이차 수체 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[대수적 수론]]에서 '''이차 수체'''(二次數體, {{llang|en|quadratic field}})는 [[차원]]이 2인 [[대수적 수체]]이다.

== 정의 ==
'''이차 수체'''는 <math>\mathbb Q(\sqrt d)</math>의 꼴인 [[대수적 수체]]이다. 여기서 <math>d</math>는 <math>+1</math>이 아닌 (음 또는 양의) [[제곱 인수가 없는 정수]]이다. 만약 <math>d>0</math>이면 <math>\mathbb Q(\sqrt d)</math>를 '''실수 이차 수체'''(實數二次數體, {{llang|en|real quadratic field}})라고 하고, <math>d<0</math>이면 '''복소 이차 수체'''(複素二次數體, {{llang|en|complex quadratic field}})라고 한다. 이차 수체의 [[대수적 정수환]]의 원소를 '''이차 정수'''(二次整數, {{llang|en|quadratic integer}})라고 한다.

== 성질 ==
=== 정수환 ===
이차 수체 <math>\mathbb Q(\sqrt d)</math>의 [[대수적 정수환]]은 다음과 같다.
:<math>\mathcal o_{\mathbb Q(\sqrt d)}=\begin{cases}\mathbb Z+\frac12(1+\sqrt d)\mathbb Z&d\equiv1\pmod4\\\mathbb Z+\sqrt d\mathbb Z&d\not\equiv1\pmod4\end{cases}</math>

=== 판별식 ===
이차 수체 <math>\mathbb Q(\sqrt d)</math>의 [[수체의 판별식|판별식]]은 다음과 같다.
:<math>\Delta_{\mathbb Q(\sqrt d)}=\begin{cases}d&d\equiv1\pmod4\\4d&d\not\equiv1\pmod4\end{cases}</math>
이는 <math>d\not\equiv1\pmod4</math>인 경우에는
:<math>\Delta=\left(\det\begin{pmatrix}1&\sqrt d\\1&-\sqrt d\end{pmatrix}\right)^2=4d</math>
이지만, <math>d\equiv1\pmod4</math>인 경우에는
:<math>\Delta=\left(\det\begin{pmatrix}1&(1+\sqrt d)/2\\1&(1-\sqrt d)/2\end{pmatrix}\right)^2=d</math>
이기 때문이다.

사실, 판별식이 <math>\Delta\equiv0,1\pmod4</math>인 이차 수체 <math>\mathbb Q(\sqrt\Delta)</math>의 대수적 정수환은 다음과 같이 쓸 수 있다.
:<math>\mathcal o_{\mathbb Q(\sqrt\Delta)}=\mathbb Z\left[\frac{\Delta+\sqrt\Delta}2\right]
=\begin{cases}
\mathbb Z\left[\frac{1+\sqrt\Delta}2\right]&d=\Delta\equiv1\pmod4\\
\mathbb Z[\sqrt{\Delta/4}]&4d=\Delta\equiv0\pmod4
\end{cases}
</math>
보다 일반적으로, 임의의 제곱수가 아닌 <math>\Delta\equiv0,1\pmod4</math>에 대하여, <math>\mathbb Z\left[\tfrac{\Delta+\sqrt\Delta}2\right]</math>는 이차 수체 <math>\mathbb Q(\sqrt\Delta)</math> 속의, 판별식 <math>\Delta</math> 정환({{llang|en|order}})을 이룬다. 반대로, 이차 수체 속의, 판별식이 <math>\Delta</math>인 정환은 이것 밖에 없다.<ref>{{서적 인용|이름=Manjul|성=Bhargava|저자링크=만줄 바르가바|url=http://www.mathunion.org/ICM/ICM2006.2/Main/icm2006.2.0271.0294.ocr.pdf|장=Higher composition laws and applications|제목=Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Madrid, Spain, 2006|날짜=2007|publisher=European Mathematical Society|언어=en|확인날짜=2016-04-21|보존url=https://web.archive.org/web/20160919085104/http://www.mathunion.org/ICM/ICM2006.2/Main/icm2006.2.0271.0294.ocr.pdf#|보존날짜=2016-09-19|url-status=dead}}</ref>{{rp|273, (2)}}

=== 소수의 분기화 ===
[[체의 확대]] <math>\mathbb Q(\sqrt d)/\mathbb Q</math>에서, 유리 소수 <math>p\in\mathbb Z</math>는 확대에 따라서 다음과 같은 [[분기화]]를 보인다.
* 만약 [[크로네커 기호]] <math>\left(\tfrac\Delta p\right)=-1</math>이라면, <math>(p)</math>는 <math>\mathcal o_{\mathbb Q(\sqrt d)}</math>에서 여전히 [[소 아이디얼]]이다.
* 만약 [[크로네커 기호]] <math>\left(\tfrac\Delta p\right)=+1</math>이라면, <math>(p)</math>는 <math>\mathcal o_{\mathbb Q(\sqrt d)}</math>에서 두 개의 서로 다른 [[소 아이디얼]]의 곱이다.
* 만약 <math>p\mid\Delta</math>라면, <math>(p)</math>는 <math>\mathcal o_{\mathbb Q(\sqrt d)}</math>의 어떤 [[소 아이디얼]]의 제곱이다.

=== 유수 ===
이차 수체의 [[유수 (수론)|유수]]는 매우 불규칙하다.

==== 실수 이차 수체 ====
유수가 <math>h</math>인 실수 이차 수체 <math>\mathbb Q(\sqrt d)</math>의 <math>d</math>들의 목록은 다음과 같다.
{| class=wikitable
! ''h'' || [[OEIS]] 번호 || ''d''
|-
! 1
| {{OEIS2C|A3172}} || 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 14, 17, 19, 21, …
|-
! 2
| {{OEIS2C|A29702}} || 10, 15, 26, 30, 34, 35, 39, 42, 51, 55, 58, 65, …
|-
! 3
| {{OEIS2C|A29703}} || 79, 142, 223, 229, 254, 257, 321, 326, 359, 443, …
|-
! 4
| {{OEIS2C|A29704}} || 82, 130, 145, 170, 195, 210, 219, 231, 255, 274, …
|-
! 5
| {{OEIS2C|A29705}} || 401, 439, 499, 727, 817, 982, 1093, 1126, 1327, …
|}

==== 허수 이차 수체 ====
유수가 <math>h</math>인 허수 이차 수체 <math>\mathbb Q(\sqrt{-d})</math>의 <math>d</math>들의 목록은 다음과 같다. 작은 <math>d</math>에 대하여 이 목록은 유한하며, 특히 <math>h=1</math>인 경우를 '''[[헤그너 수]]'''라고 한다.
{| class=wikitable
! ''h'' || [[OEIS]] 번호 || ''d''
|-
! 1
| {{OEIS2C|A3173}} || 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163
|-
! 2
| {{OEIS2C|A5847}} || 5, 6, 10, 13, 15, 22, 35, 37, 51, 58, 91, 115, 123, 187, 235, 267, 403, 427
|-
! 3
| {{OEIS2C|A6203}} || 23, 31, 59, 83, 107, 139, 211, 283, 307, 331, 379, 499, 547, 643, 883, 907
|-
! 4
| {{OEIS2C|A46085}} || 14, 17, 21, 30, 33, 34, 39, 42, 46, 55, 57, 70, 73, 78, 82, 85, 93, 97, 102, 130, 133, 142, 155, 177, 190, 193, 195, 203, 219, 253, 259, 291, 323, 355, 435, 483, 555, 595, 627, 667, 715, 723, 763, 795, 955, 1003, 1027, 1227, 1243, 1387, 1411, 1435, 1507, 1555
|-
! 5
| {{OEIS2C|A46002}} || 47, 79, 103, 127, 131, 179, 227, 347, 443, 523, 571, 619, 683, 691, 739, 787, 947, 1051, 1123, 1723, 1747, 1867, 2203, 2347, 2683
|-
! 6
| {{OEIS2C|A55109}} || 26, 29, 38, 53, 61, 87, 106, 109, 118, 157, 202, 214, 247, 262, 277, 298, 339, 358, 397, 411, 451, 515, 707, 771, 835, 843, 1059, 1099, 1147, 1203, 1219, 1267, 1315, 1347, 1363, 1563, 1603, 1843, 1915, 1963, 2227, 2283, 2443, 2515, 2563, 2787
|}

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
*{{eom|title=Quadratic field}}
*{{매스월드|title=Quadratic field|id=QuadraticField}}

== 같이 보기 ==
* [[삼차 수체]]
* [[원분체]]
* [[이차 유수 상수]]

[[분류:대수적 수론]]
[[분류:체론]]