이와사와 분해 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[리 군]] 이론에서, '''이와사와 분해'''([岩澤]分解, {{llang|en|Iwasawa decomposition}})는 [[그람-슈미트 과정]]을 [[반단순 리 군]]에 일반화하여, 리 군의 원소를 멱영 성분·가환 성분·콤팩트 성분으로 나누는 분해이다.<ref name="Bump">{{서적 인용|이름=Daniel|성=Bump|제목=Lie groups|isbn=978-1-4614-8024-2 |총서=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권=225|날짜=2013|출판사=Springer|doi=10.1007/978-1-4614-8024-2|언어=en}}</ref>{{rp|197–204}}<ref>{{서적 인용|이름=A. W.|성=Knapp|날짜=1997|장=Structure theory of semisimple Lie groups|isbn=978-0-8218-0609-8|제목=Representation Theory and Automorphic Forms|총서=Proceedings of Symposia in Pure Mathematics|권=61|쪽=1–27|장url=http://www.math.sunysb.edu/~aknapp/pdf-files/1-27.pdf|url=http://www.ams.org/bookstore?fn=20&arg1=pspumseries&ikey=PSPUM-61|출판사=American Mathematical Society|언어=en}}</ref>

== 정의 ==
=== 리 대수의 이와사와 분해 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* 실수 [[반단순 리 대수]] <math>\mathfrak g</math>
* <math>\mathfrak g</math>의 [[카르탕 대합]] <math>\theta</math>
그렇다면, 이에 대한 [[카르탕 분해]]
:<math>\mathfrak g = \mathfrak k \oplus\mathfrak p</math>
를 정의할 수 있다. 여기서 <math>\mathfrak k</math>는 [[콤팩트 리 대수]]이며, <math>\mathfrak p</math>는 일반적으로 [[리 대수]]가 아닌 [[실수 벡터 공간]]이다.

<math>\mathfrak a\subset\mathfrak p</math>가 <math>\mathfrak p</math> 속의 (임의로 고른) 극대 가환 부분 리 대수라고 하자. 그렇다면 <math>\mathfrak a</math>에 기저를 잡아 기저에 임의의 순서를 가하고, <math>\mathfrak n</math>이 <math>(\mathfrak g,\mathfrak a)</math>의 [[제한근]] 가운데 양의 제한근에 대응하는 제한근 공간들의 직합이라고 하자. 그렇다면 다음과 같은, 실수 벡터 공간의 [[직합]]이 성립한다.
:<math>\mathfrak g=\mathfrak k\oplus\mathfrak a\oplus\mathfrak n</math>
이를 <math>\mathfrak g</math>의 '''이와사와 분해'''라고 한다.

=== 리 군의 이와사와 분해 ===
<math>G</math>가 [[연결 공간|연결]] 실수 [[반단순 리 군]]이라고 하자. 그렇다면 그 [[리 대수]]의 이와사와 분해 <math>\mathfrak g=\mathfrak k\oplus\mathfrak a\oplus\mathfrak n</math>에 대응하여, 각각의 [[지수 사상]]의 [[상 (수학)|상]]
:<math>K=\exp(\mathfrak k)\subset G</math>
:<math>A=\exp(\mathfrak a)\subset G</math>
:<math>N=\exp(\mathfrak n)\subset G</math>
을 정의할 수 있다. 이 경우
* <math>K</math>는 [[콤팩트 공간|콤팩트]] 반단순 리 군이며, <math>G</math>의 닫힌 부분군이자 최대 콤팩트 부분군이다. <math>G</math>의 [[군의 중심|중심]]을 포함한다.
* <math>A</math>는 [[단일 연결]] [[아벨 군|아벨]] [[리 군]]이며, <math>G</math>의 닫힌 부분군이다.
* <math>N</math>은 [[단일 연결]] [[멱영군|멱영]] [[리 군]]이며, <math>G</math>의 닫힌 부분군이다.
그렇다면, 다음과 같은 [[미분 동형]]이 존재한다.<ref name="Bump"/>{{rp|203, Theorem 29.3}} (물론, 이는 일반적으로 [[군 준동형]]이 아니다.)
:<math>K\times A\times N\to G</math>
따라서, 임의의 원소 <math>g\in G</math>를
:<math>g=k(g)a(g)n(g)</math>
:<math>k(g)\in K</math>
:<math>a(g)\in A</math>
:<math>n(g)\in N</math>
과 같이 분해시킬 수 있다. 이것이 리 군의 '''이와사와 분해'''이다.

만약 <math>G</math>가 [[연결 공간]]이 아닌 [[반단순 리 군]]인 경우, 만약 <math>G</math>의 [[군의 중심|중심]]이 [[유한군]]이라면 역시 이와사와 분해를 정의할 수 있다. 이 경우, <math>K</math>는 <math>G</math>의 ([[연결 공간]]이 아닌) 최대 콤팩트 부분군이다.

리 군 또는 리 대수의 '''실수 계수'''({{llang|en|real rank}})는 그 아벨 성분의 실수 차원이다.

== 성질 ==
실수 [[반단순 리 대수]] <math>\mathfrak g</math>의 이와사와 분해
:<math>\mathfrak g=\mathfrak k\oplus\mathfrak a\oplus\mathfrak n</math>
의 각 성분은 다음과 같은 성질을 갖는다.
* <math>\mathfrak k</math>는 [[콤팩트 리 대수]]이다. 즉, 그 [[킬링 형식]]은 [[음의 정부호]]이다.
* <math>\mathfrak a\subset\mathfrak p</math>는 가환 [[리 대수]]이다. 즉, <math>[\mathfrak a,\mathfrak a]=0</math>이다.
* <math>\mathfrak n</math>은 [[멱영 리 대수]]이다. 즉, 충분히 큰 양의 정수 <math>n\in\mathbb Z^+</math>에 대하여 {{mindent|<math>\overbrace{[\mathfrak n,[\mathfrak n,[\cdots[\mathfrak n,\mathfrak n]\cdots]}^{n\text{ times}}=0</math>}}이다.

=== 카르탕 분해와의 관계 ===
[[반단순 리 대수]] <math>\mathfrak g</math>의 [[카르탕 대합]] <math>\theta</math>이 주어졌을 때, [[카르탕 분해]]
:<math>\mathfrak g = \mathfrak k \oplus \mathfrak p</math>
를 정의할 수 있다. 이는 같은 <math>\theta</math>에 대한 이와사와 분해
:<math>\mathfrak g = \mathfrak k \oplus\mathfrak a \oplus\mathfrak n</math>
와 다음과 같은 관계를 갖는다.
* 카르탕 분해의 <math>\mathfrak k</math>는 이와사와 분해의 <math>\mathfrak k</math>와 같다.
* 카르탕 분해의 <math>\mathfrak p</math>는 이와사와 분해의 <math>\mathfrak a</math>를 극대 아벨 부분 대수로서 포함한다. (그러나 <math>\mathfrak n</math>은 일반적으로 <math>\mathfrak k</math>의 부분 대수도, <math>\mathfrak p</math>의 부분 대수도 아니다.)
* 카르탕 분해에서, <math>\mathfrak p</math>는 일반적으로 [[리 대수]]가 아니다. 반면 이와사와 대수의 <math>\mathfrak a</math>와 <math>\mathfrak n</math>은 둘 다 [[리 대수]]이다.
* 카르탕 분해에서, <math>\mathfrak k</math>와 <math>\mathfrak p</math>는 [[킬링 형식]]에 대하여 서로 직교이다. 이와사와 분해에서, <math>\mathfrak k</math>와 <Math>\mathfrak a</math>는 [[킬링 형식]]에 대하여 서로 직교이지만, <math>\mathfrak n</math>은 <math>\mathfrak k</math> 및 <math>\mathfrak a</math>와 직교일 필요가 없다.

== 예 ==
대표적인 [[리 군]]의 이와사와 분해는 다음과 같다.
{| class=wikitable
! 군 || 콤팩트 성분 || 아벨 성분 || 멱영 성분
|-
| 실수 [[일반선형군]] <math>\operatorname{GL}(n,\mathbb R)</math> || [[직교군]] <math>\operatorname{O}(n,\mathbb R)</math> || 양의 [[대각행렬]]군 <math>(\mathbb R^+)^n</math> || 대각 성분이 모두 1인 상[[삼각행렬]]군
|-
| 실수 [[특수선형군]] <math>\operatorname{SL}(n,\mathbb R)</math> || [[특수직교군]] <math>\operatorname{SO}(n,\mathbb R)</math> || [[행렬식]]이 1인 양의 [[대각행렬]]군 <math>(\mathbb R^+)^{n-1}</math> || 대각 성분이 모두 1인 상[[삼각행렬]]군
|-
| 2×2 실수 특수선형군 <math>\operatorname{SL}(2,\mathbb R)</math> || <math>S^1\cong\left\{{\scriptstyle\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}}\right\}</math> || <math>\mathbb R^+\cong\left\{{\scriptstyle\begin{pmatrix}a&0\\0&a^{-1}\end{pmatrix}}|y\in\mathbb R^+\right\}</math> || <math>\mathbb R\cong\left\{{\scriptstyle\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}}|a\in\mathbb R\right\}</math>
|-
| 복소 [[일반선형군]] <math>\operatorname{GL}(n,\mathbb C)</math> || [[유니터리 군]] <math>\operatorname U(n)</math> || 양의 [[대각행렬]]군 <math>(\mathbb R^+)^n</math> || 대각 성분이 모두 1인 복소 상[[삼각행렬]]군
|-
| 복소 [[특수선형군]] <math>\operatorname{SL}(n,\mathbb C)</math> || [[유니터리 군]] <math>\operatorname{SU}(n)</math> || [[행렬식]]이 1인 양의 [[대각행렬]]군 <math>(\mathbb R^+)^{n-1}</math> || 대각 성분이 모두 1인 복소 상[[삼각행렬]]군
|-
| 콤팩트 반단순 리 군 <math>G</math> || <math>G</math> || [[자명군]] 1 || [[자명군]] 1
|}

=== 그람-슈미트 과정 ===
{{본문|그람-슈미트 과정}}
[[일반선형군]] <math>\operatorname{GL}(n,\mathbb R)</math>의 이와사와 분해는 사실상 [[그람-슈미트 과정]]과 동치이다. [[벡터 공간]] <math>V\cong\mathbb R^n</math>의 [[기저 (선형대수학)|기저]] <math>\{v_1,\dots,v_n\}\subset V</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면 행렬
:<math>B=\begin{pmatrix}v_1&v_2&\cdots&v_n\end{pmatrix}\in\operatorname{GL}(V)\cong\operatorname{GL}(n,\mathbb R)</math>
을 정의할 수 있다. 이 경우, 그람-슈미트 과정을 거치면, 이를
:<math>U^{-1}B=O</math>
의 꼴로 분해시키게 되는데, 여기서 <math>O</math>는 그람-슈미트 과정을 통해 얻은 [[정규 직교 기저]]를 나타내는 [[직교행렬]]이며, <math>U</math>는 [[정규 직교 기저]]로의 변환을 나타내는 상[[삼각행렬]]이다. 이 경우, <math>U</math>를 추가로 분해하여
:<math>U_0^{-1}D^{-1}B=O</math>
로 놓자. 여기서 <math>U_0</math>은 <math>B</math>를 직교 기저로 놓기 위한, 대각 성분이 모두 1인 상삼각행렬이고, <math>D</math>는 직교 기저를 [[정규 직교 기저]]로 만들기 위한, 양의 성분을 가진 [[대각행렬]]이다. 즉,
:<math>B=U_0DO</math>
가 되며, 이는 <math>\operatorname{GL}(n,\mathbb R)</math>의 이와사와 분해이다.

=== 상반평면의 이와사와 분해 ===
리 군 <math>\operatorname{SL}(2,\mathbb R)</math>의 이와사와 분해는 [[보형 형식]]의 이론에서 등장한다. 이 경우, 복소 [[상반평면]]
:<math>\mathbb H=\{x+iy|x\in\mathbb R,y\in\mathbb R^+\}</math>
은 다음과 같은 [[잉여류]] 공간으로 나타내어진다.
:<math>\mathbb H=\operatorname{SL}(2,\mathbb R)/\operatorname{SO}(2,\mathbb R)</math>
즉, 이는 <math>\operatorname{SL}(2,\mathbb R)</math>의 이와사와 분해 <math>\operatorname{SO}(2,\mathbb R)\times\mathbb R^+\times\mathbb R</math>에서 콤팩트 성분을 버린 것이다. 즉, 구체적인 대응 관계는 다음과 같다.
:<math>x+iy\mapsto\left({\scriptstyle\begin{pmatrix}y^{1/2}&0\\0&y^{-1/2}\end{pmatrix}},{\scriptstyle\begin{pmatrix}1&x\\0&1\end{pmatrix}}\right)</math>

== 역사 ==
[[이와사와 겐키치]]가 1949년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|성=Iwasawa|이름=Kenkichi|저자링크=이와사와 겐키치|제목=On some types of topological groups|저널=Annals of Mathematics|권=2|호=50|날짜=1949|쪽=507&ndash;558|언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|이름=Hossein|성=Abbaspour|공저자=Martin Moskowitz|제목=Basic Lie theory|날짜=2007-09|isbn=978-981-270-698-0|url=http://guests.mpim-bonn.mpg.de/abbaspou/Lie-Book_verrouille.pdf|doi=10.1142/6462|언어=en|확인날짜=2014-06-09|보존url=https://web.archive.org/web/20140630015331/http://guests.mpim-bonn.mpg.de/abbaspou/Lie-Book_verrouille.pdf#|보존날짜=2014-06-30|url-status=dead}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Iwasawa decomposition}}
* {{수학노트|title=이와사와 분해 (Iwasawa decomposition)}}

[[분류:리 군]]