이중 사슬 복합체 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[호몰로지 대수학]]에서 '''이중 사슬 복합체'''(二重사슬複合體, {{llang|en|double chain complex, bicomplex}})는 [[사슬 복합체]]와 유사하지만, 1차원 대신 2차원인 구조이다.<ref name="Weibel">{{서적 인용|성=Weibel|이름= Charles Alexander|날짜=1994|제목=An introduction to homological algebra|url=http://www.math.rutgers.edu/~weibel/Hbook-corrections.html|총서=Cambridge Studies in Advanced Mathematics |권=38|출판사=Cambridge University Press|isbn=978-0-52143500-0|oclc=36131259|mr=1269324|zbl=0797.18001|doi=10.1017/CBO9781139644136|언어=en}}</ref> 즉, 모든 항들은 두 개의 첨자를 달고 있으며, 각 항 위에는 수직 및 수평 방향의 두 개의 경계 사상이 정의되며, 이들은 서로 [[교환 법칙]]을 만족시켜야 한다. 이중 사슬 복합체 위에는 '''도롱뇽 정리'''(도롱[龍]定理, {{llang|en|salamander lemma}}) 및 그 특수한 경우인 '''3×3 정리'''(三×三定理, {{llang|en|3×3 lemma}}) · '''[[뱀 정리]]'''와 같은 정리들이 성립한다.

== 정의 ==
[[아벨 범주]] <math>\mathcal A</math> 위의 [[사슬 복합체]]의 범주 <math>\operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A)</math> 역시 [[아벨 범주]]이므로, 그 위의 [[사슬 복합체]]를 취할 수 있다. 이를 '''이중 사슬 복합체'''라고 한다.

구체적으로, 이중 사슬 복합체 <math>C_{\bullet,\bullet} \in \operatorname{Ch}_\bullet(\operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A))</math>는 다음과 같은 꼴이다.
:<math>
\begin{matrix}
&& \vdots && \vdots \\
&& \downarrow && \downarrow \\
\dotsb & \to & C_{m,n} & \overset{\partial_{m,n}^{\text{h}}}\to & C_{m-1,n} & \to & \dotsb \\
&& {\scriptstyle \partial_{m,n}^{\text{v}}}\downarrow {\color{White}\scriptstyle \partial_{m,n}^{\text{v}}}&& {\color{White}\scriptstyle \partial_{m-1,n}^{\text{v}}}\downarrow {\scriptstyle \partial_{m-1,n}^{\text{v}}}\\
\dotsb & \to & C_{m,n-1} & \underset{\partial_{m,n-1}^{\text{h}}}\to & C_{m-1,n-1} & \to & \dotsb \\
&& \downarrow && \downarrow \\
&& \vdots && \vdots
\end{matrix}</math>
즉, 이는 '''수평 경계 사상'''(水平境界寫像, {{llang|en|horizontal boundary map}})
:<math>\partial_{\bullet,\bullet}^{\operatorname h} \colon C_{\bullet,\bullet} \to C_{\bullet-1,\bullet}</math>
및 '''수직 경계 사상'''(垂直境界寫像, {{llang|en|vertical boundary map}})
:<math>\partial_{\bullet,\bullet}^{\operatorname v} \colon C_{\bullet,\bullet} \to C_{\bullet, \bullet-1}</math>
을 가지며, 이들은 다음과 같은 관계를 만족시킨다.
:<math>\partial_{m-1,n}^{\operatorname h}\circ \partial_{m,n}^{\operatorname h} = 0</math>
:<math>\partial_{m,n-1}^{\operatorname v}\circ \partial_{m,n}^{\operatorname v} = 0</math>
:<math>\partial_{m-1,n}^{\operatorname v}\circ \partial_{m,n}^{\operatorname h} = \partial_{m,n-1}^{\operatorname h}\circ \partial_{m,n}^{\operatorname v}</math>

=== 전체 사슬 복합체 ===
<math>\mathcal A</math>에서 가산 무한 [[직합]]이 존재한다고 할 때 (또는 정의에 등장하는 직합에서 오직 유한 개의 항들이 0이 아니라고 할 때),
이중 사슬 복합체 <math>C_{\bullet,\bullet}\in\operatorname{Ch}_\bullet(\operatorname{Ch}_\bullet\mathcal A))</math>의 '''전체 사슬 복합체'''(全體사슬複合體, {{llang|en|total chain complex}}) <math>\operatorname{Tot}_\bullet(C) \in\operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A)</math>는 다음과 같은 사슬 복합체이다.
:<math>\operatorname{Tot}_n(C) = \bigoplus_{p+q=n} C_{p,q}</math>
:<math>\partial_n^{\operatorname{Tot}(C)} = \bigoplus_{p+q=n} \partial_{p,q}^{\operatorname h} + (-)^p \partial_{p,q}^{\operatorname v} </math>
이는 사슬 복합체를 이루므로, 마찬가지로 [[호몰로지]]를 취할 수 있다. 이를 '''전체 호몰로지'''({{llang|en|total homology}})라고 한다.

=== 이중 사슬 복합체의 다른 부호 규칙 ===
문헌에 따라서, 이중 사슬 복합체를 표기할 때 위와 다른 부호 규칙을 사용하는 경우가 있다. 이 부호 규칙으로 전환하려면, 다음과 같은 변환을 가하자.
:<math>\partial_{m,n}^{\operatorname h\prime} = \partial_{m,n}^{\operatorname h}</math>
:<math>\partial_{m,n}^{\operatorname v\prime} = (-)^n \partial_{m,n}^{\operatorname v}</math>
즉, 홀수 번째 열들의 수직 경계 사상에 음부호를 붙인다. (물론, 대신 홀수 번째 행들의 수평 경계 사상에 음부호를 붙여도 비슷하다.)

그렇다면, 이들은 다음을 만족시킨다.
:<math>\partial_{m-1,n}^{\operatorname h\prime}\circ \partial_{m,n}^{\operatorname h\prime} = 0</math>
:<math>\partial_{m,n-1}^{\operatorname v\prime}\circ \partial_{m,n}^{\operatorname v\prime} = 0</math>
:<math>\partial_{m-1,n}^{\operatorname v\prime}\circ \partial_{m,n}^{\operatorname h\prime} + \partial_{m,n-1}^{\operatorname h\prime}\circ \partial_{m,n}^{\operatorname v\prime} = 0</math>
즉, 수평 경계 사상과 수직 경계 사상이 서로 [[교환 법칙]] 대신 반교환 법칙을 따르게 된다.

이렇게 하면, 전체 사슬 복합체의 정의가 다음과 같이 더 간단해진다.
:<math>\partial_n^{\operatorname{Tot}(C)} = \bigoplus_{p+q=n} \partial_{p,q}^{\operatorname h\prime} + \partial_{p,q}^{\operatorname v\prime} </math>

=== 수직 · 수평 호몰로지 ===
[[아벨 범주]] <math>\mathcal A</math> 위의 이중 사슬 복합체 <math>C_{\bullet,\bullet}</math>가 주어졌다고 하자.

그렇다면, '''수평 호몰로지'''(垂直homology, {{llang|en|horizontal homology}})
:<math>\operatorname H^{\operatorname h} = \frac{\ker^{\operatorname h}}{\operatorname{im}^{\operatorname h}}</math>
및 '''수직 호몰로지'''(水平homology, {{llang|en|vertical homology}})
:<math>\operatorname H^{\operatorname v} = \frac{\ker^{\operatorname v}}{\operatorname{im}^{\operatorname v}}</math>
를 정의할 수 있다.

=== 교내 사상과 교외 사상 ===
임의의 대상 <math>A=C_{m,n}</math>에 대하여, 다음 사상들이 존재한다.
:<math>\begin{matrix}
\searrow^{\partial^{\operatorname{vh}}}&\downarrow{\scriptstyle\partial^{\operatorname h}}\\
\overset{\partial^{\operatorname h}}\to &A &\overset{\partial^{\operatorname h}}\to\\
& \downarrow{\scriptstyle\partial^{\operatorname h}} & \searrow^{\partial^{\operatorname{vh}}}
\end{matrix}
</math>
위 그림에서, <Math>\partial^{\operatorname{vh}}=\partial^{\operatorname h}\circ\partial^{\operatorname v} =\partial^{\operatorname v}\circ\partial^{\operatorname h}</math>는 수직 경계 사상과 수평 경계 사상을 합성한 것이다. 편의상, 다음과 같은 기호들을 정의하자.<ref name="Bergman"/>{{rp|Definition 1.1}}
:{| class=wikitable
! 용어 !! 기호 !! 정의
|-
| '''수평 호몰로지''' || <math>_{=}A </math> || <math>\frac{\ker\partial^{\operatorname h}_{mn}}{\operatorname{im}\partial^{\operatorname h}_{m-1,n}}</math>
|-
| '''수직 호몰로지''' || <math>A^\|</math> || <math>\frac{\ker\partial^{\operatorname v}_{mn}}{\operatorname{im}\partial^{\operatorname v}_{m,n-1}}</math>
|-
| '''기증자'''(寄贈者, {{llang|en|donor}})
|<math>A_\square</math>||<math>\frac{\ker\partial^{\operatorname{vh}}_{mn}}{\operatorname{im}(\partial^{\operatorname h}_{m-1,n}\sqcup \partial^{\operatorname v}_{m,n-1})}</math>
|-
| '''수령자'''(受領者, {{llang|en|receptor}}) ||<math>^\square A</math>||<math>\frac{\ker(\partial^{\operatorname v}_{mn}\times\partial^{\operatorname h}_{mn})}{\operatorname{im}\partial^{\operatorname{vh}}_{m-1,n-1}}</math>
|}
이들의 기호를 위와 같이 이상하게 정의하는 이유는 다음 때문이다. 우선, <math>_=A</math> · <math>A^\|</math> · <math>^\square A</math> · <math>A_\bullet</math>는 모두 <math>A</math>의 [[부분 대상]]들의 [[몫 대상]]이므로, 이들 사이에는 다음과 같은 사상들이 존재한다.
:<math>\begin{matrix}
^\square A & \to & A^\|\\
\downarrow && \downarrow\\
_=A & \to & A_\square
\end{matrix}</math>
이는 다음과 같이 적을 수 있다.
:<math> \overset\square{\underset ={\scriptstyle\downarrow}} \overset\to{\underset\to A}\overset\|{\underset\square{\scriptstyle\downarrow}}</math>
이 사상들을 '''교내 사상'''(校內寫像, {{llang|en|intramural map}})이라고 하자.<ref name="Bergman"/>{{rp|Definition 1.3}}

또한, 수평 경계 사상
:<math>A\to B</math>
이 주어졌으면, 다음과 같이 기증자에서 수령자로 가는 사상이 자연스럽게 유도된다.
:<math>A_\square\to {}^\square B</math>
이는 다음과 같이 그릴 수 있다.
:<math>A_\square\nearrow {}^\square B</math>
마찬가지로, 수직 경계 사상
:<math>\begin{matrix}A\\\downarrow\\B\end{matrix}</math>
이 주어졌으면, 다음과 같이 기증자에서 수령자로 가는 사상이 자연스럽게 유도된다.
:<math>\begin{matrix}A_\square\\\downarrow\\^\square B\end{matrix}</math>
이는 다음과 같이 그릴 수 있다.
:<math>\begin{matrix}A_\square\\\swarrow\\^\square B\end{matrix}</math>
이 사상들을 '''교외 사상'''(校外寫像, {{llang|en|extramural map}})이라고 하자.<ref name="Bergman"/>{{rp|Definition 1.5}}

== 성질 ==
=== 도롱뇽 정리 ===
이중 사슬 복합체 속의 임의의 부분
:<math>
\begin{matrix}
C \\
\downarrow \\
A &\rightarrow &B  \\
&& \downarrow \\
&& D
\end{matrix}
</math>
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, '''도롱뇽 정리'''에 따르면, 다음과 같은 6항 '''도롱뇽 [[완전열]]'''(도롱[龍]完全列, {{llang|en|salamander exact sequence}})이 존재한다.<ref name="Bergman"/>{{rp|Lemma 1.7}}
:<math>
\begin{matrix}
&& ^\square A\\
&\!\!\!\!\nearrow\!\!\!\! && \!\!\!\!\searrow\!\!\!\!\\
C_\square & & \!\!\!\!\!\!\longrightarrow \!\!\!\!\!\! && _= A \to A_\square \to {}^\square B\to {}_= B && \!\!\!\!\!\!\longrightarrow \!\!\!\!\!\! && ^\square D\\
&&&&& \!\!\!\!\searrow\!\!\!\! && \!\!\!\!\nearrow\!\!\!\! \\
&&&&&& B_\square
\end{matrix}
</math>
여기서 삼각형들은 가환 삼각형이며, 위의 모든 사상들은 교내 사상 또는 교외 사상 또는 (완전열의 양끝의 경우) 교내 사상과 교외 사상의 합성이다.

이 완전열은 다음과 같이 그려질 수 있다.
:<math>
\begin{matrix}
{\color{White}_\square}C\underset\square{\color{White}\scriptstyle\downarrow} \\
\swarrow \\
\underset ={\overset\square{\scriptstyle\downarrow}} \underset\to A_\square &\nearrow &\overset \square{\underset ={\scriptstyle\downarrow}} \underset\to B_\square \\
&& \swarrow \\
&& \overset\square{\color{White}\scriptstyle\downarrow} D\color{White}_\square
\end{matrix}
</math>
특히, 만약 <math>_=A \cong {}_= B \cong 0</math>이라면, 교외 사상 <math>A_\square \to {}^\square B</math>는 [[동형 사상]]이다.

마찬가지로, 이중 사슬 복합체 속의 임의의 부분
:<math>
\begin{matrix}
C & \to & A \\
&& \downarrow \\
&& B &\to & D
\end{matrix}
</math>
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 6항 '''도롱뇽 [[완전열]]'''이 존재한다.
:<math>
\begin{matrix}
&& ^\square A\\
&\!\!\!\!\nearrow\!\!\!\! && \!\!\!\!\searrow\!\!\!\!\\
C_\square & & \!\!\!\!\!\!\longrightarrow \!\!\!\!\!\! && A^\| \to A_\square \to {}^\square B\to {}B^\| && \!\!\!\!\!\!\longrightarrow \!\!\!\!\!\! && ^\square D\\
&&&&& \!\!\!\!\searrow\!\!\!\! && \!\!\!\!\nearrow\!\!\!\! \\
&&&&&& B_\square
\end{matrix}
</math>

이 완전열은 다음과 같이 그려질 수 있다.
:<math>
\begin{matrix}
{\color{White}_\square} C\underset\square{\color{White}\scriptstyle\downarrow} & \nearrow & {}^{^{\scriptstyle \square}} \overset\to A\overset\|{\underset\square{\scriptstyle\downarrow}} \\
&& \swarrow \\
&& ^{^{\scriptstyle\square}} \overset\to B\overset\|{\underset\square{\scriptstyle\downarrow}} &\nearrow & \overset\square{\color{White}\scriptstyle\downarrow}D\color{White}^\square\end{matrix}
</math>
특히, 만약 <math>A^\| \cong B^\| \cong 0</math>이라면, 교외 사상 <math>A_\square \to {}^\square B</math>는 [[동형 사상]]이다.

=== ''n''×''n'' 정리 ===
[[아벨 범주]]에서, 다음과 같은 이중 사슬 복합체가 주어졌다고 하자.

:<math>\begin{matrix}
&& 0 && 0 && 0\\
&& \downarrow && \downarrow && \downarrow\\
0 &\to &A & \to & B &\to & C \\
&& \downarrow && \downarrow && \downarrow\\
0 &\to &D & \to & E &\to &F \\
&& \downarrow && \downarrow && \downarrow\\
0 &\to & G & \to & H &\to & I \\
\end{matrix}</math>
또한, 다음 조건들이 주어졌다고 하자.
* 첫째 · 둘째 · 셋째 열이 [[완전열]]이다.
* 둘째 · 셋째 행이 [[완전열]]이다.

'''3×3 정리'''에 따르면, 첫째 열 또한 [[완전열]]이다.<ref name="Weibel"/>{{rp|11, Exercise 1.3.2}}
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''도롱뇽 완전열을 통한 증명''':<ref name="Bergman"/>{{rp|Lemma 2.3}}
<div class="mw-collapsible-content">
<math>_= A \cong {}_=B \cong 0</math>임을 보이면 족하다.

가정에 따라서, 모든 열이 [[완전열]]이므로
:<Math> X^\| \cong 0 \qquad (X\in \{A,B,D,E\})</math>
이다. 또한, 둘째 · 셋째 행이 [[완전열]]이므로
:<Math> _=X \cong 0 \qquad (X\in\{D,E,G,H\})</math>
이다. 도롱뇽 정리에 따라서, 다음과 같은 교외 사상들은 모두 [[동형 사상]]이다.
:<math>\begin{matrix}
&& 0_\square && 0_\square\\
&& \color{Red}\swarrow && \color{Green}\swarrow && \\
0_\square &  & ^\square A_\square &  & ^\square B_\square \\
&& \color{Blue}\swarrow && \color{Red}\swarrow && \\
0_\square & \color{Blue}\nearrow & ^\square D_\square & \color{Red}\nearrow & ^\square E_\square \\
&& \color{Red}\swarrow &&  && \\
0_\square & \color{Red}\nearrow & ^\square G_\square \\
\end{matrix}</math>

물론, <math>0_\square \cong 0</math>이므로, 이를 따라서 교외 사상의 지그재그로 연결된 <math>^\square D, A_\square, {}^\square G, D_\square, \dotsc</math> 등이 모두 0임을 알 수 있다.

이제, <math>^\square A \cong A_\square \cong {}^\square B \cong B_\square \cong 0</math>이므로, 다음과 같은 도롱뇽 완전열으로부터 <math>_=A \cong {}_=B \cong 0</math>임을 알 수 있다.
:<math>
\begin{matrix}
{\color{White}_\square}0_\square \\
\swarrow \\
\underset ={\overset\square{\scriptstyle\downarrow}} \underset\to A_\square &\nearrow &\overset \square{\underset ={\scriptstyle\downarrow}} \underset\to B_\square \\
&& \swarrow \\
&& ^\square E\color{White}_\square
\end{matrix}
</math>
</div></div>
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''[[뱀 완전열]]을 통한 증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
처음 두 행에 대하여 [[뱀 정리]]를 적용한다. 모든 열이 [[짧은 완전열]]이므로, [[핵 (수학)|핵]]들은 모두 0이 된다.
</div></div>

보다 일반적으로, '''<math>n\times n</math> 정리'''에 따르면, 임의의 자연수 <math>n</math>에 대하여, <math>n\times n</math>개의 대상을 갖는 이중 사슬 복합체
:<math>\begin{matrix}
&& 0 && 0 \\
&& \downarrow && \downarrow\\
0 &\to &A_{n-1,n-1} & \to \dotsb\to & A_{0,n-1} \\
&& \downarrow && \downarrow \\
&&\vdots &\ddots& \vdots\\
&& \downarrow && \downarrow \\
0 &\to & A_{n-1,n-1} & \to\dotsb \to & A_{0,0} \\
\end{matrix}</math>
가 주어졌을 때, 만약
* 모든 열이 [[완전열]]이며,
* 첫째 행을 제외한 나머지 행들이 [[완전열]]이라면,
첫째 행 또한 [[완전열]]이다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명''':
<div class="mw-collapsible-content">
그 증명은 3×3의 경우와 동일하다. 즉, 대략
* 교외 사상들의 지그재그를 통해, <math>_\square(-) \cong (-)^\square \cong 0</math>임을 보인다.
* 첫째 행의 각 수평 경계 사상에 대한 도롱뇽 완전열을 사용하여, 그 수평 호몰로지가 0임을 보인다.
</div></div>

(물론, 0×0 및 1×1 및 2×2인 경우는 자명하게 참이다.)

== 예 ==
=== 사슬 복합체의 텐서곱 ===
[[가환환]] <math>K</math> 위의 [[결합 대수]] <math>A</math> 위의 <math>(A,A)</math>-[[쌍가군]]들의 [[아벨 범주]] <math>\operatorname{Ch}_\bullet(_A\operatorname{Mod}_A)</math>
를 생각하자. 이 속에서, 두 사슬 복합체
:<math>C_\bullet, D_\bullet \in \operatorname{Ch}_\bullet(_A\operatorname{Mod}_A)</math>
가 주어졌다고 하자.

그렇다면, 각 성분별 [[텐서곱]]을 통해, 다음과 같은 이중 사슬 복합체 <math>E_{\bullet,\bullet}</math>를 정의할 수 있다.
:<math>E_{m,n} = C_m \otimes_A D_n</math>
:<math>\partial^{\operatorname h,E}_{m,n} \colon \partial^{\operatorname h,E}_{m,n} \to \partial^{\operatorname h,E}_{m-1,n}</math>
:<math> \partial^{\operatorname h,E}_{m,n} = \partial^C_m \otimes\operatorname{id}_{D_n}</math>
:<math>\partial^{\operatorname v,E}_{m,n} \colon \partial^{\operatorname h,E}_{m,n} \to \partial^{\operatorname h,E}_{m,n-1}</math>
:<math> \partial^{\operatorname v,E}_{m,n} = \operatorname{id}_{C_m} \otimes\partial^D_n</math>
이 이중 사슬 복합체의 전체 사슬 복합체는 두 사슬 복합체의 텐서곱
:<math>(C\otimes D)_\bullet = \operatorname{Tot}_\bullet(E) =  \bigoplus_{p+q=\bullet} C_p \otimes_A D_q</math>
과 같다.

=== 순환 호몰로지 ===
{{본문|순환 호몰로지}}
[[순환 호몰로지]]는 어떤 특별한 이중 복합체의 전체 호몰로지로서 정의된다.

== 역사 ==
[[파일:Salamander!.jpg|섬네일|오른쪽|책을 장식하는 도롱뇽 그림 (1920년대, 미국)]]

3×3 정리는 9개의 대상이 3×3 행렬로 배열되어 있으므로 이러한 이름이 붙었다. [[데이비드 북스바움]]은 1955년 논문<ref name="Buchsbaum">{{저널 인용 | last=Buchsbaum | first=David Alvin | 저자링크=데이비드 북스바움| title=Exact categories and duality | jstor=1993003 | mr=0074407 | year=1955 | journal=Transactions of the American Mathematical Society | issn=0002-9947 | volume=80 | issue=1 | pages=1–34 | doi=10.1090/S0002-9947-1955-0074407-6 | zbl = 0065.25502 |언어=en}}</ref>에서 [[아벨 범주]]의 개념을 도입하였는데, 이 논문에서 이미 3×3 정리가 등장한다.<ref name="Buchsbaum"/>{{rp|Lemma 5.5}}

1971년에 칼 에릭 린더홀름({{llang|en|Carl Eric Linderholm}})은 농으로 3×3 정리의 (올바른) 증명을 다음과 같이 묘사하였다.
{{인용문2|
[[틱택토]] 판을 그린다. 판을 ⭕/❌로 채우지 말고, 대신 굽은 화살표를 사용한다. 선을 추가로 그려서 3×3 판을 4×4 판으로 확장한다. 판 위에 손을 가리키며 복잡하게 흔들어 댄다. ⭕를 몇 개 그린다 (하지만 네모 속에 그리지 말고, 대신 가로·세로 선 끝에 그린다). 얼굴을 찡그린다. 이제 당신은 다음 정리들을 증명하였다.
:(a) 9항 정리
:(b) 16항 정리
:(c) 25항 정리
[…]<br>
{{lang|en|Draw a noughts-and-crosses board, sometimes also referred to as a tic-tac-toe board. Do not fill it in with noughts and crosses, sometimes also called exes and ohs. Instead, use curved arrows. By drawing more lines, make it a board for four-by-four (instead of three-by-three) noughts and crosses. Wave your hands about in complicated patterns over this board. Make some noughts, but not in the squares; put them at both ends of the horizontal and vertical lines. Make faces. You have now proved:
:(a) the Nine Lemma
:(b) the Sixteen Lemma
:(c) the Twenty-five Lemma
[…]
}}
|<ref>{{서적 인용|제목=Mathematics made difficult. A handbook for the perplexed|이름=Carl Eric|성=Linderholm|isbn= 	978-0-529-04552-2|oclc=279066|출판사=World Publishing|날짜=1971|zbl=0217.00102|언어=en}}</ref>{{rp|201}}}}

도롱뇽 정리 및 “교내 사상” · “교외 사상”이라는 용어는 조지 마크 버그먼({{llang|en|George Mark Bergman}}, 1943~)이 1970년대에 도입하였다.<ref name="Bergman">{{저널 인용|제목=On diagram-chasing in double complexes|이름=George Mark|성=Bergman|arxiv=1108.0958|bibcode=2011arXiv1108.0958B|zbl=1264.18018|저널=Theory and Applications of Categories|권=26|날짜=2012|쪽=60–96|url=http://www.tac.mta.ca/tac/volumes/26/3/26-03abs.html|issn=1201-561X|언어=en}}</ref> “도롱뇽 정리”라는 이름은 이에 등장하는, S자 또는 갈지자 (之) 모양의 사상들의 열을 몸을 굽히며 움직이는 [[도룡뇽]]에 비유한 것이다. “교내 사상” · “교외 사상”이라는 용어는 이는 같은 기호 <math>A</math>의 각 첨자 <math>^\square_=A_\square^{\|}</math>를 “학교”로 여길 경우, 교내 사상
:<math>\overset\square{\underset ={\scriptstyle\downarrow}} \overset\to{\underset\to A}\overset\|{\underset\square{\scriptstyle\downarrow}}</math>
은 같은 “학교” 안의 대상들을 잇지만, 교외 사상
:<math>A_\square \nearrow {}^\square B</math>
은 서로 다른 “학교”에 속하는 대상들을 잇기 때문이다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=NineLemma|title=Nine lemma}}
* {{nlab|id=double complex|title=Double complex}}
* {{nlab|id=total complex|title=Total complex}}
* {{nlab|id=diagram chasing|title=Diagram chasing}}
* {{nlab|id=salamander lemma|title=Salamander lemma}}
* {{nlab|id=3x3 lemma}}
* {{웹 인용|url=https://sbseminar.wordpress.com/2007/11/13/anton-geraschenko-the-salamander-lemma/ | 제목=The salamander lemma | 이름=Anton | 성=Geraschenko | 웹사이트=Secret Blogging Seminar | 날짜=2007-11-13 | 언어=en}}

[[분류:호몰로지 대수학]]
[[분류:보조정리]]