이중 잉여류 문서 원본 보기

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[[군론]]에서 '''이중 잉여류'''(二重剩餘類, {{llang|en|double coset}})는 주어진 두 [[부분군]]에 의하여 결정되는 [[동치 관계]]에 대한 [[동치류]]이다.

== 정의 ==
[[군 (수학)|군]] <math>G</math>의 두 [[부분군]] <math>H,K\le G</math> 및 군의 원소 <math>g\in G</math>에 대하여, <math>H</math>와 <math>K</math>에 대한 <math>g</math>의 '''이중 잉여류'''는 다음과 같다.
:<math>HgK=\{hgk\colon h\in H,\;k\in K\}</math>
특히, <math>H</math>가 [[자명 부분군]]일 경우 이는 <math>K</math>에 대한 <math>g</math>의 [[왼쪽 잉여류]] <math>gK</math>이며, <math>K</math>가 자명 부분군일 경우 이는 <math>H</math>에 대한 <math>g</math>의 [[오른쪽 잉여류]] <math>Hg</math>이다. <math>H</math>와 <math>K</math>가 모두 <math>G</math>의 [[정규 부분군]]일 경우, <math>H</math>와 <math>K</math>에 대한 이중 잉여류와 <math>K</math>와 <math>H</math>에 대한 이중 잉여류는 일치한다. <math>G</math> 속 <math>H</math>와 <math>K</math>에 대한 이중 잉여류의 집합은 <math>H\backslash G/K</math>로 표기한다.

== 성질 ==
군 <math>G</math>의 두 부분군 <math>H,K\le G</math>에 대하여, 이중 잉여류의 집합 <math>H\backslash G/K</math>는 <math>G</math>의 [[집합의 분할|분할]]을 이룬다. 즉, 임의의 <math>g,g'\in G</math>에 대하여, <math>HgK=Hg'K</math>이거나 <math>HgK\cap Hg'K=\varnothing</math>이다.

군 <math>G</math>의 두 부분군 <math>H,K\le G</math>에 대하여, <math>|H\backslash G/K|=|K\backslash G/H|</math>이다. 즉, 두 부분군에 대한 이중 잉여류의 수와 순서를 교환한 두 부분군에 대한 이중 잉여류의 수는 같다.
{{증명}}
다음과 같은 함수를 생각하자.
:<math>H\backslash G/K\to K\backslash G/H</math>
:<math>HgK\mapsto Kg^{-1}H</math>
그렇다면, 이는 자명하게 [[전단사 함수]]이므로, 정의역과 공역의 크기는 같다.
{{증명 끝}}

군 <math>G</math>의 두 부분군 <math>H,K\le G</math> 및 군의 원소 <math>g\in G</math>에 대하여, 이중 잉여류 <math>HgK</math>의 [[집합의 크기|크기]]는
:<math>|HgK|=\frac{|H||K|}{|H\cap gKg^{-1}|}</math>
이다.
{{증명}}
:<math>|HgK|=|H(gKg^{-1})|=\frac{|H||gKg^{-1}|}{|H\cap gKg^{-1}|}=\frac{|H||K|}{|H\cap gKg^{-1}|}</math>
{{증명 끝}}

== 외부 링크 ==
* {{groupprops|제목=Double coset of a pair of subgroups}}

{{전거 통제}}

[[분류:군론]]