이체 문제 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:orbit5.gif|섬네일|오른쪽|400px|질량이 비슷한 두 천체가 둘의 질량 중심 주위를 타원궤도로 돌고 있다.]]
[[고전역학]]에서 '''이체 문제'''(二體問題, {{lang|en|two-body problem}})는 서로 상호작용하는 두 물체의 운동을 다루는 문제이다. 보통 이 상호작용은 [[만유인력]]과 같은 [[역제곱 법칙]]이다. [[행성]]을 공전하는 [[위성]], [[항성]]을 공전하는 행성, [[쌍성]]계 등이 이체 문제에 해당한다.

이체 문제는 식의 변형을 통해 두 개의 독립적인 [[일체문제]]로 변형될 수 있다. 일체문제는 [[퍼텐셜]] 안에서의 한 물체의 운동에 관한 식을 푸는 것으로 기술되며, 언제나 해석적인 해를 구할 수 있다. 그러므로 이체 문제도 언제나 해를 구할 수 있다. 그러나 [[삼체문제]] 이상의 [[다체문제]]에서는 특수한 경우를 제외하고는 해석적인 해를 구할 수 없고, 수치적인 방법을 쓴다.
[[파일:orbit2.gif|섬네일|오른쪽|200px|질량이 약간 차이나는 두 천체가 둘의 질량 중심 주위를 타원궤도로 돌고 있다. 이 형태는 [[명왕성]]-[[카론]] 계나 지구-달 계와 비슷하다. 단지 지구-달 계는 질량 중심이 지구 내부에 있다는 차이가 있다.]]

== 역사 ==
이체 문제에 관한 연구는 천체 역학으로부터 비롯되었다. 이체 문제의 역사는 독일의 천문학자 [[요하네스 케플러]]로부터 시작된다. 케플러는 덴마크의 천문학자 [[튀코 브라헤]]의 정밀 천체 관측 자료를 분석하여 행성의 운동에 관한 [[케플러의 법칙]]을 발견하였다. 이후 영국의 물리학자 [[아이작 뉴턴]], [[에드먼드 핼리]] 등은 천체 간의 [[역제곱 법칙|거리의 제곱에 반비례하는 힘]]으로 [[케플러의 법칙]]을 설명할 수 있다는 사실을 발견하고, 뉴턴은 이를 이용해 유명한 저서 [[프린키피아]]에서 수학적으로 행성들이 타원 궤도를 돈다는 것을 보였다. 또한, 뉴턴은 행성의 질량, 위치, 속도 정보를 이용하여 궤도를 계산하는 법을 개발했다. 뉴턴 이후 [[레온하르트 오일러]]는 '행성과 혜성의 운동'에서 [[오일러 방법]]을 이용하여 천체의 [[포물선]] 운동을 수학적으로 보였다. 핼리는 뉴턴의 법칙을 통해 [[핼리 혜성]] 등 [[혜성]]의 주기를 알아내는 데 성공했으며 이후 [[요한 람베르트]]는 오일러 방법을 일반화하여 행성의 타원, [[쌍곡선]] 궤도를 수학적으로 계산해내었다. 이후 [[조제프루이 라그랑주]]는 행성 간의 각도들을 이용하여 궤도를 계산하는 새로운 방법을 개발했다. 이 방법은 [[카를 프리드리히 가우스]]에 의해 훨씬 개선되었고, 현재도 계속 사용되고 있다.

== 두 개의 독립된 일체 문제로의 변형 ==
[[파일:Two-body Jacobi coordinates.JPG|섬네일|300px|이체문제 해결을 위한 야코비 좌표계. 야코비 좌표계는 <math>M = m_1+m_2 </math>일 때 <math>\boldsymbol{R}=\frac {m_1}{M} \boldsymbol{x}_1 + \frac {m_2}{M} \boldsymbol{x}_2 </math>이고 <math>\boldsymbol{r} = \boldsymbol{x}_1 - \boldsymbol{x}_2 </math>인 좌표계이다.<ref name=Betounes>{{서적 인용|title=Differential Equations |author=David Betounes |url=http://books.google.com/?id=oNvFAzQXBhsC&pg=PA58 |isbn=0387951407 |page=58; Figure 2.15 |year=2001 |publisher=Springer}}</ref>]]
두 물체 각각의 위치를 <math>\mathbf{x}_{1}</math>, <math>\mathbf{x}_{2}</math> 라하고, <math>\mathbf{m}_{1}</math>과 <math>\mathbf{m}_{2}</math>를 각각의 질량이라 하자. 이체 문제를 푼다는 것은 주어진 초기 위치 <math>\mathbf{x}_{1}(\mathbf{t}=0)</math>, <math>\mathbf{x}_{2}(\mathbf{t}=0)</math>와 초기 속도 <math>\mathbf{v}_{1}(\mathbf{t}=0)</math>, <math>\mathbf{v}_{2}(\mathbf{t}=0)</math>를 가지고 각각의 궤적 <math>\mathbf{x}_{1}(\mathbf{t})</math>과 <math>\mathbf{x}_{2}(\mathbf{t})</math>를 시간 <math>\mathbf{t}</math>에 대해 구하는 것이다.

각각의 물체에 대하여 [[뉴턴 운동 법칙#제2법칙: 가속도의 법칙|뉴턴의 운동 제2 법칙]]을 적용해보면
:<math>
\mathbf{F}_{12}(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2}) = m_{1} \ddot{\mathbf{x}}_{1} \quad \quad \quad (1)
</math>

:<math>
\mathbf{F}_{21}(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2}) = m_{2} \ddot{\mathbf{x}}_{2} \quad \quad \quad (2)
</math>

<math>\mathbf{F}_{12}</math>는 물체1에 가해지는 물체2와의 상호작용에 의한 힘이고, <math>\mathbf{F}_{21}</math>은 물체2에 가해지는 물체1과의 상호작용에 의한 힘이다.

위의 두 식을 더하고 빼는 과정을 통해 이체 문제를 두 개의 독립적인 일체 문제로 분리할 수 있다. (1)과 (2)를 더하면 이 계의 [[질량 중심]]의 운동을 시간에 대해 나타내는 식이 나오고, 두 식을 빼면 두 물체를 잇는 [[벡터]] <math>\mathbf{r} = \mathbf{x}_{1} - \mathbf{x}_{2}</math>의 시간에 대한 식이 나온다. 이 두 식의 해를 이용하여 각 물체의 궤적 <math>\mathbf{x}_{1}(\mathbf{t})</math>과 <math>\mathbf{x}_{2}(\mathbf{t})</math>를 구할 수 있다.

=== 질량 중심의 운동 ===

(1)과 (2)를 더하여 아래의 식을 얻을 수 있다.

:<math>
m_{1}\ddot{\mathbf{x}}_1 + m_2 \ddot{\mathbf{x}}_2 = (m_1 + m_2)\ddot{\mathbf{R}}  = \mathbf{F}_{12} + \mathbf{F}_{21} = 0
</math>

여기서 [[뉴턴 운동 법칙#제3법칙: 작용과 반작용의 법칙|뉴턴의 운동 제3 법칙]]에 의하여 <math>\mathbf{F}_{12} =- \mathbf{F}_{21}</math>이고,

:<math>
\ddot{\mathbf{R}}  \equiv \frac{m_{1}\ddot{\mathbf{x}}_{1} + m_{2}\ddot{\mathbf{x}}_{2}}{m_{1} + m_{2}}
</math>

:<math>
\mathbf{R}
</math>은 이 계의 질량 중심이다.
결과적으로는

:<math>
\ddot{\mathbf{R}}  = 0
</math>
이다.

이 식을 통해 [[질량 중심]]의 속도 <math>\mathbf{V} = \mathbf{d}\mathbf{R}/\mathbf{d}\mathbf{t}</math>는 일정함을 알 수 있고 총 [[운동량]] <math>\mathbf{m}_{1}\mathbf{v}_{1} + \mathbf{m}_{2}\mathbf{v}_{2}</math>도 일정함을 알 수 있다. ([[운동량 보존 법칙]]). 그러므로 [[질량 중심]]의 변위 <math>\mathbf{R}(\mathbf{t})</math>는 두 물체의 초기 위치와 초기 속도를 가지고 언제나 구할 수 있다.

=== 변위 벡터 r ===

(1)과 (2)를 각각 물체의 질량으로 나누어주고, (1)에서 (2)를 뺀 후에 정리하면

:<math>
\ddot {\mathbf{r}} = \ddot{\mathbf{x}}_{1} - \ddot{\mathbf{x}}_{2} = 
\left( \frac{\mathbf{F}_{12}}{m_{1}} - \frac{\mathbf{F}_{21}}{m_{2}} \right) =
\left(\frac{1}{m_{1}} + \frac{1}{m_{2}} \right)\mathbf{F}_{12}
</math>

여기서 뉴턴의 운동 제3 법칙 <math>\mathbf{F}_{12} =- \mathbf{F}_{21}</math>을 사용하였고, <math>\mathbf{r}</math>은 위에서 정의했듯이 물체2에서 물체1을 가리키는 변위 벡터이다.

두 물체 간에 작용하는 힘은 두 물체 간의 상호작용에 의해서 만들어진 것이기 때문에 <math>\mathbf{x}_{1}</math>과 <math>\mathbf{x}_{2}</math>를 포함하지 않는 오직 <math>\mathbf{r}</math>에 의한 함수여야만 한다. 그러므로 위의 식은 아래와 같이 쓸 수 있다.

:<math>
\mu \ddot{\mathbf{r}} = \mathbf{F}_{12}(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2}) = \mathbf{F}(\mathbf{r})
</math>

여기서 <math>\mu</math>는 '''[[환산 질량]]'''이다.

:<math>
\mu = \frac{1}{\frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_{2}}} = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}
</math>

<math>\mathbf{R}(\mathbf{t})</math>와 <math>\mathbf{r}(\mathbf{t})</math>가 구해지면 아래와 같이 각 물체의 궤적을 구할 수 있다.

:<math>
\mathbf{x}_1(t) = 
\mathbf{R} (t) + \frac{m_2}{m_1 + m_2} \mathbf{r}(t)
</math>

:<math>
\mathbf{x}_2(t) = 
\mathbf{R} (t) - \frac{m_{1}}{m_1 + m_2} \mathbf{r}(t)
</math>

이 식들은 <math>\mathbf{R}</math>과 <math>\mathbf{r}</math>의 정의를 우변에 대입해보면 쉽게 확인된다.

== 평면상의 이체 문제 ==

이체 문제에서 두 물체는 언제나 한 평면 위에서 움직이게 된다. [[운동량]] <math>\mathbf{p}</math>와 [[각운동량]] <math>\mathbf{L}</math>을 정의하면 아래의 식이 성립한다.

:<math>
\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p} = \mathbf{r} \times \mu \frac{d\mathbf{r}}{dt}
</math>

<math>\mathbf{L}</math>의 시간에 따른 변화는 알짜 [[돌림힘]] <math>\mathbf{N}</math>과 같고

:<math>
\mathbf{N} = \frac{d\mathbf{L}}{dt} = \dot{\mathbf{r}} \times \mu\dot{\mathbf{r}} + \mathbf{r} \times \mu\ddot{\mathbf{r}} \ ,
</math>

방향이 같은 두 벡터의 외적은 0이라는 외적의 성질을 이용하면

:<math>
 \mathbf{N} \ = \ \frac{d\mathbf{L}}{dt} = \mathbf{r} \times \mathbf{F} \ ,
</math>

이고, <math>\mathbf{F} = \mu\mathbf{d}^{2}\mathbf{r}/\mathbf{dt}^{2}</math>이다.

두 물체 사이의 힘이 두 물체를 잇는 선과 같은 방향이라고 가정하면, <math>\mathbf{r}</math>×<math>\mathbf{F} = 0 </math>이고 이는 [[각운동량]] 벡터 <math>\mathbf{L}</math>이 일정함을 의미한다.([[각운동량 보존]]) 그러므로 변위 벡터<math>\mathbf{r}</math>과 속도 벡터 <math>\mathbf{v}</math>는 언제나 <math>\mathbf{L}</math>에 수직인 평면 위에 함께 존재하게 된다.

== 중심력 ==
대부분의 물리 문제에서 [[중심력]] <math>\mathbf{F}(\mathbf{r})</math>은 아래와 같은 형식을 가진다.

:<math>\mathbf{F}(\mathbf{r}) = F(r)\hat{\mathbf{r}}</math>
여기서 r = |<math>\mathbf{r}</math>| 이고<math>\hat{\mathbf{r}}</math> = <math>\mathbf{r}</math>/r은 [[단위벡터]]이다. 그러므로
:<math>
\mu \ddot{\mathbf{r}} = {F}(r) \hat{\mathbf{r}} \ ,
</math>

이고, <math>\mathbf{F}(\mathbf{r})</math>은 인력이기 때문에 음수이다.

== 일 ==
이체문제에서 두 물체가 서로에게 작용한 힘에 의한 일은 한 힘이 물체 사이의 상대[[변위]]에 곱해진 것과 같다.

== 상대 운동 ==
이체 문제에서 한 물체가 다른 물체를 관측할 때, 그 다른 물체는 그 물체의 속도와 위치에 따라 [[원]], [[타원]], [[포물선]], [[쌍곡선]]의 네 가지 [[이차곡선]] 궤도 중 한 궤도를 그린다.

== 같이 보기 ==
* [[삼체 문제]]
* [[다체 문제]]
* [[비네 방정식]]
* [[비리얼 정리]]
* [[라플라스-룽게-렌츠 벡터]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용 | author = [[Lev Landau|Landau LD]], [[Evgeny Lifshitz|Lifshitz EM]] | year = 1976 | 제목 =  Mechanics | edition = 3rd. | publisher = Pergamon Press | location = New York | isbn = 0-08-029141-4}}
* {{서적 인용 | author = [[Herbert Goldstein|Goldstein H]] | year = 1980 | 제목 = [[Classical Mechanics (textbook)|Classical Mechanics]] | edition = 2nd. | publisher = Addison-Wesley | location = New York | isbn = 0-201-02918-9}}

== 외부 링크 ==
* [http://www.ae.utexas.edu/~jb24275/mathproject/main.pdf Analysis of the Two-Body and Restricted Three-Body Problem]{{깨진 링크|url=http://www.ae.utexas.edu/~jb24275/mathproject/main.pdf }} at [[Aerospace Engineering and Engineering Mechanics Department at the University of Texas at Austin]]
* [http://scienceworld.wolfram.com/physics/Two-BodyProblem.html Two-body problem] at [[ScienceWorld|Eric Weisstein's World of Physics]]

{{전거 통제}}

[[분류:천체역학]]
[[분류:고전역학]]
[[분류:물리학 개념]]