t\,\mathrm dW_t = \int_a^bX_t\,\mathrm dW_t \in \operatorname L^2(\Omega,\mathbb R)</math>
이는 사용한 <math>Y^{(i)}</math>에 의존하지 않음을 보일 수 있다.

== 역사 ==
[[독일]]의 수학자 [[볼프강 되블린]]({{llang|de|Wolfgang Döblin}})이 1940년에 이미 이와 유사한 이론을 유도하였으나, 출판하지 못했다. [[유대인]]이었던 되블린은 [[나치 독일]]을 피해 [[프랑스]]로 피난하였다가, 프랑스가 점령되자 1940년 자살하였다. 이후 되블린의 업적은 2000년에 와서야 재발견되었다.

되블린과 독자적으로, 일본의 수학자 [[이토 기요시]]가 이토 적분의 이론을 1944년에 출판하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Kiyosi |성=Itô |저자링크=이토 기요시|날짜=1944|제목=109. Stochastic integral|저널=Proceedings of the Imperial Academy|권=20|호=8|쪽= 519–524|zbl=0060.29105|mr=14633|doi=10.3792/pia/1195572786|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|이름=Kiyosi|성= Ito|저자링크=이토 기요시|날짜=1951|제목=On stochastic differential equations|총서=Memoirs of the American Mathematical Society|권=4|url=https://bookstore.ams.org/memo-1-4/|출판사=American Mathematical Society|언어=en}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[확률미적분학]]
* [[이토의 보조정리]]
* [[준마팅게일]]
* [[위너 확률 과정]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Stochastic integral }}
* {{매스월드|id=StochasticCalculus|title=Stochastic calculus}}
* {{매스월드|id=StochasticIntegral|title=Stochastic integral}}

{{전거 통제}}

[[분류:확률미적분학]]