이원수 (수학) 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
'''이원수'''(二元數, {{llang|en|dual number}})는 [[실수]]에 하나의 [[멱영원]]을 추가하여 얻는 [[가환환]]이다. 복소수와 마찬가지로 2차원 <math>\mathbb R</math>-[[대수 (환론)|대수]]를 이루지만, [[복소수]]와는 달리 [[체 (수학)|체]]를 이루지 못한다.

== 정의 ==
'''이원수'''는 실수에 <math>\epsilon^2=0</math>인 수 <math>\epsilon</math>을 추가하여 얻는다. 엄밀히 말하자면, 이원수의 집합은 <math>\mathbb R\times\mathbb R</math>로 여길 수 있다. 이 경우, <math>(a,b)\in\mathbb R^2</math>를 <math>a+b\epsilon</math>으로 쓰자.다음과 같은 덧셈과 덧셈의 역, 곱셈을 정의할 수 있다.
:<math>(a+b\epsilon)+(c+d\epsilon)=(a+c)+(b+d)\epsilon</math>
:<math>-(a+b\epsilon)=(-a)+(-b)\epsilon</math>
:<math>(a+b\epsilon)(c+d\epsilon)=ac+(bc+ad)\epsilon</math>
이 연산들에 따라서, 이원수의 집합은 [[가환환]]을 이룬다.

===선형대수학적 표현===
'''이원수''' <math>a+b\epsilon</math>는 2×2 행렬환 <math>\operatorname{Mat}(2;\mathbb R)</math>의 부분환으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:<math>a+b\epsilon=\begin{pmatrix}
a&b\\0&a
\end{pmatrix}</math>

== 성질 ==
이원수의 집합은 (곱셈 항등원을 갖는) [[가환환]]을 이루지만, [[멱영원]] <math>\epsilon</math>이 존재하므로 [[정역]]을 이루지 않는다. 이원수환은 [[국소환]]을 이루며, 유일한 [[극대 아이디얼]]은 [[주 아이디얼]] <math>(\epsilon)</math>이다.

이원수환에서 [[가역원]]은 <math>a\ne0</math>인 <math>a+b\epsilon</math>이며, 그 역은 다음과 같다.
:<math>(a+b\epsilon)^{-1}=1/a-(b/a^2)\epsilon</math>
이원수는 2차원 가환 결합 <math>\mathbb R</math>-[[대수 (환론)|대수]]를 이룬다.

== 응용 ==
이원수는 물리학에서 [[초대칭]]을 다룰 때 사용된다. 이원수의 공간은 [[초공간]]의 가장 간단한 예이며, <math>\epsilon</math>은 [[반가환수]]가 된다.

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=DualNumber|title=Dual number}}

== 같이 보기 ==
* [[복소수]]
* [[분할복소수]]

{{수 체계}}

{{전거 통제}}

[[분류:선형대수학]]
[[분류:가환대수학]]
[[분류:다원수]]