이중 타원 전이 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
'''이중 타원 전이'''({{llang|en|Bi-elliptic transfer}})는 [[우주선]]을 한 [[궤도]]에서 다른 궤도로 이동시키는 방법 중 하나로, 반으로 잘린 [[타원 궤도]] 두 개가 사용된다.

출발 궤도에서 첫 번째 분사를 통해 중심체에서 궤도 원점이 <math>r_b</math>만큼 떨어진 궤도로 옮겨간 다음, 원점에서의 두 번째 분사를 통해 근점을 최종 목표 궤도의 고도로 맞춘 다음, 세 번째 분사로 목표 궤도에 진입한다.<ref name="Curtis">{{서적 인용| last = Curtis | first = Howard | title = Orbital Mechanics for Engineering Students | page = 264 | publisher = Elsevier | year = 2005 | isbn = 0-7506-6169-0 | url = https://books.google.com.mx/books?id=6aO9aGNBAgIC}}</ref> 호만 전이에 비해 엔진 분사가 한 번 더 필요하고 전이 시간도 길지만, 조건에 따라서 이중 타원 전이가 호만 전이보다 델타 V의 소모량이 적은 경우도 있다.<ref name="Vallado">{{서적 인용| last = Vallado | first = David Anthony | title = Fundamentals of Astrodynamics and Applications | page = 318 | publisher = Springer | year = 2001 | isbn = 0-7923-6903-3 | url = https://books.google.com/books?id=PJLlWzMBKjkC&printsec}}</ref>

==계산==
===델타 V===
[[파일:Bi-elliptic transfer.svg|섬네일|250px|저고도 궤도(파랑)에서 고고도 궤도(빨강)로 올라가는 이중 타원 전이의 모습.]]
세 번의 속도 변화는 모두 [[활력방정식]]에서 직접 유도할 수 있다.
:<math>v^2 = \mu \left( \frac{2}{r} - \frac{1}{a} \right),</math>
* <math>v</math>은 위성의 속도이다.
* <math>\mu = GM</math>은 중심체의 [[표준 중력 변수]]이다.
* <math>r</math>은 중심체와 위성 사이의 거리, 즉 궤도 반지름이다.
* <math>a</math>은 위성의 궤도 [[긴반지름]]이다.

이를 이용해 다음 기호를 정의할 수 있다.
* <math>r_1</math>은 출발 궤도의 반지름이다.
* <math>r_2</math>은 최종 궤도의 반지름이다.
* <math>r_b</math>은 두 전이 궤도의 공통 원점 고도로, 이중 타원 전이의 자유 변수이다.
* <math>a_1</math>와 <math>a_2</math>은 두 타원 전이 궤도의 긴반지름으로, 다음과 같이 구할 수 있다.
*: <math>a_1 = \frac{r_1 + r_b}{2}</math>,
*: <math>a_2 = \frac{r_2 + r_b}{2}</math>.

반지름 <math>r_1</math>인 원 궤도에서 시작할 때, [[순행 운동|순행]] 방향으로 분사하여 첫 번째 타원 전이 궤도로 들어가게 된다. 이 때 필요한 델타 V는 다음과 같다.

:<math>\Delta v_1 = \sqrt{ \frac{2 \mu}{r_1} - \frac{\mu}{a_1}} - \sqrt{\frac{\mu}{r_1}}. </math>

첫 번째 타원 전이 궤도의 원점에 도달했으면 궤도 중심체와의 거리는 <math>r_b</math>가 된다. 둘째 분사를 통해 근지점의 궤도를 목표 원궤도로 올리면, 우주선의 궤도는 두 번째 타원 전이 궤도가 된다. 이 때 필요한 델타 V는 다음과 같다.

:<math>\Delta v_2 = \sqrt{\frac{2 \mu}{r_b} - \frac{\mu}{a_2}} - \sqrt{\frac{2 \mu}{r_b} - \frac{\mu}{a_1}}.</math>

마지막으로 고도 <math>r_2</math>인 지점에 도달하면, [[역행 운동|역행]] 방향으로 분사하면 궤도가 원형이 되고, 목표 궤도에 진입하게 된다. 마지막 분사에 필요한 델타 V는 다음과 같다.

:<math>\Delta v_3 = \sqrt{\frac{2 \mu}{r_2} - \frac{\mu}{a_2}} - \sqrt{\frac{\mu}{r_2}}.</math>

만약 <math>r_b = r_2</math>라면 일반적인 호만 전이가 되며, <math>\Delta v_3 = 0</math>이 된다. 따라서 호만 전이는 이중 타원 전이에서 분사가 2번밖에 없는 특수한 경우로 정의할 수 있다.

[[파일:Bi-parabolicTransfer.pdf|섬네일|저고도 궤도(파랑)에서 고고도 궤도(빨강)로 올라가는 이중 포물선 전이의 모습.]]
<math>r_b = \infty</math>로 둔다면 델타 V 절약량의 최대치를 계산할 수 있으며, 총 <math>\Delta v</math>는 <math>\sqrt{\mu/r_1} \left(\sqrt{2} - 1\right) \left(1 + \sqrt{r_1/r_2}\right)</math>로 단순화된다. 이 경우에는 타원 대신 [[포물선 궤도]]를 사용하기 때문에, 이중 포물선 전이라고 하기도 한다. 전이 시간은 무한이 된다.

===전이 시간===
호만 전이와 유사하게 이중 타원 전이에서도 타원 궤도의 반을 이용하기 때문에, 전이 시간은 각 궤도 주기의 반씩을 더한 것과 같다. 공전 주기를 계산하는 식은 다음과 같다.

:<math>T = 2 \pi \sqrt{\frac{a^3}{\mu}}.</math>

총 전이 시간 <math>t</math>는 각 궤도에서 보내는 시간의 합과 같다.
:<math>t_1 = \pi \sqrt{\frac{a_1^3}{\mu}} \quad \text{,} \quad t_2 = \pi \sqrt{\frac{a_2^3}{\mu}}</math>
:<math>t = t_1 + t_2.</math>

==호만 전이와의 비교==
===델타 V===
[[파일:Bielliptic transfers comparison.svg|섬네일|upright=1.5|반지름 비의 함수로 나타낸, 호만 전이(두꺼운 검은 선)와 이중 타원 전이(색이 있는 선)의 델타 V 소모량.]]

반지름의 비 <math>R \equiv r_2 / r_1</math>이 11.94보다 작을 시 호만 전이의 효율이 항상 좋다. 반면 <math>R</math>이 15.58이 넘을 시, 전이 궤도의 원점 <math>r_b</math>에 상관없이, 이중 타원 전이의 효율이 항상 좋다. 11.94와 15.58 사이에서는 <math>r_b</math>의 값에 따라 어느 전이 방법이 더 효율적인지가 결정된다.<ref>{{저널 인용
| last       = Gobetz
| first      = F. W.
| last2      = Doll
| first2     = J. R.
| date       = May 1969
| title      = A Survey of Impulsive Trajectories
| journal    = AIAA Journal
| publisher  = American Institute of Aeronautics and Astronautics
| volume     = 7
| issue      = 5
| pages      = 801–834
| doi        = 10.2514/3.5231| bibcode= 1969AIAAJ...7..801D
}}</ref>

{| class="wikitable"
|+ 이중 타원 전이의 <math>\Delta v</math> 소모량이 호만 전이보다 더 작게끔 해주는 <math>\alpha \equiv r_b/r_1</math>의 최솟값<ref>{{서적 인용
 | first = Pedro R.
 | last = Escobal
 | title = Methods of Astrodynamics
 | location = New York
 | publisher = John Wiley & Sons
 | year = 1968
 | isbn = 978-0-471-24528-5
}}</ref>
! 반지름의 비 <math>R \equiv \frac{r_2}{r_1}</math>
! 최소 <math>\alpha \equiv \frac{r_b}{r_1}</math>
! 참조
|-
| <11.94 || {{n/a}} || 호만 전이가 항상 우세
|-
|  11.94 || <math>\infty</math> || 이중 포물선 전이
|-
|  12    || 815.81 ||
|-
|  13    || 48.90 ||
|-
|  14    || 26.10 ||
|-
|  15    || 18.19 ||
|-
|  15.58 || 15.58 ||
|-
| >15.58 || <math>> \frac{r_2}{r_1}</math> || 이중 타원 전이가 항상 우세
|}

===전이 시간===
: <math>t = \pi\sqrt{\frac{a_1^3}{\mu}} + \pi\sqrt{\frac{a_2^3}{\mu}}</math>

이중 타원 전이의 긴 소요 시간은 큰 단점이며, 포물선이 될 경우 무한으로 발산한다. 호만 전이는 전이 궤도가 하나밖에 없기 때문에, 전이 시간은 이중 타원 전이의 절반 이하이다.

==예시==
{{nowrap|''r''<sub>0</sub> {{=}} 6700&nbsp;km}}인 지구 저궤도에서 {{nowrap|''r''<sub>1</sub> {{=}} 93 800&nbsp;km}}인 궤도로 올라가기 위해서는, [[호만 전이]]를 이용할 시  Δ''v'' {{=}} {{nowrap|2825.02 + 1308.70 {{=}} 4133.72&nbsp;m/s}}이 된다. 여기서 {{nowrap|''r''<sub>1</sub> {{=}} 14''r''<sub>0</sub> &gt; 11.94''r''<sub>0</sub>}}이기 때문에, 이중 타원 전이로 효율을 더 높일 수 있다. 우주선이 처음에 3061.04&nbsp;m/s만큼 가속하면 {{nowrap|''r''<sub>2</sub> {{=}} 40''r''<sub>0</sub> {{=}} 268 000&nbsp;km}}인 타원 궤도로 진입하고, 608.825&nbsp;m/s를 추가로 가속하면 {{nowrap|''r''<sub>1</sub> {{=}} 93 800&nbsp;km}}인 타원 궤도로 진입하며, 마지막으로 447.662&nbsp;m/s만큼 감속하면 목표 원궤도에 진입한다. 이 때의 총 Δv는 4117.53&nbsp;m/s로, 호만 전이에 비해 16.19&nbsp;m/s (0.4%) 적다.

Δ''v'' 절약량은 전이 궤도의 원점 고도를 증가시킴으로써 늘릴 수 있으며, 전이 시간도 같이 늘어난다. 예시로, {{nowrap|75.8''r''<sub>0</sub> {{=}} 507 688&nbsp;km}}(달 궤도의 1.3배)까지 올라간다면 호만 전이에 비해 Δ''v''를 1% 절약할 수 있으나, 전이 시간이 17일로 증가한다.  극적인 예시로, {{nowrap|1757''r''<sub>0</sub> {{=}} 11 770 000&nbsp;km}}(달 궤도의 30배)까지 올라간다면 Δ''v''를 2% 절약할 수 있지만, 전이 시간이 4.5년으로 늘며, 태양계 다른 천체들의 섭동을 받을 수 있다. 참고로 호만 전이로는 15시간 34분이 소요된다.

{| class='wikitable'
|+ 다양한 궤도 전이의 Δ''v''
! colspan=2 | 종류
!             호만
! colspan=4 | 이중 타원
|-
! colspan=2 | 원지점 (km)
|  93 800            || 268 000            || 507 688            || 11 770 000          || ∞ <!-- The infinite limit -->
|-
! rowspan=3 | 분사<br/>(m/s)
! 1
| {{증가}} 2825.02 || {{증가}} 3061.04  || {{증가}} 3123.62  || {{증가}} 3191.79 || {{증가}} 3194.89
|-
! 2
| {{증가}} 1308.70 || {{증가}} 608.825  || {{증가}} 351.836  || {{증가}} 16.9336 || {{보합}} 0
|-
! 3
| {{보합}} 0         || {{감소}} 447.662  || {{감소}} 616.926  || {{감소}} 842.322 || {{감소}} 853.870
|-
! colspan=2 | 총합 (m/s)
| 4133.72           || 4117.53           || 4092.38           || 4051.04           || 4048.76
|-
!  colspan=2 | 호만 전이에 대한 비
| 100%              || 99.6%             || 99.0%             || 98.0%             || 97.94%
|}
{{ubl
| {{증가}} 순행 방향의 Δ''v''
| {{감소}} 역행 방향의 Δ''v''
}}

이중 타원 전이는 최초 분사에서의 델타 V 사용량이 더 높으며, 이로 인해 [[고유 궤도 에너지]]에 영향을 더 크게 준다. 또한 전체 델타 V가 감소하는 것은 [[오베르트 효과]]에 의한 것이다.

== 같이 보기 ==
{{포털|우주 개발}}
* [[호만 전이 궤도]]

== 각주 ==
{{각주}}

{{궤도}}

[[분류:천체동역학]]
[[분류:우주선 추진]]