이산 푸리에 변환 문서 원본 보기

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이산 푸리에 변환(Discrete Fourier Transform, '''DFT''')은 이산적인 입력 신호에 대한 [[푸리에 변환]]으로, 디지털 신호 분석과 같은 분야에 사용된다.

이산 푸리에 변환은 [[고속 푸리에 변환]](Fast Fourier Transform,'''FFT''')을 이용해 빠르게 계산할 수 있다.  이외에 이산 푸리에 변환을 계산하는 알고리즘으로  

[[Goertzel 알고리즘]]([https://en.wikipedia.org/wiki/Goertzel_algorithm Goertzel algorithm])이 있다.  이 알고리즘은 특히 전화 통화에 있어서  tone detection에 쓰인다. 

이산 푸리에 변환을 논하기 전에 먼저 푸리에 변환식을 보자.  시간 연속적 신호(continuous-time signal) <math>x(t)</math>의 푸리에 변환은 다음과 같이 정의된다.

:<math>X(\boldsymbol{\omega}) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\mathbf{t}) e^{-i \boldsymbol{\omega}\cdot\mathbf{t}} \, d\mathbf{t}</math>

여기서 {{math|'''t'''}} 와 {{math|'''ω'''}} 는 {{mvar|n}}-차원 벡터들이고, {{math|'''t''' · '''ω'''}} 는 벡터들의 내적(dot product)이다.

따라서, 미적분학이 필요하다. 반면에 DFT는 무한 적분을 유한 합으로 대체한다. 신호 x의 DFT는
:<math>X(\boldsymbol{\omega}_k) = \sum_{n=0}^{N-1} x(t_n) e^{-i \omega_k t_n}, \qquad k = 0, \cdots, N-1 \qquad\qquad(1)</math>

X(ω<sub>k</sub>): 주파수 ω<sub>k</sub> 에서 x 의 스펙트럼

x(t<sub>n</sub>): 시간 t<sub>n</sub>에서 입력 신호의 [[진폭]](amplitude, [[실수]] 또는 복소수)

t<sub>n</sub> : nT = n 번째 샘플링 instant(sec) n:양의 정수

ω<sub>k</sub>  : kΩ= k 번째 주파수 샘플 (rad/sec)

Ω: 2π/NT = radian-주파수 샘플링 간격 (rad/sec)

T : 샘플링 간격 (sec)

N = 시간 샘플 수 또는 주파수 샘플 수(number of samples)


미적분학은 DFT(또는 우리가 보게 될 그 역)를 정의하는 데 필요하지 않으며, 유한합의 한계를 사용하면 무한대에 어려움을 겪지 않아도 된다(실제로 <math>x(t_n)</math>은 유한하며, 이는 항상 참이다). 또한 디지털 신호처리 분야에서 신호와 스펙트럼은 샘플링된 형식으로만 처리되므로 어쨌든 DFT가 실제로 필요하다(가능한 경우 FFT를 사용하여 구현). 요약하면 DFT는 푸리에 변환보다 수학적으로 더 간단하고 실제 계산과 관련이 깊으며, 동시에 기본 개념은 동일하다.

== 정의 ==

<math>N</math>개의 이산적인 [[복소수]] 신호 <math>x_0, x_1, x_2, \cdots, x_{N-1}</math>들을 복소수 값 <math>X_0, X_1, X_2, \cdots, X_{N-1} </math>으로 변환하는 이산 푸리에 변환식은 T=1로 두면, (1)식으로부터 다음과 같이 정의된다.
:<math>X_k \equiv \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-\frac{2 \pi i}{N} k n},\qquad k = 0, \cdots, N-1\qquad\qquad(2)</math>

또한 역변환(Inverse Discrete Fourier Transform, '''IDFT''')은 다음과 같이 정의된다.
:<math>x_n = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X_k e^{\frac{2\pi i}{N} k n},\qquad n = 0,\cdots,N-1</math>

== 특성(Properties) ==

선형성(Linearity)

시간 및 주파수 반전(Time and frequency reversal)

시간 켤레(Conjugation in time)

실수부와 허수부(Real and imaginary part)

직교성(Orthogonality)

플란케렐 정리와 파세발 정리(The Plancherel theorem and Parseval's theorem)

주기성(Periodicity)

이동정리(Shift theorem)

원형 [[합성곱]] 정리 및 상호 상관 정리(Circular convolution theorem and cross-correlation theorem)

컨볼루션 정리의 이중성(Convolution theorem duality)

삼각 보간 [[다항식]](Trigonometric interpolation polynomial)

유니타리 DFT(The unitary DFT)

역 DFT를 DFT로 표현하기(Expressing the inverse DFT in terms of the DFT)

고유치와 [[고윳값과 고유 벡터|고유벡터]](Eigenvalues and eigenvectors)

[[불확정성 원리]](Uncertainty principles)

실수 및 순수 허수 신호의 DFT(DFT of real and purely imaginary signals)
== 같이 보기 ==
* [[고속 푸리에 변환]]
* [[푸리에 관련 변환의 목록]]

{{토막글|수학}}

[[분류:푸리에 해석학]]
[[분류:디지털 신호 처리]]
[[분류:수치해석학]]
[[분류:이산 변환]]