이심률 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[기하학]]에서 '''이심률'''(離心率, {{llang|en|eccentricity}})은 [[원뿔 곡선]]의 특성을 나타내는 값이다. 원뿔 곡선이 원에서 벗어나는 정도를 나타낸다고 볼 수 있다.

== 정의 ==
[[파일:Exzentr3d-s.svg|섬네일|260x260픽셀|plane section of a con]]
'''원뿔곡선'''은 점(초점)과 선(준선)까지의 거리가 일정한 비율에 있는 점의 자취로 정의할 수 있다.
이 비율을 '''이심률'''이라고 하며 일반적으로 '''e'''로 표기한다. 또한 이중원뿔을 평면으로 잘랐을 때 생기는 곡선에서 이심률은

: <math>{\displaystyle e={\frac {\sin \beta }{\sin \alpha }},\ \ 0<\alpha <90^{\circ },\ 0\leq \beta \leq 90^{\circ } \ }</math>이고
: 여기서 α는 원뿔의 [[모선 (원뿔)|모선]]과 밑면의 사잇각이며 β는 자르는 평면과 밑면의 사잇각이다.
: 단면은 β=0일 때 원, β=α일 때 포물선이 된다. (단, 평면은 원뿔의 꼭짓점과 만나지 않아야 한다.)
:  '''c (또는 f, e)'''로 표기하는 타원이나 쌍곡선의 '''선형 이심률'''은 중심과 어느 한 초점 사이의 거리이다.
: 이심률은 반장축에 대한 선형 이심률의 비율로 정의할 수 있다. 즉, <math>{\displaystyle e={\frac {c}{a}}}</math> (단, 중심이 없으면 포물선에 대한 선형 이심률이 정의되지 않는다.)

== 성질 ==
[[원뿔 곡선]]의 이심률의 가능한 범위는 다음과 같다. 여기서 [[직선]] 역시 이차곡선 중 일차직선이기에 정의될 수 있다.
[[파일:Eccentricity.svg|섬네일|right|250px|이심률이 증가하는 순서대로 늘어놓은 원뿔 곡선. 이심률이 늘어나면 곡률은 줄어든다는 점과 겹치는 곡선이 없다는 점을 주목하라.]]
* [[원 (기하학)|원]]의 이심률은 0이다.
* [[타원]]의 이심률은 0과 1 사이의 값이다.
* [[포물선]]의 이심률은 1이다.
* [[쌍곡선]]의 이심률은 1보다 크다.
* [[직선]]의 이심률은 [[무한대]]이다.

두 [[원뿔 곡선]]의 이심률이 같다는 것은 두 원뿔 곡선이 서로 [[닮음 (기하학)|닮는다]]는 것과 [[동치]]이다.
{| class="wikitable"
!원뿔 단면
!방정식
!이심률 ( e )
!선형 이심률( c )
|-
!원
|<math>{\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}</math>
|0
|0
|-
!타원
|<math>{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1</math> 또는 <math>{\displaystyle {\frac {y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1}</math> '''(단, a>b)'''
|<math>{\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}</math>
|<math>{\displaystyle {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}</math>
|-
!포물선
|<math>{\displaystyle x^{2}=4ay}</math>
|1
|–
|-
!쌍곡선
|<math>{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1</math> 또는 <math>{\displaystyle {\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1}</math>
|<math>{\displaystyle {\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}</math>
|<math>{\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}</math>
|}
여기서 타원과 쌍곡선의 경우 a 는 긴반지름의 길이이고 b 는 짧은반지름의 길이이다.


<math>Ax^2 + Bxy + Cy^2 +Dx + Ey + F = 0</math>의 꼴로 원뿔곡선이 주어졌을 때,


'''이심률''' <math>e=\sqrt{\frac{2\sqrt{(A-C)^2 + B^2}}{\eta (A+C) + \sqrt{(A-C)^2 + B^2}}}</math> 이고,


<math>\begin{bmatrix}A & B/2 & D/2\\B/2 & C & E/2\\D/2&E/2&F\end{bmatrix}</math>의 3x3 행렬의 행렬식 값이 음수이면 <math>{\displaystyle \eta =1}</math>,

양수이면 <math>{\displaystyle \eta =-1}</math>이다.

== 같이 보기 ==
* [[궤도이심률]]
* [[편평률]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Eccentricity}}

{{전거 통제}}

[[분류:원뿔 곡선]]
[[분류:해석기하학]]