이차 형식 종수 문서 원본 보기

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[[이차 형식]] 이론에서, '''종수'''(種數, {{llang|en|genus}})는 [[대역체]]의 [[대수적 정수환]] 계수의 [[이차 형식]] 위에 정의되는 [[동치 관계]]이다. 이는 이차 형식의 동치보다 더 엉성하다.

== 정의 ==
[[대역체]] <math>K</math>의 [[대수적 정수환]] <math>\mathcal O_K</math> 위의 [[유한 생성 가군|유한 생성]] [[자유 가군]] <math>\mathcal O_K^n</math> 위의 두 이차 형식 <math>Q</math>, <math>Q'</math>이 다음 조건을 만족시킨다면, 같은 '''종수'''에 속한다고 한다.
* <math>K</math>의 모든 (유한 또는 무한) [[자리 (수론)|자리]] <math>\mathfrak p</math>에서, <math>Q\otimes_{\mathcal O_K}\mathcal O_{K_{\mathfrak p}}</math>는 <math>Q'\otimes_{\mathcal O_K}\mathcal O_{K_{\mathfrak p}}</math>와 동치이다. (여기서 <math>K_{\mathfrak p}</math>는 <math>\mathfrak p</math>에서의 [[국소체]]를 뜻하며, <math>\mathcal O_{K_{\mathfrak p}}</math>는 그 [[대수적 정수환]]이다. 만약 <math>\mathfrak p</math>가 아르키메데스 자리라면, <math>\mathcal O_{K_{\mathfrak p}}=K_{\mathfrak p}</math>이다.)
이는 <math>\mathcal O_K^n</math> 위의 이차 형식들의 동치류들의 집합 위의 [[동치 관계]]를 정의한다.

즉, 이는 [[하세-민코프스키 정리]]와 유사하게, 각 유한 · 무한 소수에서의 "정수환"에서 동치인 것이다. 그러나 유리수 계수의 경우와 달리 같은 종수에 속하는 두 정수 계수 이차 형식이 서로 동치이지 않을 수 있다.

즉, <math>V=K^n</math> 위의 이차 형식 <math>Q</math> 및 <math>V</math> 속의 두 <math>\mathcal O_K</math>-[[자유 가군]] <math>L,L'\subset V</math>가 주어졌을 때, <math>(L,Q|_L)</math>와  <math>(L',Q|_{L'})</math>이 같은 종수에 속한다는 것은 각 자리 <math>\mathfrak p\in\operatorname{Places}(K)</math>에 대하여
:<math>L\otimes_KK_{\mathfrak p}=f_{\mathfrak p}(L'\otimes_KK_{\mathfrak p})\subset V\otimes_KK_{\mathfrak p}</math>
가 되는
:<math>f_{\mathfrak p}\in\operatorname O(V\otimes_KK_{\mathfrak p},Q;K_{\mathfrak p})</math>
가 존재한다는 것과 같다.

=== 질량 ===
[[대역체]] <math>K</math>의 [[대수적 정수환]] <math>\mathcal O_K</math> 위의 <math>n</math>차원 [[자유 가군]] <math>\mathcal O_K^n</math> 위의 이차 형식 종수 <math>\mathcal G</math>의 '''질량'''({{llang|en|mass}})은 다음과 같다.
:<math>m(\mathcal G)=\sum_{Q\in\mathcal G}\frac1{|\operatorname O(n,Q;\mathbb O_K)|}</math>
여기서
* <math>\textstyle\sum_{Q\in\mathcal G}</math>는 종수 <math>g</math>에 속한 모든 [[이차 형식]]의 [[동치류]] <math>Q</math>에 대한 합이다.
* <math>\operatorname O(n,Q;\mathbb O_K)=\{f\in\operatorname{GL}(n;\mathcal O_K)\colon Q\circ f=Q\}</math>는 <math>Q</math>에 대한 [[직교군]]이다. 즉, <math>(\mathcal O_K^n,Q)</math>의 [[자기 동형군]]이다.
* <math>|\cdots|</math>는 [[집합의 크기]]이다.
즉, 질량은 종수에 속한 이차 형식의 수를 대칭군의 크기를 고려하여 센 것이다.

=== 스피너 종수 ===
[[대역체]] <math>K</math>가 주어졌다고 하자. <math>\mathcal O_K^n</math> 위의 두 이차 형식
:<math>Q,Q'\colon\mathcal O_K^n\to\mathcal O_K</math>
및
:<math>g\in\operatorname O(n,Q;K)</math>
:<math>f_{\mathfrak p}\in\operatorname{\Omega}(n,Q;K)\qquad(\mathfrak p\in\operatorname{Places}(K))</math>
에 대하여,
:<math>Q(v)=Q'\left(g(f_{\mathfrak p}(v))\right)\qquad\forall v\in K_{\mathfrak p}^n</math>
가 성립한다면, <math>Q</math>와 <math>Q'</math>이 같은 '''스피너 종수'''에 속한다고 한다.  여기서 <math>\operatorname{\Omega}(V,Q;K)=\ker\operatorname{sn}\subseteq\operatorname O(V,Q;K)</math>는 스피너 노름
:<math>\operatorname{sn}\colon\operatorname O(V,Q;K)\to K^\times/(K^\times)^2</math>
의 [[핵 (수학)|핵]]이다.

== 성질 ==
<math>\mathcal O_K</math> 계수의 [[이차 형식]]들에 대하여 정의되는 [[동치 관계]]들은 다음과 같다. 왼쪽으로 갈 수록 더 섬세한 [[동치 관계]]이며, 오른쪽으로 갈 수록 더 엉성한 [[동치 관계]]이다.
:<math>\mathcal O_K</math>-동치 → 같은 스피너 종수에 속함 → 같은 종수에 속함 → <math>K</math>-동치 (= 모든 자리에 대하여 <math>K_{\mathfrak p}</math>-동치)
이차 형식을 이차 형식 <math>Q\colon V\to K</math>가 주어진 벡터 공간 <math>V=\mathcal O_K^n</math> 속의 격자들로 생각한다면, 이들의 정의에 등장하는 대칭군은 다음과 같다.
:<math>\operatorname O(n,Q;K)</math> → <math>\operatorname O(n,Q;K)\times\prod_{\mathfrak p}'\operatorname\Omega(n,Q;K_{\mathfrak p})</math> → <math>\prod_{\mathfrak p}'\operatorname O(n,Q;K_{\mathfrak p})</math> → <math>\operatorname{GL}(n;K)</math>

사실, 종수를 정의하는 동치 관계는 [[아델 환|아델 이론]]을 사용하여 아델 직교군
:<math>\operatorname O(V_{\mathbb A},Q)=\prod_{\mathfrak p\in\operatorname{Places}(K)}'\operatorname O(V\otimes_KK_{\mathfrak p},Q;K_{\mathfrak p})</math>
로 생각할 수 있다. (여기서 <math>\textstyle\prod'</math>은 여유한 개의 원소가 1임을 뜻한다.) <math>\operatorname O(V_{\mathbb A})</math>는 <math>V</math> 위에 다음과 같이 작용한다. 우선, [[하세-민코프스키 정리]]에 의하여 다음 두 집합 사이에 자연스러운 [[전단사 함수]]가 존재한다.
* <math>K^n</math> 속의 <math>\mathcal O_K</math>-격자 <math>L\subset K^n</math>
* 각 자리에 대한 격자들의 [[수열|열]] <math>(L_{\mathfrak p}\subseteq K_{\mathfrak p}^n)_{\mathfrak p\in\operatorname{Places}(K)}</math> 가운데, 여유한 개의 <math>\mathfrak p</math>에 대하여 <math>L_{\mathfrak p}=\mathcal O_{K_{\mathfrak p}}^n\subset K_{\mathfrak p}^n</math>인 것.
따라서, <math>(g_{\mathfrak p})_{\mathfrak p\in\operatorname{Places}(K)}\in \operatorname O(V_{\mathbb A},Q)</math>는 <math>L\mapsto(L_{\mathfrak p})_{\mathfrak p\in\operatorname{Places}(K)}</math> 위에 다음과 같이 성분별로 작용한다.
:<math>(L_{\mathfrak p})_{\mathfrak p\in\operatorname{Places}(K)}\mapsto\left(g_{\mathfrak p}(L_{\mathfrak p})\right)_{\mathfrak p\in\operatorname{Places}(K)}</math>

같은 종수에 속한 이차 형식들은 같은 판별식을 갖는다. 따라서, 주어진 종수에 속하는 이차 형식의 동치류의 수는 유한하다.

주어진 종수에 속하는 스피너 종수의 수는 항상 2의 거듭제곱이다.

=== 질량 공식 ===
주어진 종수의 질량은 '''스미스-민코프스키-지겔 질량 공식'''(Smith-Minkowski-Siegel質量公式, {{llang|en|Smith–Minkowski–Siegel mass formula}})으로 구체적으로 계산할 수 있다.

구체적으로, <math>n\ge2</math>일 때, <math>\mathbb Q^n</math> 속의 <math>\mathbb Z</math>-격자 <math>\Lambda</math>가 속하는 종수의 질량은 다음과 같다.
:<math>m(\Lambda)=2\pi^{-n(n+1)/4}\prod_{j=1}^n\Gamma(j/2)\prod_p2m_p(\Lambda)</math>
:<math>m_p(\Lambda)=\frac{p^{(rn(n-1)+s(n+1))/2}}{N(p^r)}\qquad(r\gg1)</math>
:<math>N(p^r)=\operatorname{Aut}_{\mathbb F_{p^r}}(Q\otimes_{\mathbb Z}\mathbb F_{p^r})=\{M\in\operatorname{Mat}(n;\mathbb F_{p^r})\colon M^\top AM\}</math>
여기서
* <math>\textstyle\prod_p</math>는 모든 소수에 대한 곱이다. (이는 항상 유한하다.)
* <math>(r\gg1)</math>은 충분히 큰 <math>r</math>에 대하여 등식이 성립함을 뜻한다.
* <math>A</math>는 격자 <math>\Lambda</math>의 그람 행렬이다.
이 공식은 자명한 경우인 <math>n=0,1</math>일 때 성립하지 않을 수 있다. 이는 다음과 같은 점에서 기인한다.
* <math>m(\Lambda)</math>의 공식 맨 앞의 2는 [[특수 직교군]] <math>\operatorname{SO}(n)</math>의 다마가와 수({{llang|en|Tamagawa number}})인데, 이는 <math>n<2</math>일 때 1이다.
* <math>m_p(\Lambda)</math>의 공식 맨 앞의 2는 [[부분군의 지표|지표]] <math>[\operatorname O(n):\operatorname{SO}(n)]</math>를 뜻한다. 이는 <math>n=0</math>일 때 1이다.

== 역사 ==
2항 이차 형식의 종수의 개념 및 용어({{llang|la|genus|게누스}}, 복수 {{llang|la|genera|게네라}})는 [[카를 프리드리히 가우스]]가 1801년에 《산술 연구》({{llang|la|Disquisitiones Arithmeticae}})에서 도입하였다.<ref>{{서적 인용|이름=Carolus Fridericus|성=Gavss|저자링크=카를 프리드리히 가우스|제목=Disqvisitiones arithmeticae|출판사=in commissis apvd Gerh. Fleischer, Jun.|위치=[[라이프치히]]|날짜=1801|언어=la}}</ref>{{rp|Art. 231}}<ref name="Frei">{{서적 인용|url=http://www.labmath.uqam.ca/~annales/volumes/03-1/PDF/005-062.pdf|제목=On the development of the genus of quadratic forms|이름=Günther|성=Frei|저널=Annales des sciences mathématiques du Québec|날짜=1979|권=3|호=1|쪽=5–62|issn=2195-4755|언어=en|access-date=2016-04-13|archive-date=2020-07-16|archive-url=https://web.archive.org/web/20200716131707/http://www.labmath.uqam.ca/~annales/volumes/03-1/PDF/005-062.pdf|url-status=dead}}</ref>{{rp|11, Definition 1.2.5}}

1867년에 [[헨리 존 스티븐 스미스]]는 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식을 최초로 발견하였으나, 널리 알려지지 않았다.<ref>{{저널 인용|title=On the orders and genera of quadratic forms containing more than three indeterminates|first= H. J. Stephen|last= Smith |저자링크=헨리 존 스티븐 스미스|journal= Proceedings of the Royal Society of London|volume= 16|year=1867 |pages= 197–208 |jstor=112491|doi=10.1098/rspl.1867.0036 |jfm=01.0054.03|언어=en}}</ref> 1885년에 [[헤르만 민코프스키]]는 박사 학위 논문<ref>{{저널 인용|이름=Hermann|성=Minkowski|저자링크=헤르만 민코프스키|제목=Untersuchungen über quadratische Formen. I. Bestimmung der Anzahl verschiedener Formen, welche ein gegebenes Genus enthält|저널=Acta Mathematica|권=7|날짜=1885|쪽=201–258|doi=10.1007/BF02402203|issn=0001-5962|jfm=17.0159.01|언어=de}}</ref>에서 임의의 이차 형식의 종수의 개념을 도입하였고, 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식을 재발견하였다.

[[카를 루트비히 지겔]](1896~1982)은 1935년에 민코프스키가 제시한 질량 공식의 오류를 교정하여 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식을 완성하였다.<ref name="Siegel1">{{저널 인용|title= Über die analytische Theorie der quadratischen Formen |first=Carl Ludwig |last=Siegel |authorlink=카를 루트비히 지겔|journal=Annals of Mathematics. Second Series|volume=36|issue= 3|날짜= 1935-07|pages= 527–606 |jstor=1968644|doi= 10.2307/1968644|jfm=61.0140.01|zbl=0012.19703|언어=de}}</ref>

마르틴 아이클러({{llang|de|Martin Eichler}}, 1912~1992)는 스피너 종수를 사용하여 부정부호 정수 계수 이차 형식을 분류하였다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|제목=The origins of the genus concept in quadratic forms|url=http://www.math.umt.edu/tmme/vol6no1and2/TMME_vol6nos1and2_article12_pp.137_150.pdf|이름=Mark|성=Beintema|이름2=Azar|성2=Khosravani|날짜=2009|저널=The Montana Mathematics Enthusiast|issn=1551-3440|권=6|호=1–2|쪽=137–150|언어=en|확인날짜=2016년 4월 28일|보존url=https://web.archive.org/web/20150528170734/http://www.math.umt.edu/tmme/vol6no1and2/TMME_vol6nos1and2_article12_pp.137_150.pdf|보존날짜=2015년 5월 28일|url-status=dead}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Quadratic form}}
* {{nlab|id=Smith-Minkowski-Siegel mass formula}}
* {{수학노트|title=스미스-민코프스키-지겔 질량 공식}}
* {{수학노트|title=지겔-베유 공식}}

[[분류:이차 형식]]
[[분류:대수적 수론]]