이차 방정식 문서 원본 보기

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[[파일:Polynomialdeg2.svg|섬네일|right|200px|[[이차함수]] <math>y = x^2 - x - 2 = (x+1)(x-2)</math>의 그래프.<br /><br />'''x축'''과 그래프가 만나는 점의 '''x'''[[좌표계|좌표]]인 <math>x = -1</math>과 <math>x = 2</math>는 <math>x^2 - x - 2 = 0</math>이라는 이차방정식의 해가 된다.]]
'''이차방정식'''(二次方程式, {{llang|en|quadratic equation}})은 최고차항의 [[차 (수학)|차수]]가 2인 [[다항식|다항]] [[방정식]]이다. '<math>x</math>에 대한 이차식=0' 꼴로 나타내는 방정식을 <math>x</math>에 대한 [[이차방정식]]이라고 한다. <math>x</math>에 관한 이차 방정식의 일반적인 형태는
:<math> ax^2 + bx + c = 0 , \quad a \ne 0</math>
와 같고, 여기서 <math>x</math>는 [[변수 (수학)|변수]], <math>a</math>와 <math>b</math>는 각각 <math>x^2 , x</math>의 [[계수]]라고 하며, <math>c</math>는 상수항이라고 부른다. 일반적으로 [[인수분해]]를 이용해 풀이한다. 여기에서 <math>ax^2</math>에서 a의 값이 -이면 아래로 내려가고 +이면 위로 올라간다. 그리고 |a|의값이 커질수록 폭은 좁아진다.

[[복소수]] 상에서 이차방정식은 두 복소수 해 [[실수]]인 근 실근과 [[허수]]인 근 허근을 갖는다. 이차방정식의 두 근은 서로 중복될 수 있고, 이 때 중복되는 두 근이 실근인지 허근인지는 관계없이  '''중근'''이라고 한다.

== 이차 방정식의 근의 공식 ==
다음은 이차 방정식의 일반적인 해법인 근의 공식이다. 그 사용법은 다음과 같다.

:<math>ax^2 + bx + c = 0</math>, 단, <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>는 [[실수]]이고 <math>a\neq0</math>일 때, 이 방정식의 두 해 <math>x_1</math>, <math>x_2</math>는
:<math>x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}</math>이다.

이차 방정식의 근의 공식의 다른 형태는 다음과 같다.
:<math>x_{1,2}=\frac{2c}{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\ }}</math>, 단  <math>c \ne 0</math>일 경우에만 성립한다.<ref>물론, 이차방정식이므로 <math>a\neq0</math>도 만족해야 한다.</ref>

여기에서 [[제곱근]] 기호 안의 수, 즉 <math>b^2 - 4ac</math>를 이 이차방정식의 [[판별식]]이라고 하며, 주로 <math>D</math>로 나타낸다.

판별식의 값에 따라 방정식의 해는 세 가지로 나뉜다.

* 만약 판별식이 양수이면, 방정식은 서로 다른 두 실근을 갖는다.
* 만약 판별식이 0이면, 방정식은 한 개의 실근을 갖는다. 이 때의 실근을 '''중근'''이라고 한다.
* 만약 판별식이 음수이면, 방정식은 서로 다른 두 허근을 갖는다. 따라서, [[실수]] 범위 내에서는 해가 존재하지 않는다.

따라서, 제곱근 기호 <math>\sqrt{\;\;}</math>안의 수, 즉 <math>b^2 - 4ac</math>는 이 이차방정식의 [[판별식]]이 된다.
제곱근 루트의 성질에 의해서 루트의 내부가 양수이면 근의 공식은 <math>\pm\sqrt{\;\;}</math>가 살아있는 <math>2</math>개의 값이 되고, 루트의 내부가 <math>0</math>이면 루트는 없어짐으로  <math>1</math>개의 중복된 실수근을 갖게되고,
루트 내부에 음수가 존재하면 허수 <math>\sqrt{ -1 \;}</math>의 <math>i</math>가 생겨나므로 실수범위를 넘어서는 복소수체계에서 허수근을 갖게되겠다.

또한, 루트의 내부가 <math>0</math>이면 루트는 없어짐으로  <math>1</math>개의 중복된 실수근을 갖게 될때는,
:<math>{ {{-b} {\pm \sqrt{b^2-4ac}}  } \over  {2a} }= { { {-b}\cancel{\pm \sqrt{0}}  } \over  {2a} }=-{{b} \over {2a}}</math>

따라서, [[이차 함수#축|축]]의 방정식은 이와같이 유도되고,
따라서, [[이차 함수#축|이차함수]]의 [[이차 함수#꼭짓점|꼭지점]]과 [[대칭]] 축은   <math>-{ {b} \over {2a} }</math> 가 된다.

=== 근의 공식의 유도 ===
이차방정식의 근의 공식의 유도과정은 다음과 같다.<br />
좌변을 [[완전제곱식]]으로 만드는 것이다.<br />

<math>ax^2+bx+c=0</math>에서, <math>a</math>는 <math>0</math>이 아니므로 양변을 <math>a</math>로 나눌 수 있다.
이렇게 이차항 <math>x^2</math>의 계수를 <math>1</math>로 만든다.
:<math>\textstyle x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}=0</math>
가 얻어지고,  상수항만 우변으로 이항하면<br />
:<math>\textstyle x^2 + \frac{b}{a} x= - \frac{c}{a}</math><br />
일차항 <math>x</math>의 계수를 <math>2 </math>로 나누고 제곱한 상수항을 만들어 양변에 더해준다. <br />
:<math>\textstyle x^2 + \frac{b}{a} x + \left( \frac{b}{2a} \right)^2  = - \frac{c}{a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2</math><br />
:<math> \left(\textstyle x+ \frac{b}{2a} \right)^2 = - \frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}= {-{4a^2c} + {ab^2} \over {4a^3}}= {-{4ac} + {b^2} \over {4a^2}}</math><br />
제곱근을 취하면
:<math>\ x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\  }}{2a}</math>
:<math>x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\  }}{2a} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\  }}{2a}</math> (단, <math>a\neq0</math>)
가 얻어진다.

이차방정식 근의공식의 유도과정 아이디어는 고차방정식의 응용면에서도 중요하게 이용된다. 또한 판별식 <math> D= b^2 -4ac</math>가 <math>0</math>일때, 즉 <br />
<math>b^2 -4ac =0 </math> 은 방정식이 중근을 갖는, 완전제곱식이 되는 조건을 만족함을 의미한다.<br />

<math>D=\left( {b \over a} \right)^2 -4 \left( {b  \over 2a} \right)^2 =0 </math>

=== 짝수 공식 ===
이차 방정식에서 일차항의 계수 <math> b </math>가 짝수인 경우 <math>\scriptstyle b' = \frac{b}{2} </math>를 대입하면,
위에 제시된 근의 공식을 이용하는 것보다 아래의 [[짝수]] 공식을 이용하는 쪽이 더 간단하게 표현된다.

: <math>x = \frac{-b' \pm \sqrt {b'^2-ac\ }}{a} </math>

===== 근의 공식을 이용한 이차 방정식의 풀이 =====
이차 방정식 <math> x^2+x-1=0 </math> 을 근의 공식을 이용하여 풀어보자.
근의 공식 <math>x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}</math> 에 각각 이차항, 일차항 그리고 상수항의 계수들을 대입하면<br />
<math>x_{1,2}=\frac{-1 \pm \sqrt {1^2+4\ }}{2}</math><br /> <math>x_{1,2}=\frac{-1 \pm \sqrt {5\ }}{2}</math>이다.

=== 차 고차항 압축 정리([[취른하우스 변형]])에 의한  근의 공식 유도 ===
다항 방정식에서 양변의 각항들을 해당 방정식의  최고차항( <math>n</math>차항)의 <math>x</math>의 계수, <math>a</math>로 나눈 다음 <math>\textstyle x=y- {b \over \mathbf{n} a}</math>의 형태로 치환해서 차고차항(최고차항의 바로 아랫차항)을 생략시킬 수 있는데 이러한 절차로 정리하는 것을 차고차항 압축 정리(zipping)이라고 가정했을때,
<!--Square function by  Zipping  a second primary degree term.
to divide both sides by the coefficient of <math>x^{n}</math>
and to permute by <math>  x=y- {b \over \mathbf{n} a} </math>
  -->

이차 방정식
:<math>ax^2 + bx + c = 0</math>은 다음의 꼴로 정리되고,
:<math>x^2+{b \over a}x+{c \over a}=0</math>
그리고
:<math>y^2+p=0</math>의 꼴로 정리해서,
:<math>x= y- {b \over \mathbf{n} a}</math>로 다시 정리하면 되겠다.
따라서,
:<math>x^2+{b \over a}x+{c \over a}=0,\qquad x= y- {b \over \mathbf{2} a} </math>
:<math> \left(y- {b \over \mathbf{2} a} \right)^2 + {b \over a}\left(y- {b \over \mathbf{2} a} \right)+{c \over a}=0 </math>
우선, <math> \left(y- {b \over \mathbf{2} a} \right)^2= \left(y- {b \over \mathbf{2} a} \right)\left(y- {b \over \mathbf{2} a} \right)=\left(y^2-{b \over 2a}y-{b \over 2a}y+ \left({b \over \mathbf{2} a} \right)^2 \right)</math>
:<math>=\left(y^2-2{b \over 2a}y+ \left({b \over \mathbf{2} a} \right)^2 \right)=\left(y^2-{b \over a}y+ \left({b \over \mathbf{2} a} \right)^2 \right) </math>
따라서,
:<math>\left(y^2-{b \over a}y+ \left({b \over \mathbf{2} a} \right)^2 \right)+ {b \over a}\left(y- {b \over \mathbf{2} a} \right)+{c \over a}=0  </math>
:<math>\left(y^2-{b \over a}y+ \left({b \over \mathbf{2} a} \right)^2 \right)+ \left({b \over a}y- {b \over a}{b \over \mathbf{2} a} \right)+{c \over a}=0  </math>
:<math>\left(y^2-{b \over a}y+ \left({b \over \mathbf{2} a} \right)^2 \right)+ \left({b \over a}y- {b^2 \over \mathbf{2} a^2} \right)+{c \over a}=0  </math>
:<math>y^2 \cancel{-{b \over a}y}+ \left({b \over \mathbf{2} a} \right)^2 \cancel{+ {b \over a}y}- {b^2 \over \mathbf{2} a^2} +{c \over a}=0  </math>
:<math>y^2 + \left( {1 \over 4}\left({b \over  a} \right)^2 - {1 \over 2}\left({b \over a} \right)^2 \right)+{c \over a}=0  </math>
:<math>y^2 - {1 \over 4}\left({b \over  a} \right)^2 +{c \over a}=0  </math>
:<math>y^2 - \left({b^2 \over  4a^2} \right) +{c \over a}=0  </math>
:<math>y^2 ={b^2 \over  4a^2}  -{c \over a}  </math>
:<math>y^2 ={{ab^2 -4a^2c}\over  4a^3}={{b^2 -4ac}\over  4a^2}    </math>
:<math>\sqrt{y^2}=\pm\sqrt{  {{b^2 -4ac}\over  4a^2}   }  </math>
:<math>y=  {\pm\sqrt{{b^2 -4ac}}\over  2a}     </math>
:<math>x= y- {b \over \mathbf{n} a}</math>에서,
:<math>x= {\pm\sqrt{{b^2 -4ac}}\over  2a}- {b \over 2a}</math>
:<math>x= {\pm\sqrt{{b^2 -4ac}}-b\over  2a}</math>
:<math>x= {-b\pm\sqrt{{b^2 -4ac}}\over  2a}</math>
여기에서도 아이디어는 좌변을 [[완전제곱식]]으로 만드는 것이다.
여기서는 완전제곱식은 <math>y^2</math>이다.

이러한 <math> {b \over \mathbf{n} a}</math> 값은 이차함수의 꼭지점인 [[이차 함수#축|축]]의 값과 관계있다.

== 근과 계수의 관계 ==
{{참고|근과 계수의 관계}}

=== 근의 공식을 이용한 근과 계수의 관계 증명 1 ===
<math>ax^2+bx+c=0</math>의 두 근 <math>\alpha, \beta</math>를 각각

<math>\alpha=\frac {-b+\sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}</math>

<math>\beta=\frac {-b-\sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}</math>이라고 하면(순서는 바뀌어도 무관)

*<math>\alpha + \beta = \frac {-b-b+\sqrt {b^2-4ac\ }-\sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}</math>

<math>\alpha + \beta = \frac {-2b}{2a}</math><br />


<math>\therefore \alpha + \beta =-\frac {b}{a}</math><br /><br />


*<math>\alpha \beta =\frac {b^2-(\sqrt {b^2-4ac\ })^2}{(2a)^2}</math>

<math>\alpha \beta =\frac {b^2-b^2+4ac}{4a^2}</math>

<math>\alpha \beta =\frac {4ac}{4a^2}</math>

<math>\therefore \alpha \beta =\frac {c}{a}</math>


*<math>\left| \alpha - \beta \right| = \left| \frac {-b+\sqrt {b^2-4ac\ }+b+\sqrt {b^2-4ac\ }}{2a} \right| </math>

<math>\left| \alpha - \beta \right| = \left| \frac {2\sqrt {b^2-4ac\ }}{2a} \right| </math>

<math>\therefore \left| \alpha - \beta \right| = \frac {\sqrt{b^2-4ac\ }}{\left| a \right|} </math>

단, a는 [[0]]이 반드시 아니어야 한다.([[0으로 나누기]]에 따르면 분모가 [[0]]일 때 값을 정의할 수 없기 때문이다.)

=== 이차방정식 만들기를 이용한 근과 계수의 관계 증명 2 ===

<math>ax^2+bx+c=0</math>의 두근 을 각 <math>\alpha, \beta</math>라고 정의하고

<math>\alpha, \beta</math>을 근으로 갖는 이차방정식을 <math>(x-\alpha)(x-\beta)=0</math>이라 한 후

이 이차방정식 앞에 계수 <math>a</math>(단,<math>a</math>는 <math>0</math>이 아니다)를 붙여주면(∵ 계수를 붙이건 안 붙이건 근은 같으므로)

<math>ax^2+bx+c=0 \iff a(x-\alpha)(x-\beta)=0</math>

(∵ 두 이차방정식의 해가 같으므로)


먼저 두 번째 이차방정식인 <math>a(x- \alpha)(x- \beta)=0</math>의 계수를 나누고 전개해주면

<math>x^2+(- \alpha - \beta)x+\alpha \beta</math> - ⓐ

또한, 첫 번째 이차방정식인 <math>ax^2+bx+c=0</math> 또한 두 번째 이차방정식을 전개할 때와 마찬가지로

최고차항 <math>ax^2</math>의 계수 <math>a</math>로 나눠주면

<math>x^2+\frac {b}{a}x+\frac {c}{a}=0</math> - ⓑ

ⓐ = ⓑ 이므로, 따라서

<math>-\alpha - \beta=\frac {b}{a}, -(\alpha + \beta)=\frac {b}{a}</math>

<math>\therefore \alpha + \beta = -\frac {b}{a}</math><br /><br />

<math>\therefore \alpha \beta = \frac {c}{a}</math>

참고로 이 차방정식은 [[브라마굽타 공식|브라마굽타에]] 이어 [[콰리즈미|알콰리즈미]]에 의해 공식이 구해졌다.

== 같이 보기 ==
* [[일차 방정식]]
* [[삼차 방정식]]
* [[사차 방정식]]
* [[오차 방정식]]
* [[육차 방정식]]
* [[칠차 방정식]]
* [[방정식]]
* [[비에트 정리]]
* [[일차 함수]]
* [[이차 함수]]
* [[황금비]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
{{포털|수학}}
* {{위키공용분류-줄}}

{{전거 통제}}

[[분류:방정식]]
[[분류:다항식]]
[[분류:초등대수학]]