이진 유리수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Dyadic rational.svg|섬네일|300px|0부터 1까지의 이진유리수]]

[[수학]]에서 '''이진 유리수'''(二進有理數, {{lang|en|dyadic rational}}) 또는 '''이진 분수'''(二進分數, {{lang|en|dyadic fraction}})는 [[이진법 전개]]가 유한한 [[유리수]]이다. 즉, [[분자]]가 [[정수]], [[분모]]가 2의 [[거듭제곱]]인 [[분수 (수학)|분수]]로 나타낼 수 있는 유리수이다. 예를 들어, 1/2, 3/8은 이진 유리수이며, 1/3은 이진 유리수가 아니다.

== 정의 ==
'''이진 유리수'''는 다음과 같은 꼴의 수이다.
:<math>\frac a{2^b}\qquad(a,b\in\mathbb Z,\;b\ge 0)</math>

== 성질 ==
=== 연산에 대한 닫힘 ===
두 이진 유리수의 [[덧셈|합]]·[[뺄셈|차]]·[[곱셈|곱]] 역시 이진 유리수이다.
:<math>\frac a{2^b}+\frac c{2^d}=\frac{2^{d-b}a+c}{2^d}\qquad(b\le d)</math>
:<math>\frac a{2^b}-\frac c{2^d}=\frac{2^{d-b}a-c}{2^d}\qquad(b\le d)</math>
:<math>\frac a{2^b}-\frac c{2^d}=\frac{a-2^{b-d}c}{2^b}\qquad(b>d)</math>
:<math>\frac a{2^b}\times\frac c{2^d}=\frac{ac}{2^{b+d}}</math>
그러나, 두 이진 유리수의 [[나눗셈|몫]]은 이진 유리수가 아닐 수 있다.
:<math>\frac a{2^b}\div\frac c{2^d}=\frac{2^{d-b}a}c\qquad(b\le d)</math>
:<math>\frac a{2^b}\div\frac c{2^d}=\frac a{2^{b-d}c}\qquad(b>d)</math>

=== 대수적 성질 ===
이진 유리수의 집합은 [[유리수환]]의 [[부분환]]을 이루며, 이 부분환은 정수환의 2의 거듭제곱의 곱셈 모노이드에 대한 [[국소화 (환론)|국소화]] <math>\{2^n\colon n\in\mathbb N\}^{-1}\mathbb Z</math>이다. 이진 유리수의 덧셈군의 정수 덧셈군에 대한 [[몫군]]은 [[프뤼퍼 2-군]]과 [[동형]]이다.

=== 순서론적 성질 ===
임의의 [[가산 집합|가산]] [[전순서 집합]]은 항상 <math>\{a/2^b\in[0,1]\colon a,b\in\mathbb Z,\;b\ge 0\}</math>의 [[부분 집합]]과 [[동형]]이다.

=== 위상수학적 성질 ===
이진 유리수들은 [[실수선]]의 [[조밀 집합]]을 이룬다. 구체적으로, 임의의 실수 <math>x\in\mathbb R</math>를 이진 유리수열 <math>(\lfloor 2^nx\rfloor/2^n)_{n=0}^\infty</math>로 얼마든지 가깝게 근사할 수 있다.

== 응용 ==
[[초현실수]]는 유한 이진 분수를 만든 후 무한대, 무한소 그리고 다른 수들을 만들어 내는 구성 규칙을 반복하여 만들어진다.

이진 [[반 데르 코르푸트 수열]]은 양의 이진 유리수의 [[균등 분배 수열|균등 분배]]적인 [[순열]]이다.

이진 유리수는 [[우리손의 보조정리]]를 비롯한 명제들의 증명에서 응용된다.

=== 측량 ===
[[인치]]의 소수부분은 습관상 이진분수로 표시한다. 고대 이집트인들도 측량에 분모가 64 이하인 이진분수를 사용하였다.<ref>{{인용
  | language = en
  | title = Concept of the exponential law prior to 1900
  | last = Curtis | first = Lorenzo J.
  | journal = [[미국 물리학 저널|American Journal of Physics]]
  | year = 1978
  | volume = 46
  | issue = 9
  | pages = 896–906
  | doi = 10.1119/1.11512}}.</ref>

=== 음악 ===
[[박자표]]는 관례적으로 이진분수로 이루어진 서양 [[기보법]]이다. 20세기쯤 비이진법적 박자표가 작곡가들에 의해 도입되었지만 말이다.

== 같이 보기 ==
* [[반정수]]는 홀수를 2로 나눠 얻어지는 수이며, 이진 유리수의 특수한 경우이다.
* [[p진수|2진수]]는 이진 유리수를 확장한 수 체계이다.

== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:분수]]
[[분류:유리수]]